Matemáticas 1º Bachillerato CT TRIGONOMETRÍA Tema 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

RAZONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS Tema 3.6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones de la suma de ángulos SENO DE LA SUMA Sea: AB= sen α OB= cos α OC= cos β EC= sen β ED=sen (α+β) ED=EF+FD EF=EC.cos α = sen β.cos α FD=OC.sen α = cos β.sen α Luego: sen (α+β) = = sen β.cos α + cos β.sen α E α A F r=1 C β α O D B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones de la suma de ángulos COSENO DE LA SUMA Sea: AB= sen α OB= cos α OC= cos β EC= sen β OD= cos (α+β) OD=OG – GD= OG – FC OG=OC.cos α = cos β.cos α FC=EC.sen α = sen β.sen α Luego: cos (α+β) = = cos β.cos α – sen β.sen α E α A F r=1 C β α O D G B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones de la suma de ángulos TANGENTE DE LA SUMA Tenemos por un lado: sen (α+β) = sen β.cos α + cos β.sen α Y también: cos (α+β) = cos β.cos α – sen β.sen α Calculamos la tangente de la suma: sen β.cos α + cos β.sen α tg (α+β) = --------------------------------------- cos β.cos α – sen β.sen α Dividiendo todo entre cos β.cos α: tg α + tg β tg (α+β) = ----------------------- 1 – tg α. tg β @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones de la diferencia SENO, COSENO Y TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS Teníamos: sen (α+β) = sen β.cos α + cos β.sen α cos (α+β) = cos β.cos α – sen β.sen α tg α + tg β tg (α+β) = ----------------------- 1 – tg α. tg β Si se sustituye β por (– β), queda: sen (α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β cos (α – β) = cos α .cos β + sen α . sen β tg α – tg β tg (α – β) = ----------------------- 1 + tg α. tg β @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 1 Hallar las razones trigonométricas de 75º en función de 30º y 45º. Tenemos: sen (α+β) = sen β.cos α + cos β.sen α cos (α+β) = cos β.cos α – sen β.sen α tg α + tg β tg (α+β) = ----------------------- 1 – tg α. tg β Luego: sen 75º = sen (30º+45º) = sen 30º.cos 45º + cos 30º.sen 45º = 0,9659 cos 75º = cos (30º+45º) = cos 30º.cos 45º – sen 30º.sen 45º = 0,2588 tg 30º + tg 45º tg (30º+45º) = -------------------------- = 3,7321 1 – tg 30º. tg 45º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 2 Hallar las razones trigonométricas de 15º en función de 30º y 45º. Tenemos: sen (α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β cos (α – β) = cos β.cos α + sen β.sen α tg α – tg β tg (α – β) = ----------------------- 1 + tg α. tg β Luego: sen 15º = sen (45º – 30º) = sen 45º . cos 30º – cos 45º . sen 30º = 0,2588 cos 15º = cos (45º – 30º) = cos 45º.cos 30º + sen 45º.sen 30º = 0,9659 tg 45º – tg 30º tg 15º = tg (45º – 30º) = ------------------------- = 0,2679 1 + tg 45º. tg 30º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Tema 3.7 * 1º BCT RAZONES DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones del ángulo doble RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE DE OTRO Tenemos por un lado: sen (α+β) = sen β.cos α + cos β.sen α Y también: cos (α+β) = cos β.cos α – sen β.sen α Si β = α sen 2α = sen α .cos α + cos α .sen α = 2. sen α .cos α cos 2α = cos α .cos α – sen α .sen α = cos2 α – sen2 α tg α + tg α 2.tg α tg 2α = ------------------ = -------------- 1 – tg α. tg α 1 – tg2 α @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones del ángulo mitad RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD DE OTRO Tenemos: cos 2α = cos2 α – sen2 α Podemos poner: cos α = cos2 (α /2) – sen2 (α /2) Puesto que α es el doble de (α/2) Como además sabemos que 1 = cos2 (α /2) + sen2 (α /2) cos α = (1 – sen2 (α /2)) – sen2 (α /2) cos α = 1 – 2.sen2 (α /2)  sen2 (α /2) = (1 – cos α)/2 De manera semejante: cos α = cos2 (α /2) – (1 – cos2 (α /2)) cos α = 2.cos2 (α /2) – 1  cos2 (α /2) = (1 + cos α)/2 Quedando: sen (α /2) = ± √ [ (1 – cos α) / 2] ,, cos (α /2) = ± √ [ (1 + cos α) / 2] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 1 Hallar las razones trigonométricas de 60º en función de las de 30º Tenemos: sen 2α = 2. sen α .cos α cos 2α = cos2 α – sen2 α 2.tg α tg 2α = -------------- 1 – tg2 α Luego: sen 60º = 2. sen 30º .cos 30º = 2.0,5.0,866 = 0,866 cos 60º = cos2 30º – sen2 30º = 0,8662 – 0,52 = 0,75 – 0,25 = 0,5 2.tg 30º 2.0,5773 1,1546 tg 60º = ---------------- = ---------------- = ----------- = 1,7321 1 – tg2 30º 1 – 0,3333 0,6667 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 2 Hallar las razones trigonométricas de 22,5º , sabiendo que: sen 45º = cos 45º = √2 / 2 = 0,707 Tenemos: sen (α /2) = ± √ [ (1 – cos α) / 2] cos (α /2) = ± √ [ (1 + cos α) / 2] Al estar en el 1º Cuadrante, el seno y coseno de 22,5º serán positivos. Luego: sen 22,5º = √ [ (1 – cos 45º) / 2] = √ [ (1 – 0,7071) / 2] = = √ [ 0,2929 / 2] = √ [ 0,14645] = 0,3827 cos 22,5º = √ [ (1 + cos 45º) / 2] = √ [ (1 + 0,7071) / 2] = = √ [ 1,7071 / 2] = √ [ 0,85355] = 0,9239 tg 22,5º = sen 22,5º / cos 22,5º = 0,3827 / 0,9239 = 0,4142 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT