1η ενότητα: η συνεισφορά του Polya Διδασκαλία και Μάθηση των Μαθηματικών με διαδικασίες επίλυσης προβλημάτων 1η ενότητα: η συνεισφορά του Polya ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Η συνεισφορά του Polya George Pólya (1887-1985) ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Ο Polya στο βιβλίο του “How to solve it”, (α) ορίζει τα στάδια επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων (β) διατυπώνει μια σειρά από ευρετικές (στρατηγικές), η χρήση των οποίων την κατάλληλη στιγμή οδηγεί στην επιτυχή επίλυση. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Tα 4 στάδια επίλυσης προβλήματος κατά τον Polya Κατανόηση προβλήματος (understanding the problem) Κατάστρωση σχεδίου επίλυσης (devising a plan) Το στάδιο αυτό θεωρείται ιδιαίτερα κρίσιμο, καθώς η σύλληψη ενός σχεδίου ενδέχεται να είναι μια χρονοβόρα διαδικασία. Συχνά θα χρειαστεί οι μαθητές να επιχειρήσουν αρκετές αποτυχημένες προσπάθειες μέχρι να καταλήξουν σε μια αποτελεσματική μέθοδο επίλυσης του προβλήματος. Εφαρμογή του σχεδίου (carrying out the plan). Το στάδιο αυτό θεωρείται από το συγγραφέα πιο εύκολο από τα προηγούμενα. Ο μαθητής κυρίως χρειάζεται υπομονή ώστε να εφαρμόσει σωστά τη στρατηγική του. Κοιτάζω πίσω (looking back) Ο συγγραφέας θεωρεί το στάδιο αυτό πολύ σημαντικό, καθώς συμβάλλει στην ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλήματος Το στάδιο αυτό συχνά παραλείπεται, τόσο από τους εκπαιδευτικούς όσο και από τους μαθητές. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Ευρετικές μέθοδοι / στρατηγικές Ευρετική Στρατηγική (Heuristic Strategy) είναι ένας τρόπος επίλυσης προβλήματος, η οποία βοηθάει τους λύτες να καταλάβουν ή να λύσουν ένα πρόβλημα. Τύποι ευρετικών στρατηγικών ευρετικές προσανατολισμού (task orientation strategies), οι οποίες επηρεάζουν τις διαθέσεις του μαθητή, την ευρέως αποτελεσματική στάση του και τις προσδοκίες του, εκτελεστικές (executive strategies), οι οποίες σχετίζονται με τον σχεδιασμό και την παρακολούθηση της γνωστικής δραστηριότητας και τέλος, τις ειδικές στρατηγικές πεδίου (specific domain strategies), οι οποίες περιλαμβάνουν διαδικασίες που αναπτύσσονται από το άτομο για την οργάνωση και το μετασχηματισμό της γνώσης. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Ευρετικές στρατηγικές-παραδείγματα Κάνε ένα σχήμα Πειραματίσου και παρατήρησε τι προκύπτει Βρες ένα μοτίβο Δούλεψε αντίστροφα (έστω ότι το πρόβλημα έχει λυθεί …) Μάντεψε και έλεγξε Ξαναξεκίνα τη λύση με άλλο τρόπο Λύσε ένα απλούστερο πρόβλημα … ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Συζήτηση Παρακολουθήστε το παρακάτω βίντεο https://www.youtube.com/watch?v=h0gbw-Ur_do με τίτλο «Polya explains the problem solving technique» Ποια τεχνική επίλυσης προβλήματος προσπαθεί να εξηγήσει στους μαθητές του o Polya; Ποιο είναι το μαθηματικό πρόβλημα που έχει θέσει; ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Τι θα μπορούσε να αναρωτηθεί ο μαθητής; Ξέρω ποιος είναι ο άγνωστος, τα δεδομένα, οι συνθήκες που εμπλέκονται στο πρόβλημα; Μπορώ να κάνω ένα σχέδιο; Έχω δει το ίδιο, παρόμοιο, ή σχετικό πρόβλημα πριν; Ξέρω ένα σχετικό θεώρημα/μαθηματικό τύπο που μπορώ να χρησιμοποιήσω; Θα μπορούσα να λύσω ένα ανάλογο απλούστερο πρόβλημα; Είναι σωστή η πορεία μου; Πώς μπορώ να ελέγξω αν αυτό που έκανα είναι σωστό; Τι έμαθα λύνοντας αυτό το πρόβλημα; ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Ο ρόλος του εκπαιδευτικού κατά τον Polya Οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να κατανοούν τα προβλήματα με βάση τη δομή και το σκοπό τους, προκειμένου να καθοδηγήσουν τους μαθητές στη λύση τους Να βοηθούν τους μαθητές τους θέτοντάς τους κατάλληλα ερωτήματα. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Τι θα μπορούσε να αναρωτηθεί ο εκπαιδευτικός; Κατανόησε ο μαθητής τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος; Μπορεί ο μαθητής να επαναδιατυπώσει το πρόβλημα με τα δικά του λόγια; Υπάρχουν παρερμηνείες ή αδυναμίες που σχετίζονται με το περιεχόμενο του προβλήματος; Έχει αναπτύξει κάποιο σχέδιο; πώς θα μπορούσα να τον συμβουλέψω χωρίς να του δώσω την απάντηση; υπάρχουν πόροι, υλικά πληροφορίες που θα μπορούσα να του συστήσω να αναζητήσει; Πώς μπορώ να βοηθήσω το μαθητή να κάνει συνδέσεις με ένα παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα; Πώς μπορώ να βοηθήσω τον μαθητή να λάβει υπόψη όλα τα δεδομένα αλλά και τις βασικές έννοιες που εμπλέκονται; Μπορώ να τον βοηθήσω να κάνει εικασίες σχετικά με τη λύση ή να του ζητήσω να σχεδιάσει μια πορεία λύσης; Τι ερωτήσεις θα μπορούσα να του απευθύνω στην εκτέλεση του σχεδίου ώστε να βεβαιωθώ ότι το σχέδιό του μπορώ να τον οδηγήσει στη λύση; Έχει ελέγξει το αποτέλεσμα που βρήκε με πειστικό και κατάλληλο τρόπο; Πώς μπορεί να χρησιμοποιήσει το αποτέλεσμα, τη στρατηγική ή τη μέθοδο για ένα άλλο πρόβλημα; Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο ρεαλιστικό ή πιο γενικό; Μπορεί να δει ο μαθητής και άλλους τρόπους λύσης; Τι έμαθε ο μαθητής λύνοντας αυτό το πρόβλημα; ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Έρευνα σχετική με την δυνατότητα διδασκαλίας ευρετικών στρατηγικών στα 80’s ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Η εστίαση στις ευρετικές στρατηγικές Ερευνητές προσπάθησαν να μελετήσουν αν η διδασκαλία εξειδικευμένων ερευνητικών στρατηγικών στην τάξη μπορεί να βελτιώσει τις επιδόσεις των μαθητών στην επίλυση προβλημάτων. Τα ευρήματα αυτών των ερευνητικών μελετών δείχνουν ότι η συστηματική εκπαίδευση σε συγκεκριμένες δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων ενισχύει την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων των μαθητών. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Kantowski (1977) Ερευνητικές ερωτήσεις: Ποιες διεργασίες μπορούν να παρατηρηθούν όταν οι μαθητές της μέσης εκπαίδευσης επιλύουν προβλήματα; Πώς αλλάζουν οι διαδικασίες αυτές καθώς αναπτύσσονται οι ικανότητες επίλυσης προβλημάτων των μαθητών; Μεθοδολογία: Για να απαντήσει σε αυτές τις ερωτήσεις, η Kantowski εφάρμοσε ένα σχέδιο προ-δοκιμαστικής εξέτασης με μια ενδιάμεση φάση διδασκαλίας βασισμένη στην υποστήριξη των μαθητών στην ανάπτυξη ευρετικών στρατηγικών. Συμμετείχαν οκτώ μαθητές. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Συμπεράσματα η χρήση των ευρετικών αυξήθηκε από τα protest στα posttest, υποδηλώνοντας ότι η άμεση διδασκαλία των ευρετικών επηρεάζει τη συχνότητα χρήσης τους. Αναγνώρισε μια συσχέτιση μεταξύ της χρήσης των ευρετικών και της επιτυχίας των μαθητών στην επίλυση προβλημάτων Κατέληξε ότι οι δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων σχετίζονται με μετρήσιμα μαθησιακά αποτελέσματα. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Εξελικτικά μοντέλα μετά τον Polya Εστίαση στη μεταγνώση Εστίαση στη σχέση προβλήματος & λύτη ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Αναδιατύπωση των σταδίων επίλυσης του Polya από τους Garofalo & Lester Οι Garofalo & Lester (1985) αναδιατυπώσαν τη θεωρία των 4 φάσεων του Polya. τη φάση προσανατολισμού (στρατηγική συμπεριφορά για την αξιολόγηση και την κατανόηση του προβλήματος), τη φάση οργάνωσης (σχεδιασμός της συμπεριφοράς και της επιλογής των δράσεων), τη φάση εκτέλεσης (ρύθμιση της συμπεριφοράς που να συμμορφώνεται με το σχέδιο) και τη φάση ελέγχου ή μεταγνώσης (αξιολόγηση των αποφάσεων και των αποτελεσμάτων του σχεδίου εκτέλεσης). ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Η εστίαση στη Μεταγνώση/αξιολόγηση της λύσης Η Μεταγνώση είναι ένα μέσο με τη βοήθεια του οποίου ο μαθητής αξιολογεί την ορθότητα της απάντησης, ή της λύσης που έδωσε σε μια κατάσταση-πρόβλημα. Ο μαθητής είναι σε θέση να διαπιστώσει τα λάθη του και να τροποποιήσει τις ιδέες που το οδήγησαν σε αυτά να ερμηνεύσει τις αιτίες που οδηγούν σε ένα σωστό ή λάθος αποτέλεσμα. η μεταγνώση αποτελείται από δύο μέρη, την παρακολούθηση (monitoring) και τη ρύθμιση (regulation). το «ελέγχω» σημαίνει «έχω τον έλεγχο», δηλαδή ξέρω τι κάνω για να έχω ένα αποτέλεσμα ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Εστίαση στη σχέση προβλήματος και λύτη (Schoelfeld) Ο Schoenfeld (1985) ανέπτυξε ένα θεωρητικό πλαίσιο το οποίο θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση της επίλυσης προβλημάτων αλλά και της μαθηματικής σκέψης γενικότερα. Αυτό το πλαίσιο περιλαμβάνει 4 τομείς που ισχυρίζεται ότι πρέπει απαραίτητα να αντιμετωπιστούν από οποιαδήποτε εργασία που σκοπεύει να διερευνήσει μαθηματικές επιδόσεις επίλυσης προβλημάτων. Αυτά είναι τα εξής: Οι πόροι (Η σχετική μαθηματική γνώση-διαίσθηση, γεγονότα, αλγόριθμοι, κατανόηση-που κατέχει το άτομο.) Οι ευρετικές στρατηγικές (Στρατηγικές και τεχνικές όπως χρήση αναπαραστάσεων, αξιοποίηση παρόμοιων προβλημάτων, αναδιατύπωση του προβλήματος). Ο έλεγχος (αποφάσεις - σχεδιασμός, παρακολούθηση, μεταγνωστικές διαδικασίες - όσον αφορά την επιλογή και χρήση των κατάλληλων πόρων και ευρετικών) Οι πεποιθήσεις* του λύτη για τα μαθηματικά και τη μαθηματική γνώση. *Ο Schoenfeld όρισε το σύστημα πεποιθήσεων του ατόμου ως «την οπτική του για τον κόσμο των μαθηματικών, το σύνολο των (όχι απαραίτητα συνειδητών) αιτίων που αποδίδει το άτομο για τη στάση του ως προς τον εαυτό του, το περιβάλλον, το θέμα που μελετάει και τα μαθηματικά ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

«η σφαιρική άποψη» ως ευρετική στρατηγική Υπάρχει ένα πλήθος ευρετικών στρατηγικών και κάθε πρόβλημα λύνεται με κάποιες από αυτές ή με μία από αυτές. Το να γνωρίζεις τις στρατηγικές που υπάρχουν και την χρήση τους δεν είναι αρκετό. Θα πρέπει να γνωρίζεις ποια είναι η κατάλληλη στρατηγική για κάθε πρόβλημα. Επομένως μια «σφαιρική» στρατηγική, δηλαδή μια στρατηγική εύρεσης της κατάλληλης στρατηγικής για την επίλυση του προβλήματος μας είναι επίσης απαραίτητη. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Σύγχρονες αντιλήψεις ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Επιχειρήματα ενάντια στη διδασκαλία ευρετικών στρατηγικών Πολλοί ερευνητές διαπίστωσαν ότι οι ευρετικές στρατηγικές που διδάσκονταν οι μαθητές δεν μπορούσαν να τις μεταφέρουν σε νέους τομείς. Ήταν ατελέσφορη διαδικασία δεδομένου ότι η επίλυση των προβλημάτων είναι μια ακατάστατη διαδικασία καθώς οι μαθητές πρέπει να δοκιμάζουν ιδέες και να αντιμετωπίζουν κρίσεις σχετικά με τις λύσεις τους όταν οι στρατηγικές διδάσκονται αναλυτικά δεν είναι ευρετικές όπως ακριβώς τις πρότεινε ο Pólya αλλά απλοί αλγόριθμοι. Επίλυση προβλημάτων, στο πνεύμα του Pólya, σημαίνει να μαθαίνει ο μαθητής να παλεύει με νέα δεδομένα και νέες/άγνωστες καταστάσεις και μέσα από αυτή την προσπάθεια να αγαπήσει τα μαθηματικά. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Η επίλυση προβλήματος ως μια κυκλική διαδικασία (Carson & Bloom, 2005) ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Παράγοντες που βοηθούν στην επιτυχή επίλυση προβλημάτων (Stacey, 2005, p. 342) ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

Επιλεγμένες βιβλιογραφικές αναφορές Carlson, M. P. & Bloom, I. (2005). The Cyclic Nature of Problem Solving: An Emergent Multidimensional Problem-Solving Framework. Educational Studies in Mathematics, 58: 45-75. Garofalo, J., & Lester Jr, F. K. (1985). Metacognition, cognitive monitoring, and mathematical performance. Journal for research in mathematics education, 163-176. Kantowski, M.G. (1977). Processes involved in mathematical problem solving. Journal for Research in Mathematics Education, 8, 163-180. Stacey, K. (2005). The place of problem solving in contemporary mathematics curriculum documents. Journal of Mathematical Behaviour, 24, 341–350. NCTM (2000). Principles and Standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM, 2000. Polya, G. (1945). How to Solve It. Princeton, NJ: Princeton University Press 1945. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical Problem Solving. Orlando Florida: Academic Press. Schoenfeld, Η. (1992). Learning to think mathematically: Problem-solving, metacognition, and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp.334-368). New York: Macmillan. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 Εβδομαδιαία εργασία 1) Παρακολουθήστε το μάθημα του Polya και αναφέρετε τα είδη των ευρετικών στρατηγικών που χρησιμοποιεί στο μάθημά του. https://www.youtube.com/watch?v=h0gbw-Ur_do 2) Μελετήστε το απόσπασμα από άρθρο του Ortiz (2016) και απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: Ποια είναι τα επιχειρήματα που προβάλλει ο συγγραφέας; Τι προτείνει; 3) Μελετήστε το απόσπασμα από άρθρο του Schoenfeld (1992) και απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: Τι ακριβώς διαπραγματεύεται; Ποια είναι τα επιχειρήματα που προβάλει; Τι προτείνει; ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18

ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18 4) Μελετήστε και παρουσιάστε ένα επεισόδιο ανάλυσης των στρατηγικών που εφάρμοσε ο Marco στο παρακάτω άρθρο (αφού πρώτα παρουσιάσετε το πρόβλημα): Carlson, M. P. & Bloom, I. (2005). The Cyclic Nature of Problem Solving: An Emergent Multidimensional Problem-Solving Framework. Educational Studies in Mathematics, 58: 45-75. 5) εντοπίστε το μαθηματικό πρόβλημα που διαπραγματεύεται το άρθρο στην ιστοσελίδα http://www.interesjournals.org/full-articles/heuristic-approach-experience-in-solving-mathematical-problems.pdf?view=inline (Heuristic approach experience in solving mathematical problems) Παρουσιάστε το πρόβλημα και καταγράψτε ευρετικές στρατηγικές που κατά τη γνώμη σας θα ήταν χρήσιμες στους μαθητές στην πορεία λύσης του. ΠΜΣ "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών" 2017-18