Τα Ρεαλιστικά Μαθηματικά των Ολλανδών Realistic Mathematics Education (RME) Ινστιτούτο Freudenthal: http://www.fi.uu.nl

Τι είναι η Ρεαλιστική Μαθηματική Εκπαίδευση των Ολλανδών; Ρεαλιστικά Μαθηματικά (Realistic Mathematics Education, RME) είναι ένα ειδικό πεδίο θεωρίας διδασκαλίας για τα μαθηματικά, η οποία έχει αναπτυχθεί στην Ολλανδία. Χαρακτηριστικό της RME είναι ότι προτείνονται πλούσιες, «ρεαλιστικές» καταστάσεις εξέχουσα θέση στη διαδικασία της μάθησης. Αν και οι «ρεαλιστικές» καταστάσεις με τη σημασία του «πραγματικού κόσμου» είναι σημαντικές στη RME, ο όρος «ρεαλιστική» έχει ευρύτερη έννοια εδώ. Αυτό σημαίνει ότι προσφέρονται στους μαθητές προβληματικές καταστάσεις που μπορεί να φανταστεί κανείς. Αυτή η ερμηνεία του «ρεαλιστική» ανατρέχει στην ολλανδική έκφραση «zich REALISEren," που σημαίνει "να φανταστεί κανείς."

Ιστορικά στοιχεία της RME Η προσέγγιση, διαμορφώθηκε γύρω στις αρχές της δεκαετίας του 1970 στην Ολλανδία Τα θεμέλιά της τέθηκαν από τον Hans Freudenthal και τους συνεργάτες του στο πλαίσιο του IOWO (Instituut Ontwikkeling Wiskundeonderwijs – Institute for Development of Mathematics Education - Ινστιτούτο για την Ανάπτυξη της Μαθηματικής Εκπαίδευσης), που αποτελεί τον πρόγονο του σημερινού Ινστιτούτου «Freudenthal» Το Ινστιτούτο περιλάμβανε δύο τμήματα, τα οποία βρίσκονταν σε συνεχή συνεργασία: το Wiskobas (υπεύθυνο για τη μαθηματική εκπαίδευση στις ηλικίες 2-12) και το Wiskivon (υπεύθυνο για τη μαθηματική εκπαίδευση στις ηλικίες 12-16) Η ΡΜΕ ήταν η απάντηση στην ανάγκη για απαγκίστρωση τόσο από το δομιστικό χαρακτήρα διδασκαλίας των μαθηματικών, που προήλθε από τους Αμερικανούς, γνωστό ως «New Maths» (Νέα Μαθηματικά) και είχε κατακλύσει τη μαθηματική εκπαίδευση στην Ολλανδία, όσο και στην τότε επικρατούσα ολλανδική προσέγγιση στην εκπαίδευση μαθηματικών, η οποία θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως «μηχανιστική εκπαίδευση μαθηματικών»

Κατευθυντήριες Ιδέες του Freudenthal σχετικά με τα Μαθηματικά και τη Μαθηματική Εκπαίδευση Ο Freudenthal είχε την πεποίθηση ότι τα μαθηματικά πρέπει να συνδεθούν με την πραγματικότητα, να μείνουν κοντά στα παιδιά και να συνδέονται με την κοινωνία, προκειμένου να αναδεικνύουν ανθρώπινες αξίες. Αντί να θεωρήσει τα μαθηματικά ως περιεχόμενο που πρέπει να διαβιβαστεί, ο Freudenthal τόνισε την ιδέα των μαθηματικών ως ανθρώπινης δραστηριότητας. Πιο συγκεκριμένα, ο ίδιος υπογράμμισε ότι ο μαθητής θα πρέπει να ακολουθήσει τη μαθησιακή πορεία, την οποία ακολούθησε το ανθρώπινο είδος. Αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι, κατά τη διδασκαλία, θα πρέπει να αναπαραχθεί κατά βήμα η ιστορική εξέλιξη μιας έννοιας, αλλά ότι τα φαινόμενα μέσω των οποίων αποκτούν περιεχόμενο οι μαθηματικές έννοιες θα πρέπει να αποτελέσουν τη βάση στήριξης μιας μαθησιακής/διδακτικής διαδικασίας, που στοχεύει στην κατάκτηση αυτών των εννοιών. Η άποψη αυτή του Freudenthal αποτέλεσε τον κεντρικό άξονα γύρω από τον οποίο οικοδομήθηκε η ΡΜΕ.

