Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ο Μετασχηματισμός Laplace και ο Μετασχηματισμός Ζ ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ο Μετασχηματισμός Laplace και ο Μετασχηματισμός Ζ ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ο Μετασχηματισμός Laplace και ο Μετασχηματισμός Ζ ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος

2 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες ◊Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 2, Ενότητες 2.3 – 2.5 ◊Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 2 ◊DiStefano [1995]: Chapters 3 & 4 ◊Tewari [2005]: Chapter 2: Sections Βιβλιογραφία Ενότητας

3 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Ο μετασχηματισμός Laplace και ο μετασχηματισμός Z είναι δύο πολύ χρήσιμα μαθηματικά εργαλεία για την ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων αυτομάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ (Γραμμικών Χρονικά Αναλλοίωτων συστημάτων). ◊Ο μετασχηματισμός Laplace μετασχηματίζει συναρτήσεις από το πεδίο του χρόνου (t) στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας s: ◊Η λογική της χρήσης του μετασχηματισμού Laplace είναι αντίστοιχη με τη λογική της χρήσης του μετασχηματισμού Fourier στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι με τον μετασχηματισμό Laplace μπορούμε να μελετήσουμε και την συμπεριφορά συστημάτων στη μεταβατική κατάσταση και όχι μόνο στη μόνιμη κατάσταση (για αυτό και χρησιμοποιείται η μιγαδική μεταβλητή s = σ + jω, αντί της φανταστικής μεταβλητής jω του μετασχηματισμού Fourier) ◊Η βασική χρήση του μετασχηματισμού Laplace είναι για τη λύση ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων ΓΧΑ συστημάτων. Μέσω του μετασχηματισμού οι εξισώσεις αυτές μετατρέπονται σε αλγεβρικές των οποίων η επίλυση είναι ευκολότερη. Εισαγωγή  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

4 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται όμως και για την μελέτη της ευστάθειας και τη σχεδίαση Σ.Α.Ε (όπως για παράδειγμα με τη μέθοδο του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών) ◊Ο μετασχηματισμός Ζ μετασχηματίζει ακολουθίες από το πεδίο του χρόνου (δηλαδή ψηφιοποιημένα σήματα) στο πεδίο της ψηφιοποιημένης μιγαδικής συχνότητας z: ◊Σε πολλές περιπτώσεις ο μετασχηματισμός Z θεωρείται ότι προκύπτει απο δειγματοληψία του μετασχηματισμού Laplace ◊Η χρήση του μετασχηματισμού Z σε ψηφιακά Σ.Α.Ε είναι αντίστοιχη αυτής του μετασχηματισμού Laplace στα συνεχή Σ.Α.Ε. Επομένως χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων διαφορών (δηλαδή εξισώσεων της μορφής a 0 y(k)+a 1 y(k-1)+a 2 y(k-2) + …+a n y(k-n) = u(k), όπου με y(k) δηλώνεται το k-στο δείγμα της ακολουθίας y(n). ◊Άλλες πολύ διαδεδομένες χρήσης του μετασχηματισμού Z είναι η μελέτη ευστάθειας και η σχεδίαση ψηφιακών Σ.Α.Ε (π.χ. Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρων) Εισαγωγή (ΙΙ)  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

5 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Έστω η πραγματική συνάρτηση f(t) της πραγματικής μεταβλητής t (π.χ χρόνος) ◊Ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)]=F(s) της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: ◊Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f(t) υπάρχει εφόσον το ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάποιο πραγματικό αριθμό σ 0, δηλαδή ισχύει Ι <+∞. ◊Αν ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) δεν υπάρχει τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εργαλείο για την εύρεση ή μελέτη της συνάρτησης διότι τα αποτελέσματα που θα δώσει η μελέτη θα είναι εσφαλμένα. Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

6 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Παράδειγμα ◊Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f(t) =e -t υπάρχει διότι το ολοκλήρωμα I υπάρχει για κάθε σ 0 ≠-1. ◊Επομένως ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)] = F(s) της συνάρτησης f(t) =e -t θα είναι: Ο Μετασχηματισμός Laplace (ΙΙ)  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

7 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Στο επόμενο σχήμα δίνεται η φιλοσοφία της χρήσης του μετασχηματισμού Laplace στη μελέτη των συστημάτων Σ.Α.Ε ◊Πολλά ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της μορφής: των οποίων η επίλυση είναι δυσχερής. Η χρήση του μετασχηματισμού Laplace απλοποιεί τη διαδικασία επίλυσης Παράδειγμα χρήσης του Μετασχηματισμός Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

8 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Έστω F(s) ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)] της συνάρτησης f(t). Η συνάρτηση f(t) υπολογίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace L -1 [F(s)]=f(t) με τη βοήθεια του επικαμπύλιου ολοκληρώματος: για c πραγματικό αριθμό τέτοιο ώστε c>σ 0. ◊Στη πράξη και εξαιτίας της δυσκολίας υπολογισμού του παραπάνω ολοκληρώματος ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace υπολογίζεται με ανάλυση σε μερικά κλάσματα και χρήση γνωστών ζευγών του μετασχηματισμού Laplace. ◊Αν δηλαδή ο μετασχηματισμός Laplace F(s) μιας συνάρτησης f(t) έχει τη μορφή: Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

9 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis τότε η συνάρτηση F(s) αναλύεται σε μερικά κλάσματα ως εξής: όπου λ 1 ≠ λ 2 ≠... ≠ λ n οι ρίζες του πολυωνύμου a(s). Για κλάσματα της μορφής: ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace είναι γνωστός. Συγκεκριμένα ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι: Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (II)  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

