1 ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ Ιούλιος 2009 ΤΟ ΝΟΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΟΧΗ ΜΑΣ Γεώργιος Φιλίππου

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ The first thing I wish to say is that I am pleased to find out that the last few years have been the era of the teacher as the almost uncontested focus of researchers attention. The first thing I wish to say is that I am pleased to find out that the last few years have been the era of the teacher as the almost uncontested focus of researchers attention. This is quite a change with respect to the last two decades of the 20th century which were almost exclusively the era of the learner. This is quite a change with respect to the last two decades of the 20th century which were almost exclusively the era of the learner. We have certainly come a long way since the era of the curriculum, roughly corresponding to the 1960s and 1970s when the main players in the educational game were the developer and the textbook” (Sfard, 2005, p. 409). We have certainly come a long way since the era of the curriculum, roughly corresponding to the 1960s and 1970s when the main players in the educational game were the developer and the textbook” (Sfard, 2005, p. 409).

3 Η δομή της παρουσίασης 1. Το αντικείμενο διδασκαλίας 2. Η συμβολή της ψυχολογίας 3. Το νόημα της γνώσης 4. Γνώση, μάθηση και διδασκαλία 5. Ο δάσκαλος ως επαγγελματίας 6. Ο δάσκαλος ως οργανωτής κοινοτήτων μάθησης

4 Τι είναι τα μαθηματικά; Πρόκειται για φιλοσοφικό ερώτημα στο οποίο η απάντηση δεν είναι εύκολη. Πρόκειται για φιλοσοφικό ερώτημα στο οποίο η απάντηση δεν είναι εύκολη. Απόδειξη: «κάθε σοβαρός μαθηματικός που σεβόταν τον εαυτό του, θεωρούσε ότι έπρεπε να δώσει και το δικό του ορισμό των μαθηματικών» Απόδειξη: «κάθε σοβαρός μαθηματικός που σεβόταν τον εαυτό του, θεωρούσε ότι έπρεπε να δώσει και το δικό του ορισμό των μαθηματικών» Mathematics is the abstract science of number quantity and space (The New Oxford American Dictionary, 2001.) Mathematics is the abstract science of number quantity and space (The New Oxford American Dictionary, 2001.) Προφανώς ο ορισμός δεν περιλαμβάνει όλα τα μαθηματικά (αριθμητικές ποσότητες και χώρο). Προφανώς ο ορισμός δεν περιλαμβάνει όλα τα μαθηματικά (αριθμητικές ποσότητες και χώρο).

5 Τι είναι τα μαθηματικά; Το 1947 οι Courant & Robbins έγραψαν ένα βιβλίο με τίτλο Το 1947 οι Courant & Robbins έγραψαν ένα βιβλίο με τίτλο ‘What is Mathematics?’. Ωστόσο, ποτέ δεν απάντησαν το ερώτημα. Ωστόσο, ποτέ δεν απάντησαν το ερώτημα. Όπως γράφει ο Hersh (1997): ‘After devouring the book with wonder and delight, I was still left asking, ‘But what is mathematics, really?’ Όπως γράφει ο Hersh (1997): ‘After devouring the book with wonder and delight, I was still left asking, ‘But what is mathematics, really?’ Ο ίδιος πιστεύει ότι, “mathematics must be understood as a human activity, a social phenomenon, part of human culture, historically evolved, and intelligible only in a social context”. Ο ίδιος πιστεύει ότι, “mathematics must be understood as a human activity, a social phenomenon, part of human culture, historically evolved, and intelligible only in a social context”. Ορισμός με αναφορά στις πρακτικές: To master mathematics is to master an intangible view, it is to acquire the skill of the virtuoso, who cannot pin his performance on criteria (Rota, 1980). Ορισμός με αναφορά στις πρακτικές: To master mathematics is to master an intangible view, it is to acquire the skill of the virtuoso, who cannot pin his performance on criteria (Rota, 1980).