Εκτός από τις εμπειρικές πηγές όπως τα εγχειρίδια, τις συζητήσεις με τους δασκάλους, και τα πειράματα στα παιδιά, ο Freudenthal (1983) εισήγαγε τη μέθοδο της διδακτικής φαινομενολογίας. Περιγράφοντας τις μαθηματικές έννοιες, τις δομές και τις ιδέες και τη σχέση τους με τα φαινόμενα για τα οποία έχουν δημιουργηθεί, ενώ λάμβανε υπόψη τη διαδικασία μάθησης των μαθητών, έφθασε σε θεωρητικούς συλλογισμούς σχετικά με τη σύσταση των νοητικών μαθηματικών αντικειμένων και συνέβαλε με τον τρόπο αυτό στην ανάπτυξη της θεωρίας της RME. Αργότερα, ο Freudenthal (1991) ανέλαβε τη διάκριση του Treffers (1987a) σε οριζόντια και κάθετη μαθηματικοποίηση. Στην οριζόντια μαθηματικοποίηση, οι μαθητές χρησιμοποιούν μαθηματικά εργαλεία για την οργάνωση και την επίλυση των προβλημάτων που βρίσκονται σε καταστάσεις της πραγματικής ζωής. Περιλαμβάνει τη διαδρομή από τον κόσμο της ζωής σε αυτό των συμβόλων.

Η κάθετη μαθηματικοποίηση αναφέρεται στη διαδικασία της εσωτερικής αναδιοργάνωσης του μαθηματικού συστήματος που καταλήγει σε συντομεύσεις με τη χρήση των συνδέσεων μεταξύ των ιδεών και των στρατηγικών. Αφορά την κίνηση μέσα στον αφηρημένο κόσμο των συμβόλων. Οι δύο μορφές μαθηματικοποίησης είναι στενά συνδεδεμένες και θεωρούνται ίσης αξίας. Απλά τονίζοντας πάρα πολύ τον «πραγματικό κόσμο» στην οπτική της RME μπορεί να μας οδηγήσει σε παραμέληση της κάθετης μαθηματικοποίησης.

Βασικές αρχές της ΡΜΕ Αρχή της δράσης (Activity principle) Αρχή της πραγματικότητας (Reality principle) Αρχή του επιπέδου (Level principle) Αρχή της αλληλοσύνδεσης (Intertwinement principle) Αρχή της αλληλεπίδραση (Interaction principle) Αρχή της καθοδήγησης (Guidance principle)

Αρχή της δράσης ή της δραστηριότητας Η αρχή της δράσης ή της δραστηριότητας σημαίνει ότι στην ΡME οι μαθητές αντιμετωπίζονται ως ενεργοί συμμετέχοντες στη διαδικασία της μάθησης. Τονίζεται, επίσης, ότι τα μαθηματικά είναι καλύτερα να τα μάθει κάποιος κάνοντας μαθηματικά, αυτό αντικατοπτρίζεται στην ερμηνεία του Freudenthal για τα μαθηματικά ως μια ανθρώπινη δραστηριότητα, καθώς και στην ιδέα του Freudenthal και του Treffers για τη μαθηματικοποίηση.

