Μαθηματικά Γ΄- Δ΄ Τάξης Ιωάννης Θ. Λαζαρίδης Σχολικός Σύμβουλος Π. Ε Μαθηματικά Γ΄- Δ΄ Τάξης Ιωάννης Θ. Λαζαρίδης Σχολικός Σύμβουλος Π.Ε. H επιμέλεια σύνταξης των διαφανειών έγινε από τον Ιωάννη Θ. Λαζαρίδη και η παρουσίαση περιλαμβάνει πρωτότυπο δικό του υλικό, αλλά και υλικό του Π.Ι. για τα Νέα Βιβλία

Θεωρητικό πλαίσιο Δύο, κατά τη διάρκεια της περασμένης δεκαετίας, κύριες τάσεις έχουν επικρατήσει στην έρευνα της Εκπαίδευσης των Μαθηματικών. Η πρώτη είναι ο Κονστρουκτιβισμός (Constructivism) που θεωρητικά ξεκίνησε και θεμελιώθηκε απ’ την επιστημολογική επιχειρηματολογία του Von Glasersfeld (1984, 1987, 1989), σύμφωνα με τον οποίο, οι μαθητές ενεργά κατασκευάζουν τους δικούς τους μαθηματικούς τρόπους γνώσης, καθώς προσπαθούν να οργανώσουν τις προσωπικές τους εμπειρίες. Αποδείχθηκε εμπειρικά ότι ο κάθε μαθητής κατανοεί διαφορετικά τα μαθηματικά αντικείμενα μέσα σε κοινές διδακτικές δραστηριότητες. Από την κατασκευαστική θεωρία γνώσης (Κονστρουκτιβισμός) προκύπτει ότι η ουσιαστική μάθηση των Μαθηματικών είναι μια διαδικασία λύσης προβλημάτων (Thompson 1985, Glasersfeld 1987). Η χρήση των προβλημάτων ως μέσον για την ανάπτυξη των μαθηματικών γνώσεων των μαθητών μας, τους δίνει την ευκαιρία να μάθουν Μαθηματικά, με τρόπο ανάλογο προς αυτόν που δείχνει η ιστορική εξέλιξη ότι επινοήθηκαν τα Μαθηματικά. Η δεύτερη τάση δίνει έμφαση στην κοινωνική και πολιτιστική φύση της μαθηματικής δραστηριότητας και θεωρητικά εμπνεύστηκε απ’ το έργο του Vygotsky (που εκδόθηκε μετά το 1970). Σύμφωνα μ’ αυτήν, την Κοινωνικοπολιτιστική Θεωρία, η ανάπτυξη κι η μάθηση δεν είναι ατομική γνωστική αυτο-οργάνωση, αλλά πολιτιστική μύηση σε καθιερωμένες, εδραιωμένες πρακτικές. Η μαθηματική δραστηριότητα ενός ατόμου, επηρεάζεται βαθιά από τη συμμετοχή του σε περιρρέουσες πολιτιστικές δραστηριότητες, μέσα στις κοινωνικές ομάδες που ανήκει (οικογένεια, φίλους, σχολείο κ.α.). Η σύνθεση και ο συντονισμός των ανωτέρω προσεγγίσεων σε μια κοινή θεωρία με το όνομα «Κοινωνικός Κονστρουκτιβισμός» είναι και το επικρατέστερο διδακτικά μοντέλο, που αναδεικνύεται στη σύγχρονη προσπάθεια αναμόρφωσης της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ως ο πρωταγωνιστής.

