Καθαρή Παρούσα Αξία Η διαφορά της τρέχουσας αξίας μιας επένδυσης από το τρέχον κόστος της ονομάζεται Καθαρή Παρούσα Αξία . Με άλλα λόγια, η Κ.Π.Α. μιας επένδυσης υπολογίζεται με τη διαφορά των παρουσών αξιών, στο χρόνο μηδέν, των εισροών και εκροών της εν λόγου επένδυσης. Οι επενδυτικές προτάσεις που έχουν θετική Κ.Π.Α. γίνονται αποδεκτές. Αντίθετα, εάν Κ.Π.Α. είναι αρνητική η επένδυση πρέπει να απορριφθεί. Το επιτόκιο αντανακλά τον κίνδυνο των αναμενόμενων ταμειακών ροών.

Καθαρή Παρούσα Αξία Η απαιτούμενη απόδοση ή κόστος κεφαλαίου είναι η ισοδύναμη απόδοση των εναλλακτικών επενδύσεων με τον ίδιο κίνδυνο. Η απαιτούμενη απόδοση ή κόστος κεφαλαίου είναι η απόδοση η οποία είναι απαραίτητη για να δικαιολογηθεί η άντληση κεφαλαίων για χρηματοδότηση της επένδυσης. Η απαιτούμενη απόδοση ή κόστος κεφαλαίου είναι η απαραίτητη απόδοση για να διατηρηθεί η χρηματιστηριακή τιμή της μετοχής.

Η μέθοδος της καθαρής παρούσας αξίας (Net present value) Βήμα 1ο Προσδιορίζουμε την παρούσα αξία στο χρόνο μηδέν κάθε μιας καθαρής χρηματορροής, είτε αυτή είναι εισροή είτε είναι εκροή, Ετήσια πρόσθετη ταμειακή ροή μετά από φόρους το επιτόκιο προεξοφλήσεως είναι το κόστος κεφαλαίου της επιχειρήσεως.

Ορίζουμε ως χρόνο μηδέν το τέλος της κατασκευαστικής περιόδου η αναγωγή των ετήσιων καθαρών χρηματορροών που πραγματοποιούνται πριν από το χρόνο μηδέν, η αναγωγή των καθαρών επενδυτικών εκροών, γίνεται με ανατοκισμό αντί με προεξόφληση. Πράγματι αν ΧΡ-2 = - 200 αποτελεί την καθαρή επενδυτική εκροή που λαμβάνει χώρα πριν δυο έτη από το τέλος της περιόδου κατασκευής της επενδύσεως και r = 0,10 είναι το κόστος κεφαλαίου, τότε η παρούσα αξία στο χρόνο μηδέν ισούται με ΧΡt(1 + r)-t = ΧΡt(1 + r)-(-2) = - 200 (1,10)2 = - 242 Η διαφορά 242 - 200 = 42 είναι οι τόκοι της περιόδου κατασκευής που αντιστοιχούν στην χρηματική εκροή.

Βήμα 2ο Αθροίζουμε όλες τις προεξοφλημένες καθαρές χρηματορροές. Το προσδιοριζόμενο άθροισμα αποτελεί την (ΚΠΑ) της επενδύσεως. Αν αθροίσουμε τις καθαρές επενδυτικές χρηματορροές (εκροές) λαμβάνουμε το κόστος της επενδύσεως και αν αθροίσουμε τις καθαρές λειτουργικές χρηματορροές (εισροές), τότε λαμβάνουμε αντίστοιχα την αξία της επενδύσεως στο χρόνο μηδέν. Η (ΚΠΑ) ισούται με τη διαφορά μεταξύ της αξίας και του κόστους της επενδύσεως.