Αρχή της πραγματικότητας Όπως και στις περισσότερες προσεγγίσεις στην εκπαίδευση των μαθηματικών, σκοπός της ΡME είναι να μπορέσουν οι μαθητές να εφαρμόζουν τα μαθηματικά. Ο γενικός στόχος της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι ότι οι μαθητές πρέπει να μάθουν να χρησιμοποιούν τη μαθηματική κατανόηση και τα εργαλεία τους για την επίλυση προβλημάτων. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μάθουν "μαθηματικά, έτσι ώστε να είναι χρήσιμα" (βλέπε Freudenthal, 1968). Στην ΡME, ωστόσο, η αρχή αυτή της πραγματικότητας δεν είναι αναγνωρίσιμη μόνο στο τέλος της διαδικασίας της μάθησης στον τομέα της εφαρμογής, η πραγματικότητα θεωρείτε, επίσης, ως πηγή για την εκμάθηση των μαθηματικών. Ακριβώς όπως τα μαθηματικά προέκυψαν από την μαθηματικοποίηση της πραγματικότητας, έτσι πρέπει και η μάθηση των μαθηματικών να προέρχεται από την μαθηματικοποιημένη πραγματικότητα.

Ακόμη και στα πρώτα χρόνια της RME τονίζεται ότι αν τα παιδιά μαθαίνουν μαθηματικά με ένα απομονωμένο τρόπο, διαφορετικό από τις εμπειρίες τους, θα ξεχαστούν γρήγορα και δεν θα είναι σε θέση να τα εφαρμόσουν (Freudenthal, 1971, 1973, 1968). Αντί να αρχίζουν με ορισμένες αφαιρέσεις ή ορισμούς που πρέπει να εφαρμόζονται αργότερα, πρέπει να ξεκινούν με πλούσια περιβάλλοντα που απαιτούν μαθηματική οργάνωση ή, με άλλα λόγια, με πλαίσια που μπορούν να μαθηματικοποιηθούν (Freudenthal, 1979, 1968). Έτσι, ενώ εργάζονται σε προβλήματα με πλαίσιο, οι μαθητές μπορούν να αναπτύσσουν μαθηματικά εργαλεία και κατανόηση.

Αρχή του επιπέδου Μαθαίνω μαθηματικά σημαίνει ότι οι μαθητές περνούν από διάφορα επίπεδα κατανόησης: από την ικανότητα να ανακαλύπτουν άτυπες λύσεις συνδεδεμένες με το πλαίσιο, στη δημιουργία διαφόρων επιπέδων από συντομεύσεις και σχηματοποιήσεις, στην απόκτηση της διορατικότητας στις βασικές αρχές και τη διάκριση των ευρύτερων σχέσεων. Η προϋπόθεση για να φτάσει κάποιος σε ένα επόμενο επίπεδο είναι να προβληματιστεί σχετικά με τις δραστηριότητες που πραγματοποιεί. Ο προβληματισμός αυτός μπορεί να προκαλείται από την αλληλεπίδραση.

Τα μοντέλα χρησιμεύουν ως σημαντικός μηχανισμός για τη γεφύρωση αυτού του χάσματος μεταξύ των άτυπων, και των σχετιζόμενων με το πλαίσιο μαθηματικών και των πιο τυπικών μαθηματικών. Αρχικά, οι μαθητές αναπτύσσουν στρατηγικές που συνδέονται στενά με το πλαίσιο. Αργότερα, ορισμένες πτυχές της κατάστασης του πλαισίου μπορεί να γίνουν πιο γενικές, πράγμα που σημαίνει ότι το πλαίσιο αποκτά όλο και περισσότερο τον χαρακτήρα ενός μοντέλου και ως εκ τούτου μπορεί να δώσει υποστήριξη για την επίλυση άλλων, αλλά συναφών προβλημάτων. Για να εκπληρώσουν αυτές τις λειτουργίες γεφύρωσης, τα μοντέλα πρέπει να στραφούν – που ο Streefland (1985, 1993, 1996) ονόμαζε - από ένα "μοντέλο της" μιας συγκεκριμένης κατάστασης σε ένα «μοντέλο για» όλα τα είδη των άλλων, αλλά ισοδύναμων, καταστάσεων (βλέπε επίσης Gravemeijer 1994, Van den Heuvel-Panhuizen 2003).

Το πλαίσιο του λεωφορείου είναι ένα παράδειγμα από την "καθημερινή ζωή", που μπορεί να εξελιχθεί σε ένα πιο γενικό και τυπικό επίπεδο. Στην αρχή, ένα παράδειγμα χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις αλλαγές στη στάση του λεωφορείου (βλέπε Σχήμα 2). Αργότερα πλαίσιο του λεωφορείου γίνεται ένα «μοντέλο για» την κατανόηση όλων των ειδών των προτάσεων των αριθμών, και στη συνέχεια οι μαθητές μπορούν να πάνε πολύ πιο πέρα από το πλαίσιο του πραγματικού λεωφορείου. Μπορούν να χρησιμοποιήσουν ακόμη και το μοντέλο για τους συλλογισμούς προς τα πίσω (βλέπε τις δύο τελευταίες φράσεις στο Σχήμα 3).

Η ισχύς της αρχής του επιπέδου είναι ότι καθοδηγεί την ανάπτυξη στη μαθηματική κατανόηση και ότι δίνει στο πρόγραμμα σπουδών μια μακροχρόνια συνοχή. Αυτή η μακροπρόθεσμη προοπτική είναι χαρακτηριστικό της ΡME. Υπάρχει μια ισχυρή έμφαση στη σχέση ανάμεσα σε αυτό που έχει μάθει κάποιος νωρίτερα και τι θα μάθει αργότερα. Ένα ισχυρό παράδειγμα ενός τέτοιου «μακροχρόνιου» μοντέλου είναι η αριθμογραμμή.

Ξεκινά στην πρώτη τάξη ως (α) ένα κολιέ με χάνδρες στο οποίο οι μαθητές μπορούν να πραγματοποιήσουν κάθε είδους δραστηριότητες καταμέτρησης. Σε μεγαλύτερες τάξεις, αυτή η αλυσίδα με χάντρες γίνεται διαδοχικά (β) μια κενή αριθμογραμμή για την υποστήριξη της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, (γ) μια διπλή αριθμογραμμή για την υποστήριξη προβλημάτων με λόγους, και (δ) μια λωρίδα κλασμάτων/ποσοστών για τη στήριξη της εργασίας με κλάσματα και ποσοστά (βλέπε Σχήμα 4).

Αρχή της αλληλοσύνδεσης (Intertwinement principle) Η αρχή της αλληλοσύνδεσης σημαίνει ότι τα μαθηματικά πεδία περιεχομένου όπως ο αριθμός, η γεωμετρία, η μέτρηση και ο χειρισμός των δεδομένων δεν θεωρούνται ως μεμονωμένα κεφάλαια του προγράμματος σπουδών, αλλά σε μεγάλο βαθμό είναι ενσωματωμένα. Προσφέρονται στους μαθητές πλούσια προβλήματα στα οποία μπορούν να χρησιμοποιήσουν διάφορα μαθηματικά εργαλεία και γνώσεις. Η αρχή αυτή ισχύει επίσης σε τομείς. Για παράδειγμα, εντός του τομέα της σημασίας του αριθμού, η νοερή αριθμητική, η εκτίμηση, και οι αλγόριθμοι διδάσκονται σε στενή σχέση μεταξύ τους.

Αρχή της αλληλεπίδρασης (Interaction principle) Η αρχή διαδραστικότητας της ΡME σημαίνει ότι η εκμάθηση των μαθηματικών δεν είναι μόνο μια ατομική δραστηριότητα, αλλά και μια κοινωνική δραστηριότητα. Ως εκ τούτου, η ΡME ευνοεί συζητήσεις σε ολόκληρη την τάξη και την ομαδική εργασία που προσφέρει στους μαθητές την ευκαιρία να μοιραστούν με τους άλλους τις στρατηγικές και τις ανακαλύψεις τους. Με αυτόν τον τρόπο οι μαθητές μπορούν να πάρουν ιδέες για τη βελτίωση των στρατηγικών τους. Επιπλέον, η αλληλεπίδραση προκαλεί σκέψη, η οποία δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να επιτύχουν ένα υψηλότερο επίπεδο κατανόησης.