6 Τι είναι τα μαθηματικά; Ο Paul Halmos (1980): Τα μαθηματικά αποτελούνται από αξιώματα, θεωρήματα, ορισμούς, τύπους και μεθόδους. Αλλά, κανένα από αυτά δεν είναι η καρδιά του αντικειμένου. Το κύριο έργο του μαθηματικού είναι να επιλύει προβλήματα. Ο Paul Halmos (1980): Τα μαθηματικά αποτελούνται από αξιώματα, θεωρήματα, ορισμούς, τύπους και μεθόδους. Αλλά, κανένα από αυτά δεν είναι η καρδιά του αντικειμένου. Το κύριο έργο του μαθηματικού είναι να επιλύει προβλήματα. Schoenfeld (1992). Τα Μαθηματικά είναι κοινωνική δραστηριότητα, κατά την οποία μια κοινότητα ειδικών ασχολείται με την επιστήμη των μοτίβων (patterns), με βάση την παρατήρηση, τη μελέτη και τον πειραματισμό, για να αποφανθεί αναφορικά με τη φύση ή τις αρχές κανονικότητας συστημάτων, τα οποία ορίζονται αξιωματικά, θεωρητικά ή με μοντέλα που βασίζονται σε πραγματικά αντικείμενα. Schoenfeld (1992). Τα Μαθηματικά είναι κοινωνική δραστηριότητα, κατά την οποία μια κοινότητα ειδικών ασχολείται με την επιστήμη των μοτίβων (patterns), με βάση την παρατήρηση, τη μελέτη και τον πειραματισμό, για να αποφανθεί αναφορικά με τη φύση ή τις αρχές κανονικότητας συστημάτων, τα οποία ορίζονται αξιωματικά, θεωρητικά ή με μοντέλα που βασίζονται σε πραγματικά αντικείμενα.

7 Μαθηματικά και διδασκαλία Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι προϊόν ανθρώπινης δραστηριότητας. Εφευρίσκονται ή κατασκευάζονται από τον άνθρωπο (δεν ανακαλύπτονται). Κάποιες μαθηματικές ιδέες απαντούν στον φυσικό κόσμο. Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι προϊόν ανθρώπινης δραστηριότητας. Εφευρίσκονται ή κατασκευάζονται από τον άνθρωπο (δεν ανακαλύπτονται). Κάποιες μαθηματικές ιδέες απαντούν στον φυσικό κόσμο. Η κατασκευή μαθηματικών δεν είναι αποτέλεσμα τύχης αλλά ζήτημα ενασχόλησης με τα ήδη υπάρχοντα μαθηματικά, για τη εξυπηρέτηση αναγκών της καθημερινής ζωής και της επιστήμης. Η κατασκευή μαθηματικών δεν είναι αποτέλεσμα τύχης αλλά ζήτημα ενασχόλησης με τα ήδη υπάρχοντα μαθηματικά, για τη εξυπηρέτηση αναγκών της καθημερινής ζωής και της επιστήμης. Από τη στιγμή της κατασκευής τους τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ιδιότητες π.χ. σχέσεις και αναλογίες καλά προσδιορισμένες, οι οποίες είναι συχνά δύσκολο να ανακαλυφθούν. Από τη στιγμή της κατασκευής τους τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ιδιότητες π.χ. σχέσεις και αναλογίες καλά προσδιορισμένες, οι οποίες είναι συχνά δύσκολο να ανακαλυφθούν.

8 Παράμετροι από τη γνωστική ψυχολογία Σύμφωνα με κάποιους ψυχολόγους (Anderson, et.al., 2000) οι μαθηματικοί παιδαγωγοί εφαρμόζουν λανθασμένα τα πορίσματα της γνωστικής ψυχολογίας. Σύμφωνα με κάποιους ψυχολόγους (Anderson, et.al., 2000) οι μαθηματικοί παιδαγωγοί εφαρμόζουν λανθασμένα τα πορίσματα της γνωστικής ψυχολογίας. Παραδείγματα: Παραδείγματα: 1.Η υπέρβαση του συμπεριφορισμού οδήγησε σε άρνηση της ανάλυσης σε επιμέρους καθώς και της διατύπωσης μετρήσιμων στόχων. 2.Κάποιες προτάσεις του οικοδομισμού και της αντίληψης για περιστασιοποιημένη μάθηση (situated learning) ερμηνεύονται καθ’ υπερβολή.

