Κεφάλαιο 5 Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

Στόχοι Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνετε: Τις ιδιότητες μιας κατανομής πιθανότητας. Να υπολογίζετε την αναμενόμενη τιμή και τη διασπορά μιας κατανομής πιθανότητας. Να υπολογίζετε πιθανότητες από τη διωνυμική κατανομή και την κατανομή Poisson. Να χρησιμοποιείτε τη διωνυμική και Poisson κατανομή στην επίλυση προβλημάτων των επιχειρήσεων.

Ορισμοί Οι διακριτές μεταβλητές φέρουν αποτελέσματα που προκύπτουν από μια διαδικασία καταμέτρησης (π.χ. Ο αριθμός των μαθημάτων που επιλέγετε να διδαχθείτε). Οι συνεχείς μεταβλητές φέρουν αποτελέσματα που προκύπτουν από μια μέτρηση (π.χ. Ο ετήσιος μισθός σας, ή το βάρος σας).

Τύποι Μεταβλητών Τύποι Μεταβλητών Κεφ. 5 Κεφ. 6 Διακριτή Μεταβλητή Συνεχής Μεταβλητή Κεφ. 6

Διακριτές Μεταβλητές Μπορούν να πάρουν μετρήσιμο αριθμό τιμών Παραδείγματα: Ρίπτετε ένα ζάρι 2 φορές Υποθέτουμε X τον αριθμό των φορών που προκύπτει 4 (τότε το X θα μπορούσε να είναι 0, 1, ή 2 φορές) Ρίπτετε ένα κέρμα 5 φορές. Υποθέτουμε X τον αριθμό των κορώνων (τότε X = 0, 1, 2, 3, 4, ή 5)

Κατανομή Πιθανότητας Για Μια Διακριτή Μεταβλητή Μια κατανομή πιθανότητας για μια διακριτή μεταβλητή είναι μια αμοιβαίως αποκλειόμενη λίστα όλων των πιθανών αριθμητικών αποτελεσμάτων για αυτή τη μεταβλητή και μια πιθανότητα εμφάνισης του κάθε αποτελέσματος. Διακοπές του δικτύου υπολογιστών ανά ημέρα Πιθανότητα 0,35 1 0,25 2 0,20 3 0,10 4 0,05 5

Οι Κατανομές Πιθανοτήτων Συχνά Παριστάνονται Γραφικά P(X) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 2 3 4 5 X

Αναμενόμενη Τιμή Διακριτής Μεταβλητής (Κέντρο Μέτρησης) Αναμενόμενη Τιμή (ή μέσος όρος) μιας διακριτής μεταβλητής (Σταθμισμένος μέσος όρος) Διακοπές του δικτύου υπολογιστών ανά ημέρα (xi) Πιθανότητα P(X = xi) xiP(X = xi) 0,35 (0)(0,35) = 0,00 1 0,25 (1)(0,25) = 0,25 2 0,20 (2)(0,20) = 0,40 3 0,10 (3)(0,10) = 0,30 4 0,05 (4)(0,05) = 0,20 5 (5)(0,05) = 0,25 1,00 μ = E(X) = 1,40

Διακριτές Μεταβλητές: Μέτρηση Διασποράς Διακριτές Μεταβλητές: Μέτρηση Διασποράς Διασπορά μιας διακριτής μεταβλητής Τυπική Απόκλιση μιας διακριτής μεταβλητής όπου: E(X) = Αναμενόμενη τιμή μιας διακριτής μεταβλητής X xi = το iοστό αποτέλεσμα του X P(X=xi) = Πιθανότητα της iοστής εμφάνισης του X