Αρχή της καθοδήγησης (Guidance principle) Η αρχή της καθοδήγησης αναφέρεται στην ιδέα του Freudenthal της «καθοδηγούμενης επανα-ανακάλυψης» των μαθηματικών. Αυτό σημαίνει ότι στην ΡME οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να έχουν ενεργό ρόλο στη μάθηση των μαθητών και ότι τα εκπαιδευτικά προγράμματα θα πρέπει να περιέχουν τα σενάρια που έχουν τη δυνατότητα να λειτουργήσουν ως μοχλός για την επίτευξη αλλαγών στην κατανόηση των μαθητών. Για να το πραγματοποιήσουμε αυτό, η διδασκαλία και τα προγράμματα πρέπει να βασίζονται σε συνεκτικές μακροπρόθεσμες τροχιές διδασκαλίας-μάθησης.

Διάφορες τοπικές θεωρίες διδασκαλίας Με βάση αυτές τις γενικές θεμελιώδεις αρχές της διδασκαλίας, έχουν αναπτυχθεί κατά καιρούς μια σειρά από τοπικές θεωρίες διδασκαλίας και παραδειγματικές σειρές διδασκαλίας που εστιάζονται σε ειδικά μαθηματικά θέματα. Για παράδειγμα, ο Van den Brink (1989) εργάστηκε σε νέες προσεγγίσεις για την πρόσθεση και την αφαίρεση έως 20. Ο Streefland (1991) ανέπτυξε ένα πρωτότυπο τρόπο για να διδάξει κλάσματα συνυφασμένα με λόγους και αναλογίες.

O De Lange (1987) σχεδίασε μια νέα προσέγγιση στη διδασκαλία για τους πίνακες (μήτρες) και το διακριτό λογισμό. Κατά την τελευταία δεκαετία, η ανάπτυξη των τοπικών θεωριών διδασκαλίας ήταν ως επί το πλείστον ενσωματωμένη με τη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας, όπως ερευνήθηκε από τον Drijvers (2003) σε σχέση με την προώθηση της κατανόησης των μαθητών των αλγεβρικών εννοιών και πράξεων. Ομοίως, ο Bakker (2004) και ο Doorman (2005) χρησιμοποίησαν δυναμικό λογισμικό του υπολογιστή για να συμβάλουν σε μια εμπειρικά θεμελιωμένη θεωρία διδασκαλίας για την πρόωρη στατιστική για την εκπαίδευση και το διαφορικό λογισμό σε σχέση με την κινηματική, αντίστοιχα.

Η βάση για τον προσδιορισμό αυτών των τοπικών θεωριών διδασκαλίας διαμορφώθηκε από την έρευνα σχεδιασμού, του Gravemeijer (1994), που περιλαμβάνει μια κατευθυνόμενη-θεωρία με κυκλική διαδικασία των πειραμάτων σκέψης, το σχεδιασμό μιας ακολουθίας διδασκαλίας, και το δοκίμασε σε ένα πείραμα διδασκαλίας, που ακολουθείται από μια αναδρομική ανάλυση, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε αναγκαίες προσαρμογές του σχεδιασμού. Τελευταίο αλλά όχι λιγότερο σημαντικό, η RME επίσης οδήγησε σε νέες προσεγγίσεις για την αξιολόγηση στη μαθηματική εκπαίδευση (De Lange 1987, 1995, Van den Heuvel-Panhuizen 1996).