9 Παράμετροι από την ψυχολογία Η γνώση παραμένει συνδεδεμένη με την κατάσταση στην οποία εμφανίζεται. Η γνώση παραμένει συνδεδεμένη με την κατάσταση στην οποία εμφανίζεται. –Μήπως αυτό οδηγεί σε άρνηση της γενίκευσης και της μεταφοράς της γνώσης; Η άμεση διδασκαλία αφαιρέσεων δεν συνάδει με την οικοδόμηση της γνώσης μέσα από αυθεντικές καταστάσεις. Η άμεση διδασκαλία αφαιρέσεων δεν συνάδει με την οικοδόμηση της γνώσης μέσα από αυθεντικές καταστάσεις. –Ωστόσο, η γενίκευση και η αφαίρεση παραμένει ο τελικός στόχος. Η μάθηση είναι κοινωνικό φαινόμενο που λαμβάνει χώρα σε ένα κοινωνικό περιβάλλον. Η μάθηση είναι κοινωνικό φαινόμενο που λαμβάνει χώρα σε ένα κοινωνικό περιβάλλον. –Η αξία της συνεργατικής μάθησης είναι δεδομένη, αλλά οι απαιτήσεις και το κόστος είναι συχνά δυσανάλογο.

10 Το νόημα της γνώσης Γνώση των μαθηματικών έχει διπλό νόημα. Γνώση των μαθηματικών έχει διπλό νόημα. –Γνώση του «τι» και γνώση του «πώς»; Κάποιος διαθέτει σε λειτουργικό επίπεδο έννοιες και θεωρήματα τα οποία χρησιμοποιεί για την ερμηνεία πληροφοριών, την επίλυση προβλημάτων κλπ. –Οι προβληματικές καταστάσεις δημιουργούν σχέσεις ανάμεσα στις έννοιες, οι οποίες δυνατό να είναι εσωτερικές αλλά και εν μέρει εξωτερικές ως προς τα μαθηματικά (Douady, 1997). Σε αυτή τη διαδικασία, οι έννοιες και τα θεωρήματα αποτελούν εργαλεία που χρησιμοποιούνται σε συγκεκριμένες καταστάσεις και ελέγχονται τη δεδομένη στιγμή από το άτομο ή από την ομάδα. Σε αυτή τη διαδικασία, οι έννοιες και τα θεωρήματα αποτελούν εργαλεία που χρησιμοποιούνται σε συγκεκριμένες καταστάσεις και ελέγχονται τη δεδομένη στιγμή από το άτομο ή από την ομάδα.

11 Το νόημα της γνώσης Γνώση μαθηματικών ≡ αναγνώριση των εννοιών και θεωρημάτων ως μέρος ενός καθιερωμένου γνωστικού σώματος. Γνώση μαθηματικών ≡ αναγνώριση των εννοιών και θεωρημάτων ως μέρος ενός καθιερωμένου γνωστικού σώματος. –Οι έννοιες και τα θεωρήματα προσλαμβάνουν τη μορφή αντικειμένου, είναι από-πλαισιωμένα και α-χρονικά. Η από-πλαισιωποίηση συμβάλλει στην εμβάθυνση και επέκταση του νοήματος. Οι έννοιες διαφοροποιούνται για να ερμηνευτούν και να γενικευτούν, ενώ τα θεωρήματα επανεξετάζονται. Η από-πλαισιωποίηση συμβάλλει στην εμβάθυνση και επέκταση του νοήματος. Οι έννοιες διαφοροποιούνται για να ερμηνευτούν και να γενικευτούν, ενώ τα θεωρήματα επανεξετάζονται. –Κατά την εξέταση μιας κατάστασης δυνατό να απαιτηθεί η εισαγωγή συμβολισμού και η δημιουργία κάτι νέου - μια δραστηριότητα ιδιαίτερα σημαντική για τη μάθηση. Ο δάσκαλος δημιουργεί συνθήκες που ωθούν το μαθητή εμπλακεί σε μια νοητική δραστηριότητα από την οποία αποκτά γνώση με τη διπλή της έννοια, ως εργαλείο και ως αντικείμενο. Ο δάσκαλος δημιουργεί συνθήκες που ωθούν το μαθητή εμπλακεί σε μια νοητική δραστηριότητα από την οποία αποκτά γνώση με τη διπλή της έννοια, ως εργαλείο και ως αντικείμενο.

12 Η δημιουργία νέας γνώσης Δύο είναι οι μεταφορές που αφορούν απόκτηση γνώσης μέσα στο κοινωνικό συγκείμενο με δυνατότητα μεταφοράς και εφαρμογής της. Δύο είναι οι μεταφορές που αφορούν απόκτηση γνώσης μέσα στο κοινωνικό συγκείμενο με δυνατότητα μεταφοράς και εφαρμογής της. Η «οικοδόμηση της γνώσης» (κοστρουκτιβισμός), Η «οικοδόμηση της γνώσης» (κοστρουκτιβισμός), Η «κοινωνική αλληλεπίδραση» (κοινωνικός κοστρουκτιβισμός). Υπάρχει η άποψη ότι νέες συνθήκες υποβάλλουν μια «μορφή επιστημολογικής μετατόπισης […] των παιδαγωγών, εκπαιδευτικών ψυχολόγων, κ.λπ., για να μπορούν να ανταποκριθούν στις προκλήσεις των καιρών» (Paavola & Hakkarainen, 2005, σ. 536). Υπάρχει η άποψη ότι νέες συνθήκες υποβάλλουν μια «μορφή επιστημολογικής μετατόπισης […] των παιδαγωγών, εκπαιδευτικών ψυχολόγων, κ.λπ., για να μπορούν να ανταποκριθούν στις προκλήσεις των καιρών» (Paavola & Hakkarainen, 2005, σ. 536). Για το σκοπό αυτό προτείνουν μια τρίτη μεταφορά «δημιουργία γνώσης» (creation of knowledge). Για το σκοπό αυτό προτείνουν μια τρίτη μεταφορά «δημιουργία γνώσης» (creation of knowledge). ΓΝΩΡΙΖΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ≡ ΚΑΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΖΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ≡ ΚΑΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

13 Γνώση, μάθηση και διδασκαλία Οι Putnam & Borko (2000) αναφέρονται σε «περιστασιοποιημένη γνώση» και σε κατανεμημένη γνώση (distributed cognition). Οι Putnam & Borko (2000) αναφέρονται σε «περιστασιοποιημένη γνώση» και σε κατανεμημένη γνώση (distributed cognition). Με τον όρο περιστασιοποιημένη εννοούν ότι η μάθηση λαμβάνει χώρα σε ένα συγκεκριμένο φυσικό και κοινωνικό πλαίσιο και αναφέρεται σε συγκεκριμένη κατάσταση. Με τον όρο περιστασιοποιημένη εννοούν ότι η μάθηση λαμβάνει χώρα σε ένα συγκεκριμένο φυσικό και κοινωνικό πλαίσιο και αναφέρεται σε συγκεκριμένη κατάσταση. Ο όρος αυτός αναδεικνύει τη σημασία των αυθεντικών δραστηριοτήτων στην τάξη, δηλαδή της ενασχόλησης με έργα και δραστηριότητες οι οποίες έχουν άμεση σχέση με πρακτικές που έχουν νόημα για τα άτομα στη συγκεκριμένη κοινωνία. Ο όρος αυτός αναδεικνύει τη σημασία των αυθεντικών δραστηριοτήτων στην τάξη, δηλαδή της ενασχόλησης με έργα και δραστηριότητες οι οποίες έχουν άμεση σχέση με πρακτικές που έχουν νόημα για τα άτομα στη συγκεκριμένη κοινωνία.