Διακριτές Μεταβλητές: Μέτρηση Διασποράς (συνέχεια) Διακοπές του δικτύου υπολογιστών ανά ημέρα (xi) Πιθανότητα P(X = xi) [xi – E(X)]2 [xi – E(X)]2P(X = xi) 0,35 (0 – 1,4)2 = 1,96 (1,96)(0,35) = 0,686 1 0,25 (1 – 1,4)2 = 0,16 (0,16)(0,25) = 0,040 2 0,20 (2 – 1,4)2 = 0,36 (0,36)(0,20) = 0,072 3 0,10 (3 – 1,4)2 = 2,56 (2,56)(0,10) = 0,256 4 0,05 (4 – 1,4)2 = 6,76 (6,76)(0,05) = 0,338 5 (5 – 1,4)2 = 12,96 (12,96)(0,05) = 0,648 σ2 = 2,04, σ = 1,4283

Κατανομές Πιθανοτήτων Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Διωνυμική Poisson Διακριτές Κανονική Κεφ. 5 Κεφ. 6

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας Ένας σταθερός αριθμός παρατηρήσεων n π.χ., 15 ρίψεις ενός νομίσματος, 10 λαμπτήρες που λαμβάνονται από μια αποθήκη Κάθε παρατήρηση ταξινομείται ως προς το αν συνέβη ή όχι το “ενδεχόμενο που μας ενδιαφέρει” π.χ., κορώνα ή γράμματα σε κάθε ρίψη ενός κέρματος, ελαττωματικοί ή όχι λαμπτήρες Αφού αυτές οι δύο κατηγορίες είναι αμοιβαία αποκλειόμενες και αποτελούν διαμέριση Αφού η πιθανότητα του ενδεχομένου που μας ενδιαφέρει παριστάνεται με π, τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου που μας ενδιαφέρει να μην συμβεί είναι 1 - π Σταθερή πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου που μας ενδιαφέρει (π) για κάθε παρατήρηση Η πιθανότητα να φέρουμε γράμματα είναι η ίδια κάθε φορά που ρίχνουμε ένα κέρμα

Διωνυμική Κατανομή Πιθανότητας (συνέχεια) Οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες Το αποτέλεσμα μιας παρατήρησης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα μιας άλλης Δύο μέθοδοι δειγματοληψίας παρέχουν ανεξαρτησία Άπειρος πληθυσμός χωρίς επανατοποθέτηση Πεπερασμένος πληθυσμός με επανατοποθέτηση

Πιθανές Εφαρμογές για την Διωνυμική Κατανομή Μια μονάδα παραγωγής χαρακτηρίζει τα στοιχεία ως ελαττωματικά ή αποδεκτά Μια επιχείρηση που υποβάλλει προσφορές για συμβάσεις είτε θα λάβει μια σύμβαση είτε όχι Μια εταιρεία έρευνας αγοράς λαμβάνει απαντήσεις στην έρευνα “ναι θα αγοράσω” ή “όχι δεν θα αγοράσω” Οι νέοι αιτούντες εργασία είτε αποδέχονται την προσφορά είτε την απορρίπτουν

Η Διωνυμική Κατανομή Τεχνικές Απαρίθμησης Υποθέτουμε οτι το ενδεχόμενο που μας ενδιαφέρει είναι να λάβουμε κορώνες κατά την ρίψη ενός δίκαιου κέρματος. Ρίπτετε το κέρμα τρεις φορές. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να έχετε δύο κορώνες; Πιθανοί τρόποι: ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, οπότε υπάρχουν τρεις τρόποι που μπορείτε να έχετε δύο κορώνες. Αυτή η περίπτωση είναι αρκετά απλή. Πρέπει να μπορούμε να μετρήσουμε τον αριθμό των τρόπων για πιο πολύπλοκες καταστάσεις.

Τεχνικές Απαρίθμησης Κανόνας των Συνδυασμών Ο αριθμός των συνδυασμών επιλογής x αντικειμένων από n αντικείμενα είναι όπου: n! =(n)(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1) x! = (X)(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1) 0! = 1 (εξ ορισμού)

Τεχνικές Απαρίθμησης Κανόνας των Συνδυασμών Πόσους πιθανούς συνδυασμούς από 3 μπάλες θα μπορούσατε να δημιουργήσετε σε ένα κατάστημα με παγωτά αν έχετε να επιλέξετε από 31 γεύσεις και καμία γεύση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί παραπάνω από μία φορά στις 3 μπάλες; Οι συνολικές επιλογές είναι n = 31, και επιλέγουμε X = 3.