Η εφαρμογή και οι επιπτώσεις Στις Κάτω Χώρες, η RME είχε και εξακολουθεί να έχει σημαντικές επιπτώσεις στην εκπαίδευση των μαθηματικών. Στη δεκαετία του 1980, το μερίδιο της αγοράς για τα σχολικά βιβλία της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης τα οποία είχαν παραδοσιακή και μηχανιστική προσέγγιση ήταν 95% και τα σχολικά βιβλία με μια προσέγγιση προσανατολισμένη στη μεταρρύθμιση είχαν μερίδιο αγοράς μόνο 5%. Το 2004, τα εγχειρίδια που ήταν προσανατολισμένα στη μεταρρύθμιση κατέκτησαν μερίδιο αγοράς 100% τα μηχανιστικά εγχειρίδια εξαφανίστηκαν.

Η εφαρμογή της RME καθοδηγήθηκε από τα προγράμματα σπουδών της RME, συμπεριλαμβανομένων των λεγόμενων δημοσιεύσεων ‘Proeve’ (επάρκειας) από τον Treffers και τους συναδέλφους του, οι οποίες δημοσιεύτηκαν από τα τέλη της δεκαετίας του 1980, και τις τροχιές διδασκαλίας-μάθησης (TAL) για τα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου, τα οποία έχουν αναπτυχθεί από τα τέλη της δεκαετίας του 1990 (Van den Heuvel-Panhuizen 2008; Van den Heuvel-Panhuizen and Buys 2008).

Μια παρόμοια εξέλιξη υπάρχει και στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, όπου η προσέγγιση της RME επηρέασε επίσης, σε μεγάλο βαθμό, τις σειρές των σχολικών βιβλίων. Για παράδειγμα, ο Kindt (2010) έδειξε πώς η εξάσκηση των αλγεβρικών δεξιοτήτων μπορεί να πάει πέρα από την επανάληψη και να θεωρηθεί προκλητική. Οι Goddijn et al. (2004) προσέφεραν πλούσιες πηγές για τη ρεαλιστική εκπαίδευση της γεωμετρίας, στις οποίες η εφαρμογή και η απόδειξη συμβαδίζουν. Η RME είχε επιρροή σε όλο τον κόσμο. Για παράδειγμα, η σειρά των βιβλίων της RME “Mathematics in Context” του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας του Wisconsin & του Ινστιτούτου Freudenthal (2006) έχουν ένα σημαντικό μερίδιο της αγοράς στις ΗΠΑ.

Παράγοντες που επηρεάζουν την πρωτοβάθμια εκπαίδευση 1) Τα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών Διαδραματίζουν καθοδηγητικό ρόλο για τους δασκάλους όσον αφορά τη διδασκαλία μαθηματικών, τόσο για το περιεχόμενο της διδασκαλίας τους, όσο και για τις διδακτικές μεθόδους που θα ακολουθήσουν. Οι οδηγίες που προσφέρουν τα σχολικά εγχειρίδια έχουν ρόλο καθαρά βοηθητικό και δε δεσμεύουν τους εκπαιδευτικούς να τα ακολουθήσουν πιστά 2) Τα βιβλία ‘επάρκειας’«Proeve» books Είναι μια σειρά από βιβλία, στα οποία αναφέρεται το περιεχόμενο που θα πρέπει να έχει το μάθημα των μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο. Παρόλο που είναι γραμμένα σε πολύ απλή γλώσσα και με πάρα πολλά παραδείγματα, προορίζεται περισσότερο για τους συγγραφείς των σχολικών εγχειριδίων και για σύμβουλους σε σχολεία, παρά για δασκάλους. 3) Οι στόχοι – κλειδιά (The key goals) Οι στόχοι – κλειδιά είναι ορισμένοι στόχοι που τίθενται από την κεντρική διοίκηση και περιγράφουν τί θα πρέπει να μάθουν οι μαθητές σε κάθε μαθηματική ενότητα μέχρι να τελειώσουν το Δημοτικό Σχολείο. Για τα μαθηματικά υπάρχουν 23 στόχοι χωρισμένοι σε έξι τμήματα, οι οποίοι είναι άμεσα συνδεδεμένοι με το «proeve»