10 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα 1: Διακριτές Ρίζες Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = δ(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υπολογιστεί η y(t). Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης residue της Matlab προκύπτει η εξής ανάλυση της συνάρτησης σε μερικά κλάσματα: και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι: Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

11 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα 2: Πολλαπλότητα Ριζών Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = u s (t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υπολογιστεί η y(t). Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης residue της Matlab προκύπτει η εξής ανάλυση της συνάρτησης σε μερικά κλάσματα: και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι: Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (ΙΙ)  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

12 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (IIΙ)  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες ◊Η μορφή της συνάρτησης y(t) του προηγούμενου παραδείγματος

13 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα 3: Μιγαδικές Ρίζες Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = δ(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση: Να υπολογιστεί η y(t). Λύση Μετά από χρήση της συνάρτησης roots της Matlab προκύπτει ότι οι ρίζες του πολυωνύμου a(s) είναι -1, -2+j, -2-j. Άρα το Y(s) γράφεται ως: και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι: Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (ΙV)  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

14 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου Laplace (V)  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες ◊Η μορφή της συνάρτησης y(t) του προηγούμενου παραδείγματος

15 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Γραμμικότητα: ◊L[α 1 f 1 (t)+α 2 f 2 (t)]=α 1 F 1 (s)+ α 2 F 2 (s), όπου α 1, α 2 σταθερές ◊L -1 [b 1 F 1 (s)+b 2 F 2 (s)]=b 1 f 1 (t)+b 2 f 2 (t), όπου b 1, b 2 σταθερές ◊Παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου: ◊Ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

16 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

17 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

18 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ζεύγη του Μετασχηματισμού Laplace  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

19 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της μορφής: για c πραγματικό αριθμό τέτοιο ώστε c>σ 0. ◊Στη πράξη και εξαιτίας της δυσκολίας υπολογισμού του παραπάνω ολοκληρώματος ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace υπολογίζεται με ανάλυση σε μερικά κλάσματα και χρήση γνωστών ζευγών του μετασχηματισμού Laplace. ◊Αν δηλαδή ο μετασχηματισμός Laplace F(s) μιας συνάρτησης f(t) έχει τη μορφή: Συναρτήσεις Μεταφοράς  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

20 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Ζ z μιγαδική μεταβλητή z=e jω Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

21 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Σχέση Μετασχηματισμού Fourier και Μετασχηματισμού Ζ  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

22 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Σύγκλιση του Μετασχηματισμού Ζ ◊Πολλές φορές ο μετασχηματισμός Ζ ενός διακριτού σήματος x{n} εκφράζεται ως πηλίκο δύο πολυωνύμων: ◊Οι ρίζες του πολυωνύμου P(z) αποτελούν τα μηδενικά της συνάρτησης Χ(z) ενώ οι ρίζες του πολυωνύμου Q(z) αποτελούν τους πόλους της συνάρτησης Χ(z). Το διάγραμμα πόλων και μηδενικών της συνάρτησης Χ(z) δίνει πληροφορίες για το αιτιατό του σήματος x{n}, την ευστάθεια, και την περιοχή σύγκλισης.  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

23 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Ζ Ιδιότητα 1: Η περιοχή σύγκλισης οποιουδήποτε μετασχηματισμού Ζ είναι είτε ένας δακτύλιος είτε ένας δίσκος στο μιγαδικό επίπεδο με κέντρο την αρχή των αξόνων: Ιδιότητα 2: Ο μετασχηματισμός Fourier του διακριτού σήματος x{n} υπάρχει εφόσον η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χ(z) περιέχει τον μοναδιαίο κύκλο. Ιδιότητα 3: Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χ(z) δεν μπορεί να περιέχει πόλους. Ιδιότητα 4: Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χ(z) είναι συνεχής (δεν αποτελείται από μη συνδεδεμένα τμήματα).  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες

24 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Ζ (ΙΙ) Ιδιότητα 5: Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Ζ ενός πεπερασμένης διάρκειας σήματος είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο με εξαίρεση είτε την αρχή των αξόνων (όταν το σήμα x{n} είναι μη μηδενικό για κάποιες τιμές του n>0) είτε το άπειρο (όταν το σήμα x{n} είναι μη μηδενικό για κάποιες τιμές του n<0). Ιδιότητα 6: Ένα διακριτό σύστημα με κρουστική απόκριση h{n} είναι ευσταθές (κατά ΒΙΒΟ) αν η περιοχή σύγκλισης του αντίστοιχου μετασχηματισμού Z (H(z))περιέχει τον μοναδιαίο κύκλο. Ιδιότητα 7: Ένα διακριτό σύστημα με κρουστική απόκριση h{n} είναι αιτιατό (h{n}=0 για n<0) αν η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Z (H(z)) εκτείνεται από τον κύκλο που αντιστοιχεί στο μέτρο του μεγαλύτερου πόλου (αυτού με το μεγαλύτερο μέτρο) έως το άπειρο, δηλαδή ROC:  Ο Μετασχηματισμός Laplace  Ιδιότητες  Ζεύγη Μετασχηματισμού Laplace  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Εφαρμογές  Ο Μετασχηματισμός Ζ  Ιδιότητες


Κατέβασμα ppt "ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ο Μετασχηματισμός Laplace και ο Μετασχηματισμός Ζ ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google