14 Γνώση, μάθηση και διδασκαλία Ο όρος κατανεμημένη γνώση υπογραμμίζει το γεγονός ότι η γνώση δεν αποτελεί ατομική ιδιοκτησία ή ιδιότητα Ο όρος κατανεμημένη γνώση υπογραμμίζει το γεγονός ότι η γνώση δεν αποτελεί ατομική ιδιοκτησία ή ιδιότητα Η πλήρης κατοχή και οι δυνατότητες εφαρμογής της γνώσης ενισχύονται με την κατανομή της ανάμεσα σε ομάδες ατόμων με τη χρήση και τεχνικών μέσων. Η πλήρης κατοχή και οι δυνατότητες εφαρμογής της γνώσης ενισχύονται με την κατανομή της ανάμεσα σε ομάδες ατόμων με τη χρήση και τεχνικών μέσων. Η ατομική γνώση έχει περιορισμένη χρηστική εμβέλεια. Το άτομο μπορεί να αποκτήσει πιο συγκροτημένα νοήματα, να έχει πρόσβαση και να χρησιμοποιεί καλύτερα κάποια γνώση, ως μέλος μιας ομάδας που αξιοποιεί συλλογικά όλα τα απαραίτητα μέσα. Η ατομική γνώση έχει περιορισμένη χρηστική εμβέλεια. Το άτομο μπορεί να αποκτήσει πιο συγκροτημένα νοήματα, να έχει πρόσβαση και να χρησιμοποιεί καλύτερα κάποια γνώση, ως μέλος μιας ομάδας που αξιοποιεί συλλογικά όλα τα απαραίτητα μέσα. Είναι προφανής η διασύνδεση της κατανεμημένης γνώσης με τη μεταφορά «δημιουργία της γνώσης» από μια κοινότητα, η οποία αναφέρθηκε πιο πάνω. Είναι προφανής η διασύνδεση της κατανεμημένης γνώσης με τη μεταφορά «δημιουργία της γνώσης» από μια κοινότητα, η οποία αναφέρθηκε πιο πάνω.

15 Ο δάσκαλος ως επαγγελματίας Η εκπαίδευση και ανάπτυξη του εκπαιδευτικού είναι άμεσα συνδεδεμένη με το κοινωνικό συγκείμενο. Η εκπαίδευση και ανάπτυξη του εκπαιδευτικού είναι άμεσα συνδεδεμένη με το κοινωνικό συγκείμενο. Ο van den Berg (2002) εξετάζει το νόημα που αποδίδει ο εκπαιδευτικός στην παιδαγωγική πράξη, τον οργανισμό ως πεδίο επιστημολογικών συγκρούσεων, τις θεωρίες ανησυχιών και την ταυτότητα του εκπαιδευτικού. Ο van den Berg (2002) εξετάζει το νόημα που αποδίδει ο εκπαιδευτικός στην παιδαγωγική πράξη, τον οργανισμό ως πεδίο επιστημολογικών συγκρούσεων, τις θεωρίες ανησυχιών και την ταυτότητα του εκπαιδευτικού. Η πολιτεία προβάλλει πρότυπα, προσδιορίζει σκοπούς και διαμορφώνει το αναλυτικό πρόγραμμα. Η πολιτεία προβάλλει πρότυπα, προσδιορίζει σκοπούς και διαμορφώνει το αναλυτικό πρόγραμμα. Ωστόσο, οι προσδοκίες που επιβάλλονται από την αγορά εργασίας δεν συνάδουν με αυτό που οι εκπαιδευτικοί θεωρούν καλή διδασκαλία. Ωστόσο, οι προσδοκίες που επιβάλλονται από την αγορά εργασίας δεν συνάδουν με αυτό που οι εκπαιδευτικοί θεωρούν καλή διδασκαλία. Υπάρχει διάσταση ανάμεσα στο οικονομικό πρότυπο και την ανθρωπιστική παιδεία, ανάμεσα στην παιδεία και εργαλειακή της αξία (Day, 2002). Υπάρχει διάσταση ανάμεσα στο οικονομικό πρότυπο και την ανθρωπιστική παιδεία, ανάμεσα στην παιδεία και εργαλειακή της αξία (Day, 2002).

16 Ο δάσκαλος ως επαγγελματίας Οι αλλαγές που σημειώνονται διεθνώς συχνά επιδιώκουν: 1. Βελτίωση της οικονομικής ανταγωνιστικότητας, 2. Ικανοποίηση ανησυχιών και αποφυγή συγκρούσεων ανάμεσα σε προσωπικές και κοινωνικές αξίες, 3. Αμφισβητούν τις πρακτικές των εκπαιδευτικών, 4. Επαυξάνουν τον όγκο εργασίας για το δάσκαλο, 4. Επαυξάνουν τον όγκο εργασίας για το δάσκαλο, 5. Υποβαθμίζουν τη σημασία της ταυτότητας των εκπαιδευτικών, που είναι κεντρικής σημασίας για τα κίνητρα, την αφοσίωση, την επαγγελματική ικανοποίηση και την απόδοσή τους (Day, 2002). Ωστόσο, μετά από τόσες διοικητικές παρεμβάσεις και παρά τα νεώτερα νοήματα από την παιδαγωγική εμπειρία, η βελτίωση του σχολείου εξακολουθεί να αμφισβητείται. Τα αποτελέσματα δεν ανταποκρίνονται στις προσδοκίες