Όταν πρόκειται για μεγάλες επενδύσεις, όπως είναι η κατασκευή μιας βιομηχανικής εγκαταστάσεως, ή η εγκατάσταση ενός εργοστασίου παραγωγής ηλεκτρισμού, ή η κατασκευή του ΜΕΤRΟ της Αττικής κ.λ.π., η περίοδος κατασκευής είναι μεγαλύτερη του έτους και μπορεί να επεκτείνεται μέχρι 5 έως 8 έτη. Από την άλλη πλευρά, επενδύσεις μικρής κλίμακας, όπως είναι π.χ. η εγκατάσταση ενός μηχανήματος, μπορούν να πραγματοποιηθούν σε χρονικό διάστημα μικρότερο του έτους, και επομένως στις επενδύσεις αυτές υπάρχει μια μόνο καθαρή επενδυτική εκροή στο έτος μηδέν.

Όταν το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι Βήμα 3ο θα πρέπει να αποδεχθούμε την επενδυτική πρόταση, όταν η (ΚΠΑ) είναι θετική. Αντίθετα, αν η (ΚΠΑ) είναι αρνητική θα πρέπει να απορρίψουμε την επενδυτική πρόταση. Όταν το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι η επιλογή μεταξύ δύο αμοιβαίως αποκλειόμενων επενδύσεων με ίση διάρκεια λειτουργικής ζωής τότε επιλέγουμε την επένδυση με τη μεγαλύτερη (ΚΠΑ)

Η εξίσωση της (ΚΠΑ) μιας επενδύσεως μπορεί να εκφρασθεί ως εξής: Αν ΧΡt (t = -m, ..., 0, ,.., η) παριστά την καθαρή χρηματορροή (εκροή ή εισροή) της επενδύσεως κατά το έτος t, και r παριστά το κόστος κεφαλαίου της επιχειρήσεως, τότε έχουμε

- ΚΠΑ ισούται με ΚΠΑ = ΠΑ – C= Υποθέσαμε ότι τόσο οι καθαρές χρηματορροές ΧΡt όσο και το επιτόκιο προεξοφλήσεως r αναφέρονται σε ετήσια περίοδο. Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν και όταν οι εκροές και οι εισροές λαμβάνουν χώρα ανά εξάμηνο ή ανά τρίμηνο κ.λ.π., αρκεί να χρησιμοποιήσουμε το αντίστοιχο με τις περιόδους αυτές ισοδύναμο επιτόκιο προεξοφλήσεως. ΚΠΑ ισούται με ΚΠΑ = ΠΑ – C= -

Έστω ότι οι ετήσιες καθαρές χρηματορροές της επενδύσεως Ν αναφέρεται στην εγκατάσταση του αναγκαίου εξοπλισμού για την παραγωγή και πώληση ενός νέου προϊόντος Το κόστος κεφαλαίου της επιχειρήσεως είναι 15%. Ζητείται να προσδιοριστεί κατά πόσο η επένδυση αυτή είναι συμφέρουσα για την επιχείρηση.

Η επένδυση θα είναι συμφέρουσα για την επιχείρηση αν η (ΚΠΑ) είναι θετική. Το κόστος κεφαλαίου της επιχειρήσεως είναι 15%.

Η προτεινόμενη επένδυση πρέπει να γίνει αποδεκτή =-230-400+156,5+158,8+138,1+108,6+99,4 = 31,5   Η προτεινόμενη επένδυση πρέπει να γίνει αποδεκτή αφού η (ΚΠΑ) = 31,5 είναι θετική, δηλαδή (ΚΠΑ) > 0. Συνήθως οι υπολογισμοί αυτοί γίνονται με τη βοήθεια ενός πίνακα, που λέγεται πίνακας προεξοφλημένων καθαρών χρηματορροών της επενδύσεως.

