Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Α. Δερμάνης, H.N. Τζιαβός, Γ. Βέργος

2 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία και ορισμοί Συνθήκες Dirichlet Συναρτήσεις βάσης Εναλλακτικές εκφράσεις σειράς Fourier Ανάλυση διακριτών τιμών Υπολογισμός συντελεστών Ασκήσεις

3 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Οι σειρές Fourier είναι περιοδικές συναρτήσεις δηλ. παρουσιάζουν μία επαναληψιμότητα σε ένα χρονικό διάστημα Τ που ονομάζεται περίοδος Είναι κατάλληλες για την ανάλυση φαινομένων που παρουσιάζουν περιοδικότητα, όπως είναι πολλά από τα φαινόμενα που μελετούν οι γεωεπιστήμες (πχ. παλίρροιες, ιονοσφαιρική επίδραση, κλπ) Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιείται η «αρμονική ανάλυση» ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

4 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Οι σειρές Fourier χρησιμοποιούνται στην ανάλυση & μελέτη συνεχών ή διακριτών μαθηματικών συναρτήσεων στην αναλυτική έκφραση σειράς δεδομένων κάποιου φαινομένου του οποίου δεν είναι γνωστή η ακριβής μαθηματική συνάρτηση ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

5 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Χρησιμοποιούνται και για την περιγραφή φαινομένων που δεν παρουσιάζουν περιοδικότητα Θεωρώντας ότι η σειρά τιμών που διαθέτουμε μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα (που θεωρείται ‘περίοδος’) επαναλαμβάνεται πριν και μετά το διάστημα αυτό Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιείται η «φασματική ανάλυση» ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

6 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Αρμονική ανάλυση τμηματικά συνεχούς συνάρτησης Συνθήκες Dirichlet Τμηματικά συνεχής συνάρτηση – ή συνεχής κατά τμήματα σε ένα τμήμα με τοπικά ακρότατα στο διάστημα μιας περιόδου, τότε το ανάπτυγμα Fourier της f(t) συγκλίνει:  Στην τιμή f(t) εάν η συνάρτηση είναι συνεχής στο t  Στην τιμή [f(t+)+f(t-)]/2 όταν η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχεια στο t

7 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Η γενική μορφή ανάπτυξης της συνάρτησης f(t) σε τριγωνομετρική σειρά Fourier είναι : ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

8 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Οι σειρές Fourier είναι συνδυασμοί είτε : Απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και ονομάζονται τριγωνομετρικές σειρές ή πολυώνυμα χρησιμοποιούνται κυρίως στην « αρμονική ανάλυση » σειράς δεδομένων n-οστός όρος της σειράς ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

9 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

10 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER / Αρμονικές συναρτήσεις

11 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER / Αρμονικές συναρτήσεις αρμονική συνάρτηση

12 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(Τ) ορισμένης στο διάστημα [0,T] σε σειρά Fourier

13 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Για κάθε όρο του αναπτύγματος έχουμε: Γενική περίπτωση Περίοδος Συχνότητα Γωνιακή συχνότητα [rad/sec] Βασική περίοδος: Τ 1 =Τ Περίοδοι όρων: Βασική συχνότητα: Συχνότητες όρων: f n =kf 1 Βασική γωνιακή συχνότητα: Γωνιακές συχνότητες όρων:

14 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Εκφράσεις συναρτήσει του μήκους κύματος Αντί χρόνου T [sec] έχουμε αποστάσεις x [m] k γωνιακή χωρική συχνότητα / angular spatial frequency [rad/m] kx [rad] κ [cycles/m] (κυματαριθμός / wave number)

15 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης):,,

16 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης): απλούστερη μορφή: Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(t) ορισμένης στο διάστημα [0,T ] σε σειρά Fourier

17 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης σε σειρά Fourier ανάλυση κάθε όρου χωριστά για k = 0, 1, 2, 3, 4, …

18 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 συνάρτηση βάσης k = 0

19 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 όρος σειράς k = 0

20 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 συναρτήσεις βάσης k = 1

21 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 όροι σειράς k = 1

22 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 συναρτήσεις βάσης k = 2

23 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 όροι σειράς k = 2

24 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 συναρτήσεις βάσης k = 3

25 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 όροι σειράς k = 3

26 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 συναρτήσεις βάσης k = 4

27 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (x)f (x) 0 –1–1 0 –1–1 όροι σειράς k = 4