Ζ )Η εργασία στο βιβλίο του μαθητή Σύντομη περιγραφή της διδακτικής πράξης (Ροή του μαθήματος) Βιβλίο του μαθητή Ξεκινώντας το νέο μάθημα οι μαθητές ανοίγουν τα βιβλία τους και: Ρίχνουν μια σύντομη ματιά στους στόχους Προχωρούν στην αντιμετώπιση των δραστηριοτήτων που υπάρχουν στο βιβλίο Τα συμπεράσματα των μαθητών αναδύονται, παρουσιάζονται και συζητούνται στην τάξη Με την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων ο δάσκαλος επισημαίνει τη νέα μαθηματική γνώση, «ενοποιώντας» τις απόψεις και τα συμπεράσματα των μαθητών, «ανακεφαλαιώνοντας» και «επισημοποιώντας» τις γνώσεις που αποκτήθηκαν. Η συστηματοποιημένη μαθηματική γνώση στο βιβλίο είναι σαφώς διακριτή σε ειδική έγχρωμη στήλη και συνοδεύεται από αντίστοιχα παραδείγματα. Η ολοκλήρωση προϋποθέτει τη μελέτη δύο υποδειγματικά λυμένων προβλημάτων εφαρμογής της νέας γνώσης, με σκοπό την κατανόηση της μεθοδολογίας που ακολουθείται στη λύση προβλημάτων της καθημερινής ζωής σχετικών με τη νέα γνώση Στη συνέχεια αφού οι μαθητές ολοκληρώσουν το μάθημα αντιμετωπίζουν τις «ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση» Τέλος ξαναρίχνουν μια σύντομη ματιά στους στόχους που αναγράφονται στην αρχή του μαθήματος

Η1) Η συγκρότηση μαθηματικών δομών κατά τον J. Bruner Πραξιακή αναπαράσταση: το παιδί μαθαίνει μέσα από τη δράση, τη μίμηση και το χειρισμό των αντικειμένων Εικονιστική αναπαράσταση: η αναπαράσταση του εξωτερικού κόσμου μέσω εσωτερικών πνευματικών εικόνων. Δεν υπάρχει όμως πλήρης διαχωρισμός ανάμεσα στο εξωτερικό αντικείμενο και στο αντίστοιχο εσωτερικό σύμβολο. Συμβολική αναπαράσταση: το παιδί αναπαριστά την εξωτερική πραγματικότητα με αφηρημένα σύμβολα

Η μάθηση μέσα και έξω από το σχολείο - Προϋπάρχουσες γνώσεις και ικανότητες των μαθητών Σημαντικό ρόλο στη διαδικασία της μάθησης παίζουν τα ήδη υπάρχοντα γνωστικά σχήματα και άδηλα πρότυπα επίλυσης προβλημάτων. Για παράδειγμα, οι άτυπες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να λύνουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης (π.χ. χρήση υλικών αντικειμένων και απαρίθμηση) μπορεί να αποτελέσουν το εφαλτήριο για την εισαγωγή αυτών των πράξεων.

Εποικοδομητικό μοντέλο διδασκαλίας   Μέσα από δραστηριότητες και προβληματικές καταστάσεις ανοιχτές ή κλειστές παρμένες από τη ζωή και τα ενδιαφέροντα των μαθητών, το παιδί με τη συνεργασία των μελών της ομάδας του και την φθίνουσα καθοδήγηση του δασκάλου αναπτύσσει γνωστικές συγκρούσεις, αναδομεί τις ιδέες του και οικοδομεί τις βασικές μαθηματικές γνώσεις. (Ε.Π.Π.Σ. Μαθηματικών 1997).

Πλαισίωση - Αποπλαισίωση Μαθηματικές έννοιες Η μάθηση μιας μαθηματικής έννοιας ή δεξιότητας είναι μια διαδικασία μακρόχρονη και κινείται από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο. Σύμφωνα με τη διαδικασία αυτή, ανακαλύπτουμε κοινές ιδιότητες σε διαφορετικού είδους εμπειρίες. Η νοητική αναπαράσταση μιας κοινής ιδιότητας είναι αυτό που ονομάζουμε έννοια. Η παροχή συγκεκριμένου υλικού, μοντέλων, σχημάτων, διαγραμμάτων, συμβόλων βοηθά να γεφυρωθεί το χάσμα μεταξύ του συγκεκριμένου και του αφηρημένου. Πλαισίωση - Αποπλαισίωση

Σύμφωνα με τις γενικές αρχές της διδασκαλίας των Μαθηματικών: Αυτό σημαίνει ότι «δεν μαθαίνω απορροφώντας γνώση» αλλά κατασκευάζω τη γνώση. Η διαδικασία μάθησης στα Μαθηματικά είναι μια κατασκευαστική δραστηριότητα. Προϋπόθεση ότι η διαδικασία της μάθησης βασίζεται σε συγκεκριμένες εμπειρίες του ατόμου.