Η λογική στην οποία βασίζεται η εφαρμογή της μεθόδου της (ΚΠΑ) είναι η εξής: Η αγοραία αξία της επιχειρήσεως προκύπτει από τις αξίες που έχουν για την επιχείρηση τα διάφορα περιουσιακά της στοιχεία. Αν η επιχείρηση πραγματοποιήσει ένα επενδυτικό έργο που συνεπάγεται μια (ΚΠΑ) ίση με το μηδέν, τότε η οικονομική ωφέλεια των μετόχων δεν θα μεταβληθεί. Πράγματι, το μέγεθος της επιχειρήσεως θα μεγαλώσει, όμως η αξία των μετοχών της θα παραμείνει σταθερή. Στην περίπτωση όμως που η επιχείρηση πραγματοποιήσει ένα έργο με θετική (ΚΠΑ), η οικονομική θέση των μετόχων της θα βελτιωθεί.

Αν η επιχείρηση αποφασίσει να πραγματοποιήσει το παραπάνω έργο, τότε η οικονομική θέση των σημερινών μετόχων θα βελτιωθεί κατά 31,5 χιλιάδες ευρώ. η αγοραία αξία των μετοχών της επιχειρήσεως θα αυξηθεί κατά 31,5 χιλιάδες ευρώ. με την προσδοκία της επίτευξης

Η επιχείρηση "ΑΣΤ ΑΕ" εξετάζει την επενδυτική πρόταση Μ Η επιχείρηση "ΑΣΤ ΑΕ" εξετάζει την επενδυτική πρόταση Μ. Τα στοιχεία της προτάσεως αυτής που πρέπει να αξιολογηθούν είναι τα εξής: Προϋπολογισμός κόστους έργου, 100 χιλ. ευρώ Περίοδος κατασκευής του έργου, 1 έτος Περίοδος λειτουργικής ζωής του έργου, 6 έτη Καθαρές λειτουργικές χρηματορροές (μετά από φόρους), 38 χιλ. ευρώ Υπολειμματική αξία στο τέλος των 6 ετών, μηδέν Κόστος κεφαλαίου, 15%. Ζητείται να προσδιοριστεί η (ΚΠΑ) του έργου.

1ος τρόπος Προϋπολογισμός κόστους έργου, 100 χιλ. ευρώ Περίοδος κατασκευής του έργου, 1 έτος Περίοδος λειτουργικής ζωής του έργου, 6 έτη Καθαρές λειτουργικές χρηματορροές (μετά από φόρους), 38 χιλ. ευρώ Κόστος κεφαλαίου, 15%.

2ος τρόπος Προϋπολογισμός κόστους έργου, 100 χιλ. ευρώ Περίοδος κατασκευής του έργου, 1 έτος Περίοδος λειτουργικής ζωής του έργου, 6 έτη Καθαρές λειτουργικές χρηματορροές (μετά από φόρους), 38 χιλ. ευρώ Κόστος κεφαλαίου, 15%. μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τύπο της παρούσας αξίας ράντας με σταθερούς όρους.

Αν έχουμε τις παρακάτω επενδυτικές και λειτουργικές χρηματορροές σε ένα έργο ποια θα είναι η ΚΠΑ

Άσκηση: Η εταιρία ΧΧΧ έχει τη δυνατότητα να επενδύσει σε οποιοδήποτε από τα παρακάτω ανεξάρτητα έργα. Να βρεθεί η ΚΠΑ με δεδομένο κόστος κεφαλαίου στο 15 %. ΕΠΕΝΔΥΣΗ ΧΡ0 ΧΡ1 ΧΡ2 Α -10 10 Β -15 8 12 Γ 5 15 Δ -25 16 24

Άσκηση: Μια εταιρία έχει αντιμετωπίζει το δίλημμα των παρακάτω αμοιβαίως αποκλειόμενων επενδύσεων. Να βρεθούν οι ΚΠΑ. Χρόνος T 1 2 Επένδυση Α -500 300 Επένδυση Β -5000 1000 5000

Άσκηση: Ποια είναι η ΚΠΑ επένδυσης με αρχικό κόστος –1000 (έτος μηδέν) και αναμενόμενες ετήσιες καθαρές χρηματορροές 100 για 20 χρόνια, αρχής γενομένης το τέλος του πρώτου χρόνου (επιτόκιο προεξόφλησης 10 %);

Πλεονεκτήματα ΚΠΑ Ο υπολογισμός της ΚΠΑ γίνεται με βάση τις ταμειακές ροές και όχι τα κέρδη Πραγματικές εισροές και εκροές στη δεδομένη χρονική περίοδο Αναγνωρίζεται πλήρως η χρονική αξία του χρήματος Η αποδοχή μιας επενδυτικής πρότασης με βάση την ΚΠΑ αυξάνει την αξία της επιχείρησης. Αύξηση και της χρηματιστηριακής τιμής της μετοχής Μεγιστοποίηση του πλούτου των μετόχων

Μειονεκτήματα ΚΠΑ Η μέθοδος αυτή απαιτεί την ακριβή πρόβλεψη των μελλοντικών ταμειακών ροών. Η εκτίμηση των μακροπρόθεσμων ταμειακών ροών εμπεριέχει υψηλή αβεβαιότητα. Το προεξοφλητικό επιτόκιο θεωρείται σταθερό για όλη τη διάρκεια του επενδυτικού προγράμματος. Ο κίνδυνος και επομένως το συνεπαγόμενο επιτόκιο μεταβάλλονται

Η μέθοδος του εσωτερικού επιτοκίου αποδόσεως (internal rate of return) Το πρόβλημα στη εφαρμογή της ΚΠΑ είναι η εύρεση του κατάλληλου επιτοκίου προεξόφλησης Για το λόγο αυτό, οι επιχειρήσεις πολλές φορές προσδιορίζουν την καμπύλη (ΚΠΑ) της επενδύσεως. Η καμπύλη (ΚΠΑ) είναι η γραφική απεικόνιση της (ΚΠΑ) ως συνάρτηση του επιτοκίου προεξοφλήσεως. Η καμπύλη αυτή δείχνει πόσο θα μπορούσε να αυξηθεί το απαιτούμενο επιτόκιο αποδόσεως και ακόμη η επένδυση να είναι ελκυστική.

Υποθέτουμε ότι η επιχείρηση αντιμετωπίζει δυσκολία στην υιοθέτηση του 18 % ως κόστος κεφαλαίου Αποφάσισε να προσδιορίσει την καμπύλη (ΚΠΑ). να εμφανίσει σε ένα διάγραμμα τα σημεία που αντιστοιχούν σε τρεις ή τέσσερις συνδυασμούς τιμών (ΚΠΑ) και επιτοκίων προεξοφλήσεως στη συνέχεια να ενώσει τα σημεία αυτά και να προεκτείνει τα δυο άκρα της καμπύλης

Η επιλογή των επιτοκίων προεξοφλήσεως πρέπει να γίνει κατά τέτοιο τρόπο, ώστε η επιθυμητή καμπύλη να ορισθεί με ακρίβεια στην περιοχή που μας ενδιαφέρει.

Εξετάζοντας τη καμπύλη (ΚΠΑ) παρατηρούμε : Πρώτον, η (ΚΠΑ) της επενδύσεως είναι μια φθίνουσα συνάρτηση του επιτοκίου προεξοφλήσεως. Η μορφή αυτή της καμπύλης είναι συνήθης για επενδυτικά έργα, των οποίων οι καθαρές χρηματορροές είναι στην αρχή αρνητικές (επενδυτικές Εκροές) και στη συνέχεια θετικές (λειτουργικές εισροές).

Δεύτερον, η καμπύλη (ΚΠΑ) τέμνει τον κάθετο άξονα στη τιμή 200 εκατ. που αποτελεί το άθροισμα των μη προεξοφλημένων καθαρών χρηματορροών.

Τρίτον, από την καμπύλη μπορούμε να εκτιμήσουμε την (ΚΠΑ) που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο επιτόκιο προεξοφλήσεως.

Τέταρτον, η καμπύλη τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο r = 20,2% περίπου. Η (ΚΠΑ) της επενδύσεως είναι μηδέν, όταν το επιτόκιο προεξοφλήσεως των καθαρών χρηματορροών της είναι 20,2% περίπου.