Τύπος Διωνυμικής Κατανομής P(X=x |n,π) n x! x π (1-π) ! ( ) = - P(X=x|n,π) = πιθανότητα των x ενδεχομένων που μας ενδιαφέρουν σε n δοκιμές, με την πιθανότητα του “ενδεχομένου που μας ενδιαφέρει’’ να είναι π για κάθε δοκιμή x = αριθμός των “ενδεχομένων που μας ενδιαφέρουν” στο δείγμα, (x = 0, 1, 2, ..., n) n = μέγεθος δείγματος (αριθμός δοκιμών ή παρατηρήσεων) π = πιθανότητα του “ενδεχομένου που μας ενδιαφέρει” Παράδειγμα: Στρίβετε ένα κέρμα τέσσερις φορές, υποθέτουμε x = # κεφαλών: n = 4 π = 0,5 1 - π = (1 – 0,5) = 0,5 X = 0, 1, 2, 3, 4

Παράδειγμα: Υπολογισμός μιας Διωνυμικής Πιθανότητας Παράδειγμα: Υπολογισμός μιας Διωνυμικής Πιθανότητας Ποια είναι η πιθανότητα μιας επιτυχίας σε πέντε παρατηρήσεις εάν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου που μας ενδιαφέρει είναι 0,1; x = 1, n = 5, και π = 0,1

Η Διωνυμική Κατανομή Παράδειγμα Υποθέστε οτι η πιθανότητα αγοράς ενός ελαττωματικού υπολογιστή είναι 0,02. Ποια είναι η πιθανότητα αγοράς 2 ελαττωματικών υπολογιστών σε ένα σύνολο 10 υπολογιστών; x = 2, n = 10, και π = 0,02

Γράφημα Διωνυμικής Κατανομής Το γράφημα της διωνυμικής κατανομής εξαρτάται από τις τιμές του π και του n P(X=x|5, 0,1) 0,6 0,4 0,2 Εδώ, n = 5 και π = 0,1 1 2 3 4 5 x P(X=x|5, 0,5) 0,6 0,4 Εδώ, n = 5 και π = 0,5 0,2 1 2 3 4 5 x

Διωνυμική Κατανομή Χαρακτηριστικά Διωνυμική Κατανομή Χαρακτηριστικά Μέση Τιμή Διασπορά και Τυπική Απόκλιση Όπου n = μέγεθος δείγματος π = πιθανότητα του ενδεχομένου που μας ενδιαφέρει για κάθε δοκιμή (1 – π) = πιθανότητα να μην υπάρχει ενδεχόμενο που μας ενδιαφέρει για οποιαδήποτε δοκιμή

Η Διωνυμική Κατανομή με την Χρήση Διωνυμικών Πινάκων (Διαθέσιμο On Line) x … π=,20 π=,25 π=,30 π=,35 π=,40 π=,45 π=,50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,1074 0,2684 0,3020 0,2013 0,0881 0,0264 0,0055 0,0008 0,0001 0,0000 0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,1460 0,0584 0,0162 0,0031 0,0004 0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 0,0368 0,0090 0,0014 0,0135 0,0725 0,1757 0,2522 0,2377 0,1536 0,0689 0,0212 0,0043 0,0005 0,0060 0,0403 0,1209 0,2150 0,2508 0,2007 0,1115 0,0425 0,0106 0,0016 0,0025 0,0207 0,0763 0,1665 0,2384 0,2340 0,1596 0,0746 0,0229 0,0042 0,0003 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 π=,80 π=,75 π=,70 π=,65 π=,60 π=,55 Παραδείγματα: n = 10, π = 0,35, x = 3: P(X = 3|10, 0,35) = 0,2522 n = 10, π = 0,75, x = 8: P(X = 8|10, 0,75) = 0,2816

Διωνυμική Κατανομή Χαρακτηριστικά Παραδείγματα P(X=x|5, 0,1) 0,6 0,4 0,2 1 2 3 4 5 x P(X=x|5, 0,5) 0,6 0,4 0,2 1 2 3 4 5 x

Τόσο το Excel όσο και το Minitab Μπορούν να Χρησιμοποιηθούν για τον Υπολογισμό Διωνυμικής Κατανομής

Κατανομή Poisson Ορισμοί Μια περιοχή ευκαιρίας είναι μια συνεχής μονάδα ή χρονικό διάστημα, όγκος, ή τέτοια περιοχή στην οποία μπορεί να συμβούν περισσότερα από ένα ενδεχόμενα. Ο αριθμός των γρατζουνιών στο χρώμα ενός αυτοκινήτου Ο αριθμός των τσιμπημάτων κουνουπιών σε ένα άτομο Ο αριθμός των μη αποκρίσεων του υπολογιστή σε μια μέρα

Κατανομή Poisson Εφαρμόζετε την κατανομή Poisson όταν: Επιθυμείτε να μετρήσετε τον αριθμό των φορών που συμβαίνει ένα ενδεχόμενο σε μια δεδομένη περιοχή ευκαιρίας Η πιθανότητα ένα ενδεχόμενο να συμβεί σε μια περιοχή ευκαιρίας είναι η ίδια για όλες τις περιοχές ευκαιρίας Ο αριθμός των ενδεχομένων που συμβαίνουν σε μια περιοχή ευκαιρίας είναι ανεξάρτητη από τον αριθμό των ενδεχομένων που συμβαίνουν σε οποιαδήποτε άλλη περιοχή ευκαιρίας Η πιθανότητα δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα να συμβούν σε μια περιοχή ευκαιρίας προσεγγίζει το μηδέν καθώς η περιοχή ευκαιρίας γίνεται μικρότερη Ο μέσος αριθμός των ενδεχομένων ανά μονάδα είναι  (λάμδα)

Τύπος Κατανομής Poisson όπου: x = αριθμός των ενδεχομένων σε μια περιοχή ευκαιρίας  = αναμενόμενος αριθμός ενδεχομένων e = βάση του φυσικού λογαριθμικού συστήματος (2,71828...)

Κατανομή Poisson Χαρακτηριστικά Μέσος Όρος Διασπορά και Τυπική Απόκλιση όπου  = αναμενόμενος αριθμός ενδεχομένων

Χρήση Πινάκων Poisson (Διαθέσιμο On Line) X  0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1 2 3 4 5 6 7 0,9048 0,0905 0,0045 0,0002 0,0000 0,8187 0,1637 0,0164 0,0011 0,0001 0,7408 0,2222 0,0333 0,0033 0,0003 0,6703 0,2681 0,0536 0,0072 0,0007 0,6065 0,3033 0,0758 0,0126 0,0016 0,5488 0,3293 0,0988 0,0198 0,0030 0,0004 0,4966 0,3476 0,1217 0,0284 0,0050 0,4493 0,3595 0,1438 0,0383 0,0077 0,0012 0,4066 0,3659 0,1647 0,0494 0,0111 0,0020 Παράδειγμα: Βρείτε P(X = 2 |  = 0,50)

Τα Excel & Minitab Μπορούν να Χρησιμοποιηθούν Για Την Κατανομή Poisson

Γράφημα των Πιθανοτήτων Poisson Σχηματικά:  = 0,50 X  = 0,50 1 2 3 4 5 6 7 0,6065 0,3033 0,0758 0,0126 0,0016 0,0002 0,0000 P(X = 2 | =0,50) = 0,0758

Σχήμα Κατανομής Poisson  = 3,00  = 0,50

Περίληψη Κεφαλαίου Σε αυτό το κεφάλαιο καλύψαμε: Τις ιδιότητες μιας κατανομής πιθανότητας. Τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής και της διασποράς μιας κατανομής πιθανότητας. Τον υπολογισμό πιθανοτήτων από την διωνυμική κατανομή και την κατανομή Poisson. Τη χρήση της διωνυμικής και της κατανομής Poisson για την επίλυση προβλημάτων των επιχειρήσεων