4) Τροχιές μάθησης-διδασκαλίας (learning-teaching trajectories, TAL) Οι τροχιές μάθησης διδασκαλίας είναι ο νεότερος παράγοντας για την διδασκαλία των μαθηματικών στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Οι τροχιές προορίζονται να φέρουν τη συνοχή στο πρόγραμμα της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, και να παρέχουν μια διαμήκη επισκόπηση για το πώς η μαθηματική κατανόηση των παιδιών αναπτύσσεται από το νηπιαγωγείο μέχρι την ΣΤ’ τάξη και το πώς η εκπαίδευση μπορεί να υποκινήσει αυτήν την διαδικασία.

Βιβλιογραφία Baker, A. (2004). Design research in statistics education: on symbolizing and computer tools. CD-Beta Press, Utrecht. De Lange, J. (1987). Mathematics, insight and meaning. OW & OC, Utrecht University, Utrecht. De Lange, J. (1995). Assessment: no change without problems. In: Romberg TA (ed) Reform in school mathematics. SUNY Press, Albany, pp 87–172. Dickinson, P., and Hough, S. (2012). Using Realistic Mathematics Education in UK classrooms. Doorman, LM (2005). Modelling motion: from trace graphs to instantaneous change. CD-Beta Press, Utrecht Drijvers, P. (2003). Learning algebra in a computer algebra environment. Design research on the understanding of the concept of parameter. CD-Beta Press, Utrecht.

Βιβλιογραφία Drijvers, P. (2011). Secondary Algebra Education Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown. Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education, Utrecht University, Utrecht, the Netherlands Freudenthal. H. (1968) Why to teach mathematics so as to be useful. Educ Stud Math 1:3–8. Freudenthal. H. (1973) Mathematics as an educational task. Reidel Publishing, Dordrecht Freudenthal. H. (1983) Didactical phenomenology of mathematical structures. Reidel Publishing, Dordrecht Freudenthal. H. (1991) Revisiting mathematics education. China lectures. Kluwer, Dordrecht Goddijn A, Kindt M, Reuter W, Dullens, D. (2004). Geometry with applications and proofs. Freudenthal Institute, Utrecht.

Βιβλιογραφία Gravemeijer, KPE. (1994). Developing realistic mathematics education. CD-b Press/Freudenthal Institute, Utrecht   Kindt, M. (2010). Positive algebra. Freudenthal Institute, Utrecht Sembiring RK, Hadi S, Dolk M (2008). Reforming mathematics learning in Indonesian classrooms through RME. ZDM Int J Math Educ 40(6):927–939. Streefland, L . (1991). Fractions in realistic mathematics education. A paradigm of developmental research. Kluwer, Dordrecht. Streefland, L. (1993). The design of a mathematics course. A theoretical reflection. Educ Stud Math 25(1–2):109–135. Streefland, L. (1996). Learning from history for teaching in the future. Regular lecture held at the ICME-8 in Sevilla, Spain; in 2003 posthumously. Educ Stud Math 54:37–62. Treffers, A. (1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction – the Wiskobas project. D. Reidel Publishing, Dordrecht.

Βιβλιογραφία Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2000). Mathematics education in the Netherlands: A guided tour. Freudenthal Institute Cd-rom for ICME9. Utrecht: Utrecht University. Van den Heuvel-Panhuizen & Wijers, M.M. (2005). Mathematics standards and curricula in the Netherlands. Zentrallblatt fŸr Didaktik der Mathematik, 37(4), pp. 287-307. Άρθρο νουμ. 6663 Van den Heuvel-Panhuizen, M. and Drijvers, P. (2014). Realistic Mathematics Education. In S. Lerman (ed.), Encyclopedia of Mathematics Education, pp. 521-525