Επομένως, σε επιτόκια προεξοφλήσεως μικρότερα του 20,2%, η (ΚΠΑ) είναι μεγαλύτερη του μηδενός και σε επιτόκια προεξοφλήσεως μεγαλύτερα του 20,2%, η (ΚΠΑ) της επενδύσεως είναι αρνητική.

Το επιτόκιο προεξοφλήσεως το οποίο καθιστά την (ΚΠΑ) μιας επενδύσεως ίση με το μηδέν ή καθιστά την παρούσα αξία των καθαρών λειτουργικών χρηματορροών της ίση με την παρούσα αξία των καθαρών επενδυτικών χρηματορροών της. λέγεται εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως (R), ή εσωτερικός βαθμός αποδόσεως της επενδύσεως. Το εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως R προσδιορίζεται τυπικά από τη λύση της εξισώσεως

Εάν η επιχείρηση αποδεχτεί ένα πρόγραμμα με εσωτερικό βαθμό απόδοσης που να υπερβαίνει το κόστος κεφαλαίου, Τότε το πλεόνασμα που απομένει μετά την πληρωμή των κεφαλαίων το καρπώνονται οι μέτοχοι της επιχείρησης Η απαιτούμενη απόδοση ονομάζεται και συντελεστής απόρριψης

Παράδειγμα: Οι καθαρές χρηματορροές της επενδύσεως Α προβλέπονται να διαμορφωθούν ως εξής: Ζητείται να προσδιορισθεί το εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως R της επενδύσεως Α. αν θέσουμε όπου 4000χ2 + 12000χ –12000 = 0

Λύνοντας ως προς χ, λαμβάνουμε 4000χ2 + 12000χ –12000 = 0 Λύνοντας ως προς χ, λαμβάνουμε Το εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως είναι 26,38%

Tο εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως λαμβάνει υπόψη τόσο τη χρονική αξία του χρήματος όσο και τις χρηματορροές που προβλέπονται καθ' όλη τη διάρκεια λειτουργικής ζωής της αξιολογούμενης επενδύσεως. Παλαιότερα, ο προσδιορισμός της τιμής R από την γινόταν με διαδοχικές δοκιμές. Σήμερα, η τιμή R μπορεί να προσδιοριστεί γρηγορότερα και με μεγαλύτερη ακρίβεια με τη χρήση ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή (Ρ.C)

Ο κανόνας λήψεως επενδυτικών αποφάσεων με βάση το εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως R, είναι η αποδοχή της επενδυτικής προτάσεως, αν το κόστος κεφαλαίου της επιχειρήσεως είναι μικρότερο από το προσδιοριζόμενο εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως, δηλαδή αν R> r.

Αν το κόστος κεφαλαίου της επιχειρήσεως r είναι ίσο με R, τότε η επένδυση έχει μια μηδενική (ΚΠΑ).

Aν το κόστος κεφαλαίου r είναι μεγαλύτερο από το R η επένδυση έχει μια αρνητική (ΚΠΑ).

Επομένως, στις περιπτώσεις αυτές ισχύουν γενικά οι εξής σχέσεις: O κανόνας του εσωτερικού επιτοκίου αποδόσεως και ο κανόνας της (ΚΠΑ) δίνουν πάντα τις ίδιες απαντήσεις σε όλες τις περιπτώσεις στις οποίες η καμπύλη (ΚΠΑ) μιας ανεξάρτητης επενδύσεως είναι μια συνεχής φθίνουσα συνάρτηση του επιτοκίου προεξοφλήσεως. Επομένως, στις περιπτώσεις αυτές ισχύουν γενικά οι εξής σχέσεις: Όταν, (ΚΠΑ) > 0 τότε, R> r Όταν, (ΚΠΑ) = 0 τότε R = r Όταν, (ΚΠΑ) < 0 τότε R < r

Ζητείται να προσδιοριστεί το εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως

Επιλέγουμε ένα τυχαίο επιτόκιο προεξοφλήσεως. Πρόκειται για μια διαδικασία διαδοχικών προσεγγίσεων Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι επιλέγουμε το επιτόκιο προεξοφλήσεως r = 0,15. Το άθροισμα των παρουσών αξιών των καθαρών χρηματορροών της επενδύσεως προς επιτόκιο προεξοφλήσεως r = 0,15 ισούται με (ΚΠΑ) = 36,2 εκατ. Το 36,2 διαφέρει πολύ από το μηδέν. Το επιτόκιο προεξοφλήσεως r = 0,15 διαφέρει πολύ από το εσωτερικό επιτόκιο αποδόσεως και συγκεκριμένα είναι πολύ μικρότερο.

Πρέπει επομένως να κάνουμε και μια δεύτερη προσπάθεια χρησιμοποιώντας τώρα ένα μεγαλύτερο επιτόκιο προεξοφλήσεως. Έστω ότι χρησιμοποιούμε το επιτόκιο προεξοφλήσεως r = 0,20 και προσδιορίζουμε (ΚΠΑ) =1,6 εκατ. δρχ. Η (ΚΠΑ) 1,6 είναι κοντά στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι το εσωτερικό επιτόκιο προεξοφλήσεως είναι κατά τι μεγαλύτερο του 0,20. Προχωρώντας σε τρίτη προσπάθεια, π.χ. με r = 0,202 καταλήγουμε σε μηδενική (ΚΠΑ). Αν χρησιμοποιούσαμε επιτόκιο προεξοφλήσεως r = 0,205 θα καταλήγαμε σε μια μικρή αρνητική (ΚΠΑ).

Στην αξιολόγηση επενδυτικών προτάσεων σε πάγια περιουσιακά στοιχεία πολλές επιχειρήσεις χρησιμοποιούν το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης αντί του κανόνα της καθαρής παρούσας αξίας. Η προτίμηση να χρησιμοποιούν αδιάκριτα και ανεπιφύλακτα τον κανόνα του εσωτερικού επιτοκίου αποδόσεως είναι εσφαλμένη και σημαίνει άγνοια των αδυναμιών που έχει ο κανόνας αυτός.

Διαδικασία Υπολογισμού της Εσωτερικής Απόδοσης με γραμμική παρεμβολή Η εσωτερική απόδοση μπορεί να βρεθεί με διαδοχικές προσεγγίσεις. Σαν πρώτη προσέγγιση επιλέγουμε κατ’ εκτίμηση ένα αρχικό συντελεστή προεξόφλησης και με αυτόν υπολογίζουμε την παρούσα αξία των ταμιακών ροών, εισροών, εκροών

Χρονοβόρα μια διαδικασία συνεχών δοκιμών επιτοκίων O συντελεστής προεξόφλησης που θα δώσει παρούσα αξία ταμειακών εισροών ίση με την επένδυση 25000, θα είναι αυτόματα και ο εσωτερικός συντελεστής απόδοσης IRR. Χρονοβόρα μια διαδικασία συνεχών δοκιμών επιτοκίων Λύση: εφαρμόζουμε την μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής

Με την γραμμική παρεμβολή υποθέτουμε ότι η συνάρτηση της ΚΠΑ είναι γραμμική ή περίπου γραμμική Υπολογίζουμε την παρούσα αξία με ένα τυχαίο επιτόκιο 10 %.

Εφόσον η παρούσα αξία είναι μεγαλύτερη από την αξία των ταμειακών εκροών 33.398,27>25.000 επιλέγουμε έναν υψηλότερο συντελεστή προεξόφλησης με στόχο να βρούμε παρούσα αξία μικρότερη από τις 25.000. Έστω 25 % ο νέος συντελεστής προεξόφλησης τότε η παρούσα αξία θα είναι ίση επιλέγουμε επιτόκια με στόχο να βρούμε δυο παρούσες αξίες των ταμειακών εισροών μια πάνω και μια κάτω από την παρούσα αξία της επένδυσης (εκροών) 25000

Η αρχή του υπολογισμού μας είναι το 10 % 10% 25% Ο στόχος: να βρούμε επιτόκιο με Παρούσα Αξ. 25000. Το επιτόκιο αυτό θα είναι ανάμεσα στο 10% και 25 % 33398-25000= 8398 διαφορά από τις 25000 25000-22791= 2209 διαφορά από τις 25000 Η αρχή του υπολογισμού μας είναι το 10 % το επιτόκιο που θα πρέπει να μοιραστεί είναι το 15 % (25 % -10%). Από το 15 % εμείς θέλουμε ως ποσοστό το 8398/(8398+2209)

Το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης μέσα από κάποιο υπολογιστικό σύστημα (π Το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης μέσα από κάποιο υπολογιστικό σύστημα (π.χ EXCEL) είναι 21,05. Η προσέγγιση από την παραπάνω μέθοδο θα ήταν ακόμη καλύτερη, εάν στενεύομε τα όρια μέσα στα οποία ανήκει το IRR. το 10 % απέχει πολύ από το IRR 8398 =33398-25000 Έστω επιτόκιο 20 % η παρούσα αξία θα ήταν 25645 με διαφορά μόνο 645 από την επένδυση των 25000. η προσέγγιση είναι καλύτερη 21,87%>21,13%>21,05

Πιο είναι το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) μιας επένδυσης 210 ευρώ όταν η ταμειακή εισροή οποία τον επόμενο χρόνο θα είναι 10,5 ευρώ και οι ταμειακές εισροές θα αυξάνονται 5 % ετησίως : (α) 8 % (β) 10 % + (γ) Tο IRR είναι αρνητικό (δ) κανένα από τα παραπάνω ΚΠΑ= 0 =R/(i –g) - C = 0  i =R/C +g i = 10 %

Χρόνος T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Χροές 9000 -850 8. Υπολογίζοντας το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης με την μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής βρίσκουμε ότι είναι μεταξύ του α) 7%-7,5 % β) 5,5 – 6 % γ) 3,5 - 4 % δ) 4,5 – 5 % +

Παράδειγμα γραμμικής παρεμβολής Μια εταιρία εξέδωσε στο παρελθόν ομολογίες 20ετούς διάρκειας συνολικής ονομαστικής αξίας 800.000 ευρώ, με εξαμηνιαία πληρωμή των τόκων και αντίστοιχο εξαμηνιαίο επιτόκιο 5% (τοκομερίδιο). Να βρεθεί η απόδοση των ομολογιών, λαμβάνοντας υπόψη ότι η λήξη της ομολογίας έχει ορισθεί για μετά 2 έτη, με εξόφληση στο άρτιο (ονομαστική αξία) και οι ομολογίες διαπραγματεύονται στο 88% της ονομαστικής τους αξίας. Θα μπορούσε να ανέβει η αγοραία αξία των ομολογιών το επόμενο έτος;

Λύση Η αγοραία ή παρούσα αξία των ομολογιών είναι ίση με 88 % της ονομαστικής αξίας, δηλαδή 0,88*800.000=704.000 ευρώ. Τα τοκομερίδια ισούνται με 40.000 ευρώ (0,05*800.000). Η απόδοση, λοιπόν, των ομολογιών θα βρεθεί με την εξίσωση των εισροών με τις εκροές ή αλλιώς αγοραία αξία των ομολογιών.