Τα παιδαγωγικά μοντέλα που ενισχύουν την κατασκευή της γνώσης έχουν ως κύρια χαρακτηριστικά: Την ενεργητική συμμετοχή των μαθητών και μαθητριών στη μαθησιακή διαδικασία. Την εμπλοκή τους σε δραστηριότητες που απαιτούν συνεργασία. Τη δημιουργική απασχόλησή τους σε καταστάσεις που διευκολύνουν την ανάπτυξη επιχειρηματολογίας και επιτρέπουν τη συζήτηση μεταξύ των μελών της ομάδας.

Νοεροί υπολογισμοί Στα βιβλία των μαθηματικών υποστηρίζονται συστηματικά οι νοεροί υπολογισμοί. Πέρα από την πρακτική χρησιμότητά τους σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής, οι νοεροί υπολογισμοί δίνουν στα παιδιά τη δυνατότητα να κατανοήσουν καλύτερα τους αριθμούς και κάποιες ιδιότητες τους. Ο δάσκαλος κατά τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών ζητάει από τους μαθητές να εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο υπολόγισαν το αποτέλεσμα. Το να εξηγεί ο μαθητής τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζει είναι μια πολύ χρήσιμη διανοητική ενέργεια (μεταγνωστική διαδικασία). Επίσης, ο δάσκαλος δίνει τη δυνατότητα να εκφραστούν, να συζητηθούν και να καταγραφούν όλοι οι δυνατοί τρόποι υπολογισμού μιας πράξης.

Ανάδειξη και αξιοποίηση του λάθους Στόχοι: α) να δημιουργείται ένα πλαίσιο που επιτρέπει την εξωτερίκευση παρανοήσεων, έτσι ώστε να αποτελέσουν αντικείμενο επεξεργασίας μέσα στην τάξη, β) να έρχονται τα παιδιά στη θέση να αξιολογήσουν κριτικά απόψεις και να τεκμηριώσουν την απάντησή τους με μία εξήγηση και γ) να απενοχοποιηθεί το λάθος και να περάσει στα παιδιά το μήνυμα ότι το λάθος στην πορεία της μάθησης είναι αναμενόμενο και όχι κατακριτέο.

Σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών ο δάσκαλος: Ενθαρρύνει τους μαθητές να δραστηριοποιηθούν, επισημοποιεί τη νέα γνώση. Ειδικότερα: Εστιάζεται στην ανατροπή του παθητικού ρόλου του μαθητή και δεν είναι πια ο αποκλειστικός φορέας της γνώσης, αλλά: ο οργανωτής του πλαισίου ανάπτυξης, ο σύμβουλος και εμψυχωτής των μαθητών

Η οργάνωση της τάξης Η μαθηματική τάξη είναι πλέον ένα ανοικτό διδακτικό περιβάλλον με συνεχή εναλλαγή ατομικού – ομαδικού – μετωπικού μοντέλου οργάνωσης Το μαθηματικό περιεχόμενο προσεγγίζεται μέσα από μια ποικιλία καταστάσεων και εφαρμογών (σύνδεση με τις άλλες επιστήμες, την τεχνολογία, τον πολιτισμό και τα κοινωνικά ζητήματα)

Οι μαθητές προχωρούν στην αντιμετώπιση των δραστηριοτήτων Οι δραστηριότητες διαπραγματεύονται από τους ίδιους τους μαθητές αξιοποιώντας ομαδοσυνεργατικές μεθόδους διδασκαλίας. Οι ομαδοσυνεργατικές εργασίες: αμβλύνουν το παθογόνο άγχος των μαθητών δίνουν την ευκαιρία να αποστασιοποιηθούν από το δικό τους τρόπο σκέψης, τη δική τους γνωστική στρατηγική επισημαίνουν διαφορές και ομοιότητες αξιολογούν, επιχειρηματολογούν, ελέγχουν, κρίνουν αντικειμενικά και συμπεραίνουν.

Αρχές και φιλοσοφία των Αναλυτικών Προγραμμάτων των Μαθηματικών Ιδιαίτερη έμφαση δίδεται στη δραστηριότητα και στη διαδικασία της μαθηματικοποίησης (mathematization), η οποία χαρακτηρίζεται από πέντε αξιώματα: Η μάθηση είναι μια (ανα)κατασκευαστική δραστηριότητα, που προκαλείται από την πραγματικότητα. Η μάθηση είναι μακροχρόνια διαδικασία, που κινείται από το συγκεκριμένο, στο εικονικό, στο αφηρημένο Η μάθηση υποβοηθείται από το συλλογισμό στη διαδικασία σκέψης των ιδίων ατόμων και των άλλων Η μάθηση είναι πάντοτε ενσωματωμένη σε ένα κοινωνικό-πολιτισμικό πλαίσιο Η μάθηση είναι η κατασκευή της γνώσης και των δεξιοτήτων σε μια δομημένη οντότητα

Α1)Το διδακτικό υλικό Βιβλίο του μαθητή Τετράδια εργασιών (4 τεύχη) Βιβλίο εκπαιδευτικού Εκπαιδευτικό λογισμικό για όλες τις τάξεις

Α2)Βιβλίο του μαθητή    Στόχοι    Δραστηριότητες    Γαλάζιο πλαίσιο: Κανόνες και μαθηματικές έννοιες    Πορτοκαλί πλαίσιο: Μέθοδοι εργασίας τεχνικές και συμπεράσματα    Εφαρμογές Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση Α3)Τετράδιο εργασιών   Ασκήσεις Προβλήματα Διαθεματική δραστηριότητα ή δραστηριότητα με προεκτάσεις Θέματα για συζήτηση Θέμα για μικρή έρευνα

Α4)Βιβλίο εκπαιδευτικού Στην αρχή κάθε θεματικής ενότητας: Ø           Γράμμα προς τους γονείς Ø           Θεωρητικό μέρος Σε κάθε κεφάλαιο Ø           Οι επιμέρους στόχοι Ø           Ο μαθητής αναμένεται Ø           Δυσκολίες του κεφαλαίου Ø           Δραστηριότητες – Εκπλήξεις Ø           Ιστορικά σημειώματα Ø           Προαπαιτούμενα επόμενου μαθήματος Ø           Τεχνολογία

Β1) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄, Β΄, Γ΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ    Ώρες στο Ωρολόγιο Πρόγραμμα 140 ώρες    (Απώλειες 16-20 ώρες). Διαθέσιμος χρόνος 124 – 120    Χρονική διάρκεια ενοτήτων 99 ώρες Διαθεματικές δραστηριότητες και δραστηριότητες εμπέδωσης 20-24 ώρες Β2) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ΄, Ε΄, ΣΤ΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ώρες στο Ωρολόγιο Πρόγραμμα 140 ώρες    (Απώλειες 16-20 ώρες). Διαθέσιμος χρόνος 124 – 120    Χρονική διάρκεια ενοτήτων 101 (Δ΄,Ε΄), 106 ώρες (Στ΄) εμπέδωσης 20-24 ( Δ΄,Ε΄) και 14-20 ώρες (Στ΄).

Γ2)Ο μαθητής: αναλαμβάνει πρωτοβουλίες,        γίνεται ερευνητής, ανταλλάσσει γνώμες με τους συμμαθητές του συζητά τρόπους αντιμετώπισης των προβλημάτων, δοκιμάζει ιδέες, ελέγχει τα συμπεράσματά του και τεκμηριώνει την ορθότητά τους στην τάξη.

Γ3)Το βιβλίο οργανώνει τη δραστηριότητα του μαθητή: Με προτεινόμενες δραστηριότητες. Με μορφοποίηση της γνώσης και συνοδεία παραδειγμάτων. Με εφαρμογές και υποδειγματικές λύσεις Με ανακεφαλαίωση που περιλαμβάνει ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση.