17 Ο δάσκαλος στο πλαίσιο του οργανισμού Η κατασκευή νοήματος είναι μια διαλεκτική διαδικασία κατά την οποία οι δομές μιας πραγματικότητας επηρεάζουν την ερμηνεία των νέων εμπειριών, με αποτέλεσμα την κατασκευή νέων νοημάτων. Η κατασκευή νοήματος είναι μια διαλεκτική διαδικασία κατά την οποία οι δομές μιας πραγματικότητας επηρεάζουν την ερμηνεία των νέων εμπειριών, με αποτέλεσμα την κατασκευή νέων νοημάτων. Τα άτομα ελέγχουν εμπειρικά τις πεποιθήσεις και παραδοχές τους και είτε τις επιβεβαιώνουν είτε τις αναθεωρούν, με βάση τα νέα δεδομένα. Τα άτομα ελέγχουν εμπειρικά τις πεποιθήσεις και παραδοχές τους και είτε τις επιβεβαιώνουν είτε τις αναθεωρούν, με βάση τα νέα δεδομένα. Ιδιαίτερης σημασίας είναι «εκείνες οι πεποιθήσεις, στάσεις και συγκινήσεις - τα προσωπικά νοήματα ή ‘αλήθειες’ στις οποίες πρεσβεύει ο κάθε δάσκαλος» (van den Berg, σ. 579). Ιδιαίτερης σημασίας είναι «εκείνες οι πεποιθήσεις, στάσεις και συγκινήσεις - τα προσωπικά νοήματα ή ‘αλήθειες’ στις οποίες πρεσβεύει ο κάθε δάσκαλος» (van den Berg, σ. 579). Ερώτημα: Σε ποιο βαθμό η διαδικασία κατασκευής νοήματος έχει χαρακτήρα συλλογικής αναζήτησης ή παραμένει στο επίπεδο μοναχικών παράλληλων δρόμων. Ερώτημα: Σε ποιο βαθμό η διαδικασία κατασκευής νοήματος έχει χαρακτήρα συλλογικής αναζήτησης ή παραμένει στο επίπεδο μοναχικών παράλληλων δρόμων. Στην προσπάθεια αυτή έχει σημασία η λειτουργία της κοινότητας δράσης. Η αρχική εκπαίδευση και η δια-βίου ανάπτυξη των εκπαιδευτικών καθίσταται ολοένα και πιο σύνθετη διαδικασία. Στην προσπάθεια αυτή έχει σημασία η λειτουργία της κοινότητας δράσης. Η αρχική εκπαίδευση και η δια-βίου ανάπτυξη των εκπαιδευτικών καθίσταται ολοένα και πιο σύνθετη διαδικασία.

18 Κοινότητες μάθησης (communities of learning) Η ‘προώθηση κοινοτήτων μάθησης’ (ΠΚΜ) (Sherin, et.al.,2004). βασίζεται σε τέσσερις αρχές ή έννοιες μάθησης: δραστηριότητα, αναστοχασμός, συνεργασία και κοινότητα. Η ‘προώθηση κοινοτήτων μάθησης’ (ΠΚΜ) (Sherin, et.al.,2004). βασίζεται σε τέσσερις αρχές ή έννοιες μάθησης: δραστηριότητα, αναστοχασμός, συνεργασία και κοινότητα. η διδασκαλία είναι αποτελεσματική, όταν ο μαθητής είναι συμμέτοχος στη μαθησιακή διαδικασία, αναστοχάζεται τη συμμετοχή του, συνεργάζεται με άλλους για τη δημιουργία νοήματος και νιώθει ως μέλος μιας κοινότητας. η διδασκαλία είναι αποτελεσματική, όταν ο μαθητής είναι συμμέτοχος στη μαθησιακή διαδικασία, αναστοχάζεται τη συμμετοχή του, συνεργάζεται με άλλους για τη δημιουργία νοήματος και νιώθει ως μέλος μιας κοινότητας. Ο δάσκαλος σε μια τάξη ΠΚΜ έχει σαφείς διδακτικούς σκοπούς, σχεδιάζει ενότητες περιεχομένου, ενίοτε σε συνεργασία με ερευνητές, και είναι οδηγός ‘καθοδηγούμενης ανακάλυψης’. Ο δάσκαλος σε μια τάξη ΠΚΜ έχει σαφείς διδακτικούς σκοπούς, σχεδιάζει ενότητες περιεχομένου, ενίοτε σε συνεργασία με ερευνητές, και είναι οδηγός ‘καθοδηγούμενης ανακάλυψης’.