28 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ –1–1 f (t)f (t)

29 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Οι συναρτήσεις f(t) διακρίνονται σε : άρτιες όταν ισχύει f(t) = f(-t)άρτιες όταν ισχύει f(t) = f(-t) περιττές όταν ισχύει f(t) = - f(-t)περιττές όταν ισχύει f(t) = - f(-t) 0 tf(t) 0tf(t) ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

30 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης

31 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Αναπαράστηση συντελεστών αναπτύγματος Fourier F m vs. m Δύο αναπαραστάσεις, μία για τους ημιτονικούς όρους και μία για τους συνημιτονικούς

32 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Διακριτές σειρές Fourier - Συνεχής μετασχηματισμός Fourier

33 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 H ανάλυση Fourier Σύνθεση ενός μη αρμονικού κύματος από δύο αρμονικές συναρτήσεις

34 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών Συνήθως στην αρμονική ανάλυση το πλήθος Ν υποτίθεται περιττός αριθμός

35 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών

36 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Συνήθως στην αρμονική ανάλυση το πλήθος Ν υποτίθεται περιττός αριθμός Αρμονική ανάλυση διακριτών τιμών Στην περίπτωση αρτίου Ν Συχνότητα ν-οστού όρου (δηλ. τάξεις ανά περίοδο 2π) Για τις μέγιστες τάξεις Συχνότητα αποκοπής ή συχνότητα Nyquist ή συχνότητα αποκοπής Nyquist

37 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Υπολογισμός συντελεστών FOURIER συνάρτησης με περίοδο Τ

38 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f(t+T) = f(t)

39 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Οι συντελεστές α ο, α n b n υπολογίζονται από τις σχέσεις : για ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

40 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Ειδικότερα 1η περίπτωση ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

41 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 2η περίπτωση άρτιες συναρτήσεις περιττές συναρτήσεις ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

42 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 3η περίπτωση ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

43 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 4η περίπτωση άρτιες συναρτήσεις περιττές συναρτήσεις ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

44 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

45 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1). Περίοδος 10 Πως πρέπει να οριστεί η f(τ) στα σημεία t = - 5, t = 0, t = 5, έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει στην f(t) για Α) Β)

46 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/ f(x) x Περίοδος Γραφική παράσταση συνάρτησης

47 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Α) Λύση

48 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)

49 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1). Για n άρτιο: Για n περιττό:

50 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Β) H f(t) ικανοποιεί τις συνθήκες του Dirichlet, συγκλίνει σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού που είναι συνεχής και συγκλίνει στην [f(t+0) + f(t-0)]/2 στα σημεία ασυνέχειας. Στα σημεία ασυνέχειας t=-5, t=0, t=5 η σειρά συγκλίνει στο (3+0)/2 = 3/2 (βλ. και γραφική παράσταση). Η σειρά λοιπόν θα συγκλίνει στην f(t) για όταν οριστεί ως εξής: Περίοδος = 10

51 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2) Λύση

52 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2)

53 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (3) Λύση Ολοκλήρωση κατά μέρη

54 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (3) Για n άρτιο:Για n περιττό:

55 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (4) Να αναπτυχθεί η συνάρτηση σε σειρά Fourier Λύση Άρτια συνάρτηση, χρησιμοποιούνται τύποι του μισού διαστήματος Ολοκλήρωση κατά μέρη Στο πρόβλημά μας μετά τις αντικαταστάσεις προκύπτει

56 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (4) Το νέο ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάλι με ολοκλήρωση κατά μέρη αντικαταστάσεις

57 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5) Να αναπτυχθεί η συνάρτηση σε σειρά Fourier Είναι περίοδος Τ περιττή συνάρτηση Ισχύει

58 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5) Είναι:

59 Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015 Παράδειγμα διακριτής σειράς Fourier Δίνονται τα σφάλματα του οριζόντιου κύκλου ενός θεοδολίχου που έχουν προκύψει από εργαστηριακές μετρήσεις ανά 45 μοίρες Να εκτιμηθεί η τιμή του σφάλματος στη διεύθυνση 55 μοίρες Ο μέγιστος βαθμός του αναπτύγματος Fourier είναι


Κατέβασμα ppt "Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική Ηλίας Τζιαβός 2014/2015ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3 ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google