Δ) Η αξιολόγηση για όλα τα μαθήματα αλλά και τα Μαθηματικά διακρίνεται σε : Ø     Αρχική – διαπιστωτική Ø     Διαμορφωτική – διαρκής Ø     Τελική – ανακεφαλαιωτική

Ε) Οι αλλαγές στα νέα βιβλία Θα ισχύει       Πολλαπλές στρατηγικές λύσης Εξήγηση διαδικασίας Νοεροί υπολογισμοί & γραπτές δοκιμασίες Παιδαγωγική αξιοποίηση του λάθους Διατύπωση προβλημάτων από τα παιδιά Ίσχυε Μία στρατηγική λύσης Ταύτιση επίλυσης με αλγόριθμο Γραπτές εξετάσεις «Ποινικοποίηση λάθους» Απλή επίλυση προβλημάτων

Θα1)Πράξεις Πρόσθεσης και Αφαίρεσης με μικρές ποσότητες Με τις απλές πράξεις έχουμε το πέρασμα από τον πραγματικό κόσμο των αντικειμένων στο συμβολικό κόσμο των αριθμών. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές μορφές αθροιστικών προβλημάτων: σύνθεσης        μεταβολής         σύγκρισης

Θα7)Διαδικασία Αξιολόγησης Κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων οι μαθητές επιδιώκουν:     Την κατανόηση του προβλήματος πριν από την επίλυση. Την κατασκευή σχεδίων, γραφικών παραστάσεων και φυσικών προτύπων για να οδηγηθούν στη λύση. Τη χρήση κατάλληλων στρατηγικών.     Την αξιολόγηση της εγκυρότητας των απαντήσεων. Οι μαθητές: Αιτιολογούν τις διαδικασίες επίλυσης και το αποτέλεσμα. Προβαίνουν σε μαθηματικές εικασίες. Παρατηρούν και χρησιμοποιούν τα μαθηματικά πρότυπα. Επεξηγούν τις ιδέες τους γραπτά και προφορικά. Μεταδίδουν με σαφήνεια ιδέες κατά τις συζητήσεις στην τάξη.

Μαθηματικά Γ΄ τάξης: Κεφαλαίο 22ο «Εισαγωγή στα κλάσματα» Μαθηματικά Γ΄ τάξης: Κεφαλαίο 22ο «Εισαγωγή στα κλάσματα» Ενότητα 4: κλάσματα, η πρώτη ενότητα της 2ης Περιόδου Το Κεφ. 22 συμπεριλαμβάνει 1 επαναληπτικό και τοποθετείται χρονικά το Δεκέμβρη ανάλογα με τις συνθήκες του σχολείου και της τάξης.

Οι γνώσεις για τα κλάσματα Ενότητα 6η δεκαδικά κλάσματα και μέσα από αυτά δεκαδικούς αριθμούς Ενότητα 9η -τελευταία- ενότητα με το 57ο κεφάλαιο, που είναι επαναληπτικό όσων διδάχτηκαν για τα κλάσματα και τους δεκαδικούς.

Έννοιες και όροι κλειδιά για τη διδασκαλία Θεμελιώδεις διαθεματικές έννοιες της ενότητας 4: Άτομο (μονάδα) και Σύνολο Επικοινωνία Ομοιότητα- διαφορά. Τα κλάσματα εισάγονται στη Γ΄ τάξη και συνδέονται με βιώματα «Έλα σε ένα τέταρτο (της ώρας)» «Περισσότερα από τα δύο τρίτα των παιδιών της τάξης ήρθαν στο πάρτυ» «Έχω δυο ίδιες τούρτες. Κόβω τη μία σε τρία ίσα κομμάτια και παίρνω ένα κομμάτι, την άλλη σε τέσσερα και παίρνω ένα κομμάτι. Ποιο κομμάτι είναι μεγαλύτερο;» Συμβολική και λεκτική έκφραση - αναπαράσταση

Διδακτικός στόχος Να καταστούν ικανοί οι μαθητές να: Χρησιμοποιούν εκφράσεις σχετικές με τα κλάσματα και να εμβαθύνουν στη σημασία τους Πραγματοποιούν χωρισμούς, διπλώσεις και μοιρασιές σε ίσα μέρη και να αξιολογούν τις σχέσεις μεταξύ των μεριδίων της διανομής Συνδέουν τη γραφή των κλασματικών μονάδων με το μέρος του όλου μιας ποσότητας