19 O δάσκαλος ως οργανωτής κοινοτήτων μάθησης Οι Shulman και Shulman (2004) προτείνουν ένα εννοιολογικό πλαίσιο που αναλύει τις προκλήσεις γύρω από προετοιμασία δασκάλου οργανωτή- διαμορφωτή κοινωνιών μάθησης. Οι Shulman και Shulman (2004) προτείνουν ένα εννοιολογικό πλαίσιο που αναλύει τις προκλήσεις γύρω από προετοιμασία δασκάλου οργανωτή- διαμορφωτή κοινωνιών μάθησης. Βασικές συνιστώσες του μοντέλου: Βασικές συνιστώσες του μοντέλου: –Ετοιμότητα (όραμα), –θέληση (κίνητρα), –ικανότητα (γνώση του πώς και του τι), –διάθεση αναστοχασμού (κριτική ανάλυση εμπειριών) –επικοινωνία (στο πλαίσιο μιας επαγγελματικής κοινότητας).

20 Η εκπαίδευση του δασκάλου Ο Schoenfeld (2000) διακρίνει τέσσερις δείκτες για την ανάπτυξη ενός μοντέλου εκπαίδευσης του δασκάλου: Ο Schoenfeld (2000) διακρίνει τέσσερις δείκτες για την ανάπτυξη ενός μοντέλου εκπαίδευσης του δασκάλου: α) Τη γνώση του δασκάλου, όπως είναι οργανωμένη, εφαρμόζεται και αξιολογείται, α) Τη γνώση του δασκάλου, όπως είναι οργανωμένη, εφαρμόζεται και αξιολογείται, β) τους σκοπούς του δασκάλου και το τρόπο διαμόρφωσής τους ως προς τη διδασκαλία, β) τους σκοπούς του δασκάλου και το τρόπο διαμόρφωσής τους ως προς τη διδασκαλία, γ) τις πεποιθήσεις του δασκάλου για τη φύση των μαθηματικών, τη διδασκαλία και τη μάθησή τους και γ) τις πεποιθήσεις του δασκάλου για τη φύση των μαθηματικών, τη διδασκαλία και τη μάθησή τους και δ) τις προτεραιότητες κατά τη λήψη αποφάσεων, αναφορικά με τους σκοπούς, τη γνώση και τις πεποιθήσεις που οδηγούν στην επιλογή δράσεων. δ) τις προτεραιότητες κατά τη λήψη αποφάσεων, αναφορικά με τους σκοπούς, τη γνώση και τις πεποιθήσεις που οδηγούν στην επιλογή δράσεων.

21 Το όραμα του καλού δασκάλου My goals for the students are that they develop appropriately mathematical predilections, knowledge, and skills. My goals for the students are that they develop appropriately mathematical predilections, knowledge, and skills. I want them to be aggressively mathematical - to see mathematics where it can be seen, to pursue mathematical connections, extensions, generalizations; to have a sense of what it means to understand mathematics and good judgment about when they do. I want them to be aggressively mathematical - to see mathematics where it can be seen, to pursue mathematical connections, extensions, generalizations; to have a sense of what it means to understand mathematics and good judgment about when they do. And, I want them to have the tools that will enable them to do so. That means having a rich knowledge base, a wide range of problem solving strategies, and good metacognitive behavior (A. Schoenfeld, 1998). And, I want them to have the tools that will enable them to do so. That means having a rich knowledge base, a wide range of problem solving strategies, and good metacognitive behavior (A. Schoenfeld, 1998).