H εξίσωση είναι τετάρτου βαθμού και θα υποθέσουμε ότι είναι γραμμικής μορφής για να τη λύσουμε προσεγγιστικά με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής. Τα βήματα που θα ακολουθήσουμε είναι τα εξής: Υπολογίζουμε την παρούσα αξία των εισροών με ένα τυχαίο χαμηλό επιτόκιο 5 %, με στόχο την εύρεση αξίας λίγο πάνω από την παρούσα αξία των ομολογιών. Η παρούσα αξία των ομολογιών είναι 704.000 ενώ η παρούσα αξία των εισροών με επιτόκιο 5% είναι ίση με:

Η παρούσα αξία των εισροών είναι υψηλότερη από την παρούσα αξία του ομολόγου κατά 800.000 – 704.000 = 96.000

Υπολογίζουμε πάλι την παρούσα αξία των εισροών με ένα τυχαίο υψηλό επιτόκιο 10 %, με στόχο την εύρεση αξίας λίγο κάτω από την παρούσα αξία του ομολόγου. Η παρούσα αξία των εισροών με επιτόκιο 10% είναι ίση με : Η παρούσα αξία των εισροών είναι χαμηλότερη από την παρούσα αξία του ομολόγου κατά 704.000 – 673.205 = 30.795

H διαφορά μεταξύ των δυο επιτοκίων που χρησιμοποιήσαμε στις παραπάνω προεξοφλήσεις είναι ίση με 0,10 – 0,05 = 0,05. Απώτερος στόχος του προβλήματος είναι η εύρεση του επιτοκίου που θα δώσει παρούσα αξία εισροών ίση με την παρούσα αξία των ομολογιών, δηλαδή 704.000 ευρώ. Το επιτόκιο αυτό θα είναι μεταξύ 0,05 και 0,10 και υπολογίζεται ως εξής. Ορίζουμε α) 800.000 – 704.000 = 96.000 β) 704.000 – 673.205 = 30.795 Διαφορά των επιτοκίων 0,10 – 0,05 = 0,05.

Η απόδοση ομολόγου σύμφωνα με την παραπάνω μέθοδο είναι 8,7856% Η απόδοση ομολόγου σύμφωνα με την παραπάνω μέθοδο είναι 8,7856%. Το αποτέλεσμα αυτό αποτελεί προσέγγιση που μπορεί ασφαλώς να βελτιωθεί περιορίζοντας το εύρος των επιτοκίων. Να σημειωθεί ότι το επιτόκιο που βρίσκουμε με τη χρήση του IRR στο EXCEL είναι 8,6779%, πολύ κοντά στην παραπάνω εκτίμηση της γραμμικής παρεμβολής.

Πλεονεκτήματα IRR Χρησιμοποιεί ταμειακές ροές Αναγνωρίζει τη διαχρονική αξία του χρήματος Είναι ευκολότερα αντιληπτός από την ΚΠΑ Στον επιχειρηματικό κόσμο Μέτρο αξιολόγησης του κινδύνου. π.χ. εάν ο εσωτερικός βαθμός είναι 30 % και το απαιτούμενο επιτόκιο ή κόστος κεφαλαίου είναι 12 %, τότε το περιθώριο ασφάλειας είναι σχετικά μεγάλο.

Μειονεκτήματα IRR Η μέθοδος αυτή απαιτεί την ακριβή πρόβλεψη των μελλοντικών ταμειακών ροών. Η εκτίμηση των μακροπρόθεσμων ταμειακών ροών εμπεριέχει υψηλή αβεβαιότητα. Γίνεται η υπόθεση ότι οι μελλοντικές χρηματικές ροές επανεπενδύονται με το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης. Τις περισσότερες φορές η επανεπένδυση γίνεται με διαφορετικά επιτόκια. Μερικές φορές η μέθοδος του εσωτερικού επιτοκίου απόδοσης μπορεί να δώσει πολλαπλούς εσωτερικούς βαθμούς απόδοσης.

3. Πιο είναι το εσωτερικό επιτόκιο απόδοσης (IRR) μιας επένδυσης 125 ευρώ, η οποία πρόκειται να έχει ετήσιες ταμειακές εισροές 15 ευρώ στο άπειρο: (α) 8 % (β) 0 (γ) δεν επαρκούν τα δεδομένα για να υπολογιστεί το IRR (δ)- κανένα από τα παραπάνω   ΚΠΑ= 0 =R/i – C = 0  i =R/C I = 12 %