Διδακτικό υλικό: 1. συνταγές από περιοδικά (π.χ. Ερευνητές) 2. αναλογικό ρολόι για κάθε παιδί 3. φύλλα χαρτιού διάφανα με σχεδιασμένα τρίγωνο, ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, τετράγωνο, κύκλοι 4. γεωμετρικά σχήματα από μαλακό χαρτόνι 5. δυο χάρτινοι κύκλοι διαφορετικού χρώματος 6. φύλλα χαρτιού Α4 7. κυβάκια ή καραμέλες

Χρονικές υποδείξεις Το κεφάλαιο 22 είναι εισαγωγικό της έννοιας του κλάσματος, ενδείκνυται να αφιερωθούν δυο διδακτικές ώρες. Πρώτη: εισαγωγικές δραστηριότητες + ΒΜ Δεύτερη: ΤΕ + σχετικές δραστηριότητες στο CD

Εισαγωγικές δραστηριότητες(1) Συζήτηση για το ρολόι και τη χρήση του (από τη Β τάξη). Συζήτηση για τη φράση : «Έχω ραντεβού με τον παιδίατρο στις 12 και τέταρτο» Συζητούμε τη σημασία της λέξης ‘τέταρτο’ στην ώρα. Συζητάμε πόσο μέρος του ρολογιού-κυκλικού δίσκου καλύπτεται στο και τέταρτο… Πόσα τέταρτα είναι η μισή και πόσα η μία ώρα.

Εισαγωγικές δραστηριότητες(2) Σχεδιάζουμε ένα ρολόι και καλούμε παιδιά να παραστήσουν με διαφορετικό χρώμα τις ώρες 12, 3, 6, 9. Ο σταυρός που σχηματίζεται είναι μια άλλη αναπαράσταση της προηγούμενης δραστηριότητας την οποία συζητούμε και συγκρίνουμε. Ανά ομάδα παιδιών χρησιμοποιούν το υλικό 5 για να κατασκευάσουν ένα τεταρτημόριο του κύκλου και να τον συγκρίνουν με το τέταρτο της ώρας κ.ο.κ.

Δραστηριότητες στο Βιβλίο του Μαθητή Οι δραστηριότητες είναι εμπέδωσης Τα παιδιά (σε συνεργασία) συμπληρώνουν τη σ.58, το μέρος του ρολογιού που θα καλύψει ο λεπτοδείκτης μετά από ένα τέταρτο, τρία τέταρτα και δύο τέταρτα. Συμμετρία ½ Με το υλικό 6 κάθε μαθητής κάνει διπλώσεις έτσι ώστε το χαρτί να χωριστεί αρχικά σε 2 ίσα μέρη, μετά σε 4 και μετά σε 8. Διερευνούμε το κατά πόσο οι μαθητές αναγνωρίζουν κατά τις διπλώσεις άξονες συμμετρίας (προϋπάρχουσα γνώση). Εάν όχι τους υπενθυμίζουμε.

Υλικό 3: τα παιδιά συνεργαζόμενα σε ομάδες χαράσσουν με το χάρακά τους άξονες συμμετρίας στα σχήματα. Αναγνωρίζουν τα ίσα μέρη και τα ονομάζουν με κλάσματα. Εναλλακτικά το υλικό 4 και οι μαθητές να διπλώσουν σύμφωνα με τον (τους ) άξονα(ες) συμμετρίας. Με τη βοήθεια αυτής της δραστηριότητας συμπληρώνουν την άσκηση 2 της σ.59

Ασκήσεις στο Τ Ε Η άσκηση 1 σ.24 ανήκει στην επίλυση προβλήματος. τα παιδιά κάνουν την άσκηση ομαδικά και απαντούν στην ερώτηση : «Σε ποια παρέα το κάθε παιδί έφαγε μεγαλύτερο κομμάτι σοκολάτας;». Οι ομάδες συζητούν τις απαντήσεις και αν υπάρχουν διαφωνίες το επιβεβαιώνουν με κατασκευή. Εφαρμογές Η άσκηση 2 συνδέει λεκτική, αναπαραστατική και συμβολική μορφή της κλασματικής μονάδας. Με την άσκηση 3 σ.25 επιχειρείται εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης σε συνεχή και διακριτά μοντέλα. Μπορεί να γίνει σε συνεργασία ανά δύο ή σε ομάδα και με χρήση του υλικού 7 αν παρίσταται ανάγκη.

Ενδεικτικό διάγραμμα ροής μαθήματος Φάση α': Έλεγχος. Φάση β': Ανάδειξη προσωπικών αντιλήψεων/ προϋπάρχουσας γνώσης: Ερώτηση Αφόρμησης Φάση γ': Δραστηριότητες ανακάλυψης: Δ/Α Φάση δ': Επισημοποίηση: Συμπέρασμα. Φάση ε': Εφαρμογή / Εμπέδωση: ΤΜ 1, 2, 3, 4, 5 Φάση στ': Επέκταση: ΤΜ 6

Διδακτικοί στόχοι: Η πρόσθεση και η αφαίρεση ως αντίστροφες πράξεις. Εκτίμηση αποτελέσματος. Αλγόριθμοι (επέκταση για αριθμούς 1.000-10.000) και η επαλήθευσή τους.

Αναλυτικά: Στόχοι μας είναι να είναι ικανά τα παιδιά: να θυμηθούν και να σταθεροποιήσουν τις συνήθεις τεχνικές πρόσθεσης και αφαίρεσης φυσικών, να μπορούν να μετατρέψουν οριζόντιες γραφές σε κάθετες, να γνωρίζουν ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες, να θυμηθούν ότι στην πρόσθεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, ενώ στην αφαίρεση δεν ισχύει, να χρησιμοποιούν την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης για να διευκολύνονται στους υπολογισμούς τους, να εκτιμούν γρήγορα ένα αποτέλεσμα πρόσθεσης ή αφαίρεσης, να χρησιμοποιούν τα δύο παραπάνω για να ελέγχουν ένα αποτέλεσμα, ν' αναγνωρίζουν τα δεδομένα και τα ζητούμενα ενός προβλήματος, ν' αποκωδικοποιούν πληροφορίες από διάφορες πηγές (εικόνα, κείμενο, πίνακα).

Προαπαιτούμενες γνώσεις Καταγραφή απλής μορφής δεδομένων και συμπλήρωση πίνακα. Αλγόριθμος πρόσθεσης-αφαίρεσης με φυσικούς αριθμούς ως το 1.000. Βασικές γνώσεις για την εκτίμηση αποτελέσματος στην πρόσθεση και στην αφαίρεση. Έλεγχος: "Πόσο περίπου κάνει 299+198, 598- 293;".

Οργανώνουν κάποιες από τις πληροφορίες σε πίνακες Οργανώνουν κάποιες από τις πληροφορίες σε πίνακες. Αρχικά εκτιμούν και στη συνέχεια υπολογίζουν με ακρίβεια αποτελέσματα πρόσθεσης. Οι πίνακες υποστηρίζουν τη μετατροπή από οριζόντια σε κάθετη γραφή.

Η εκτίμηση μπορεί να λειτουργήσει ως πρόβλεψη, και συνακόλουθα έλεγχος, των αποτελεσμάτων των πράξεων Εξηγούμε ότι με την εκτίμηση δε βρίσκουμε το αποτέλεσμα ακριβώς, διότι πολλές φορές δεν είναι απαραίτητο. Ζητάμε από τα παιδιά να σκεφτούν καταστάσεις από την καθημερινή τους ζωή στις οποίες έχουν συναντήσει την εκτίμηση. Για παράδειγμα, στα ψώνια για τις ποσότητες και τα χρήματα ("Ήθελα μισό κιλό φέτα, ο πωλητής έκοψε λίγο περισσότερο, άρα αγόρασα περίπου μισό κιλό φέτα. Αν το 1 κιλό φέτα κοστίζει 6€, θα πληρώσω περίπου 3€). Αφού καταλήξουμε στο ότι 199+19 είναι περίπου 220, ζητάμε να υπολογίσουν με ακρίβεια. Αφού υπολογίσαμε 2 μονάδες παραπάνω, το πραγματικό αποτέλεσμα είναι 220 -2.

Αριθμογραμμή Πρόχειρη αριθμογραμμή Άβακας

Πλαίσιο υπολογισμού Πλαίσιο απάντησης Στην εργασία (δ), η ζητούμενη εκτίμηση μπορεί να γίνει άμεσα με τη βοήθεια του ραβδογράμματος (και οι δύο ράβδοι που αντιστοιχούν στην Ηρώ είναι «ψηλότερες» από τις ράβδους που αντιστοιχούν στο Νικήτα).

Φωνολογική ανάλυση αριθμού Ζητάμε από τα παιδιά ν' αναλύσουν τον αριθμό φωνολογικά (τρεις χιλιάδες και τετρακόσια και πενήντα και τρία) ή Ο δάσκαλος κατά τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών ζητάει από τους μαθητές να εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο υπολόγισαν το αποτέλεσμα. Το να εξηγεί ο μαθητής τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζει είναι μια πολύ χρήσιμη διανοητική ενέργεια (μεταγνωστική διαδικασία). Επίσης, ο δάσκαλος δίνει τη δυνατότητα να εκφραστούν, να συζητηθούν και να καταγραφούν όλοι οι δυνατοί τρόποι υπολογισμού μιας πράξης.

ΤΜ1: Τα παιδιά εμπεδώνουν τη σχέση πρόσθεσης και αφαίρεσης (πράξεις αντίστροφες), υποβοηθούμενα από τα κυκλικά σχήματα.

ΤΜ5. Ιδιότητες της πρόσθεσης ΤΜ5. Ιδιότητες της πρόσθεσης. Δεν είναι απαραίτητο ν' αναφέρουμε τους όρους "αντιμεταθετική", "προσεταιριστική".

ΤΜ 6. Παρουσίαση προβλημάτων με τη βοήθεια πίνακα ΤΜ 6. Παρουσίαση προβλημάτων με τη βοήθεια πίνακα. Τα παιδιά καλούνται να αποκωδικοποιήσουν τα στοιχεία του πίνακα, για να διατυπώσουν τα προβλήματα.

Πρόβλημα Πιο συγκεκριμένα, τα παιδιά καλούνται: ν' αποκωδικοποιήσουν, ν' αξιολογήσουν και ν' αξιοποιήσουν πληροφορίες που δίνονται από διαφορετικές πηγές (εικόνα, κείμενο, πίνακα, διάγραμμα), να εφαρμόσουν στρατηγικές επίλυσης προβλήματος, όπως η οργάνωση των δεδομένων, να κατασκευάζουν δικά τους προβλήματα, είτε με δεδομένους αριθμούς είτε με δεδομένη απάντηση είτε συμπληρώνοντας ερωτήματα σ' ένα κείμενο, να χρησιμοποιούν την εκτίμηση για να προβλέψουν τα αποτελέσματα, να χρησιμοποιούν εναλλακτικές στρατηγικές υπολογισμού, να επεξεργάζονται προβλήματα με περισσότερες από μία λύσεις ή προβλήματα χωρίς αριθμούς. να εκτελούν τις πράξεις

Έλεγχος κατανόησης – ενδιάμεσα ερωτήματα

Οργάνωση δεδομένων Πίνακας Εικονόγραμμα Σημειόγραμμα Ραβδόγραμμα Δενδρόγραμμα

Χρήση πίνακα διπλής εισόδου και ραβδογράμματος Δοκιμή και πλάνη Σχέδιο

Προβλήματα με όλα τα δεδομένα Προβλήματα με ελλιπή δεδομένα Προβλήματα με επιπλέον δεδομένα Εικονοπροβλήματα Ανοικτά προβλήματα Αντίστροφα προβλήματα

:2 ∙3 +25.000

Αξιολόγηση

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΣΑΣ ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΣΑΣ