Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΛΑΜΙΑ 2013

2 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ •ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z •ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER •ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ •ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ •ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ •KALMAN FILTER •ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

3 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3 ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

4 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4 Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι μία ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών που παριστάνεται ως συνάρτηση x(n) της οποίας η ανεξάρτητη μεταβλητή n παίρνει διακριτές (ακέραιες) τιμές. ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

5 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5 πραγματικές τιμές x(n) διακριτές ακέραιες τιμές n Πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου n x(n)

6 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6 x(n) = a(n) + j b(n) = |x(n)| e jφ(n) πραγματική συνιστώσα a(n) φανταστική συνιστώσα b(n) πλάτος |x(n)| = (a(n) 2 + b(n) 2 ) 1/2 φάση φ(n) = atan (b(n)/a(n)) όπου e jφ(n) = cos(φ(n)) + j sin(φ(n)), |e jφ(n) | = 1 Συζυγές μιγαδικό σήμα x*(n) = a(n) - j b(n) = |x(n)| e -jφ(n) Μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου

7 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7 Σήμα μοναδιαίου δείγματος (ακολουθία μοναδιαίου δείγματος) function [x,n]=sigimp(n0,n1,n2) % impulse signal % d(n-n0) n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0];

8 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8 Σήμα μοναδιαίου δείγματος Παράδειγμα: δ(n), δ(n-2), δ(n+4)

9 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9 Σήμα μοναδιαίου βήματος (μοναδιαία βηματική ακολουθία) function [x,n]=sigstep(n0,n1,n2) % step signal % u(n-n0) n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0];

10 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 10 Σήμα μοναδιαίου βήματος Παράδειγμα: u(n), u(n-2), u(n+4)

11 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 11 Πραγματικό εκθετικό σήμα function [x,n]=sigrexp(r,n1,n2) % real exp signal % r^n n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=r.^n; x(n)=r n

12 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 12 Πραγματικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=0.9 n x(n)=1.1 n

13 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 13 Φανταστικό εκθετικό σήμα function [rex,imx,mx,fx,n]=sigiexp(w,n1,n2) % imaginary exp signal % exp(jwn)=cos(wn)+jsin(wn) n=n1..n2 n=[n1:n2]; rex=cos(w*n); imx=sin(w*n); mx=1.^n; fx=w*n; x(n)=e jωn =cos(ωn)+jsin(ωn) •η πραγματική συνιστώσα του σήματος είναι cos(ωn) •η φανταστική συνιστώσα του σήματος είναι sin(ωn) •το πλάτος του σήματος είναι 1 •η φάση του σήματος είναι ωn •η ψηφιακή συχνότητα του σήματος είναι ω (σε rad)

14 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 14 Φανταστικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=e jπn/5

15 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 15 Μιγαδικό εκθετικό σήμα function [rex,imx,mx,fx,n]=sigcexp(r,w,n1,n2) % complex exp signal % r^n*exp(jwn)= (r^n)*{cos(wn)+jsin(wn)} % n=n1..n2 n=[n1:n2]; mx=r.^n; fx=w*n; rex=mx.*cos(w*n); imx=mx.*sin(w*n); x(n)=r n e jωn =r n [cos(ωn)+jsin(ωn)] •η πραγματική συνιστώσα του σήματος είναι r n cos(ωn) •η φανταστική συνιστώσα του σήματος είναι r n sin(ωn) •το πλάτος του σήματος είναι r n •η φάση του σήματος είναι ωn •η ψηφιακή συχνότητα του σήματος είναι ω (σε rad)

16 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 16 Μιγαδικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=0.9 n e j0.3n

17 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 17 Ημιτονοειδές σήμα function [x,n]=sigsin(w,f,n1,n2) % sinusoidal signal % x(n)=sin(w*n+f) n=n1..n2 n=[n1:n2]; x=sin(w.*n+f); x(n)=sin(ωn+φ) •η συχνότητα του σήματος είναι ω •η φάση του σήματος είναι φ

18 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 18 Ημιτονοειδές σήμα Παράδειγμα: x(n)=sin(0.2n+π)

19 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 19 •Σήμα πεπερασμένου μήκους x(n), n1≤n ≤ n2 •Σήμα απείρου μήκους - Ακολουθία δεξιάς πλευράς x(n), n0≤n - Ακολουθία αριστερής πλευράς x(n), n ≤ n0 - Αμφίπλευρη ακολουθία x(n), -∞

20 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 20 Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό αν ισχύει η ακόλουθη σχέση: x(n) = x(n+N)  n Η θεμελιώδης περίοδος του σήματος είναι ο ελάχιστος ακέραιος θετικός αριθμός N για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση. ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

21 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 21 Το φανταστικό εκθετικό σήμα x(n) = e jωn = cos(ωn) + j sin(ωn) είναι περιοδικό αν η ψηφιακή συχνότητα του σήματος (ω) είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π Η θεμελιώδης περίοδος του περιοδικού φανταστικού σήματος είναι N = 2π/ω Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα

22 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 22 Το φανταστικό εκθετικό σήμα x(n)=e jωn είναι περιοδικό αν x(n)=x(n+N), δηλαδή αν e jωn = e jω(n+Ν) ή αν e jωn = e jωn e jωΝ ή αν e jωΝ = 1 ή αν cos(ωΝ) + j sin(ωΝ) = 1 ή αν cos(ωΝ) = 1 και sin(ωΝ) = 0 ή αν ωΝ = 2kπ, όπου k φυσικός αριθμός ή αν ω = 2π k/N δηλαδή αν η ψηφιακή συχνότητα του σήματος (ω) είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π Για k=1 προκύπτει η θεμελιώδης περίοδος N=2π/ω του περιοδικού φανταστικού σήματος Περιοδικότητα φανταστικού εκθετικού σήματος

23 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 23 Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα Παράδειγμα: x(n)=e jωn ω=π/8 Ν=2π/ω=16

24 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 24 Το ημιτονοειδές σήμα sin(ωn+φ) είναι περιοδικό αν η συχνότητα του σήματος (ω) είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π Η θεμελιώδης περίοδος του περιοδικού ημιτονοειδούς σήματος είναι N = 2π/ω Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα

25 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 25 Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα Παράδειγμα: x(n)=sin(ωn) ω=π/4 Ν=8

26 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 26 Αν το σήμα x1(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν1 και το σήμα x2(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν2 τότε το σήμα x(n)=x1(n)+x2(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν=Ν1∙N2/ΜΚΔ(N1,N2) Παρατήρηση: Αν N1=N2, τότε Ν=Ν1=Ν2 Παράδειγμα: x1(n)=cos(πn/12) με θεμελιώδη περίοδο Ν1=24 x2(n)=sin(πn/18) με θεμελιώδη περίοδο Ν2=36 x(n)=x1(n)+x2(n)=cos(πn/12)+sin(πn/18) με θεμελιώδη περίοδο Ν=Ν1N2/ΜΚΔ(N1,N2)=24∙36/12=72 Άθροισμα περιοδικών σημάτων

27 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 27 •ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ •ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

28 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ πρόσθεση σημάτων y(n)=x1(n)+x2(n) 2. πολλαπλασιασμός σημάτων y(n)=x1(n)x2(n) 3. κλιμάκωση στο πλάτος y(n)=cx(n) Πράξεις Μετασχηματισμού Πλάτους

29 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 29 Πρόσθεση Σημάτων function [y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2) % addition % y(n)=x1(n)+x2(n) n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n)); y2=y1; y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; y=y1+y2;

30 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 30 Πρόσθεση Σημάτων: Παράδειγμα

31 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 31 Πολλαπλασιασμός Σημάτων function [y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2) % multiplication % y(n)=x1(n)x2(n) n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n)); y2=y1; y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; y=y1.*y2;

32 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 32 Πολλαπλασιασμός Σημάτων: Παράδειγμα

33 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 33 Κλιμάκωση στο Πλάτος y(n)=c·x(n) όπου c πραγματικός αριθμός

34 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 34 Κλιμάκωση στο Πλάτος: Παράδειγμα

35 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ μετατόπιση σήματος y(n)=x(n-n0) Αν n0>0, τότε έχουμε καθυστέρηση (το σήμα μετατοπίζεται δεξιά) Αν n0<0, τότε έχουμε πρωτοπορία (το σήμα μετατοπίζεται αριστερά) 2. αντιστροφή σήματος y(n)=x(-n) 3. κλιμάκωση στο χρόνο y(n)=x(cn) Αν c=M, τότε έχουμε διαίρεση συχνότητας Αν c=1/M, τότε έχουμε πολλαπλασιασμό συχνότητας Πράξεις Μετασχηματισμού Χρόνου

36 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 36 Μετατόπιση function [y,n]=sigshift(x,m,n0) % shift % y(n)=x(n-n0) n=m+n0; y=x;

37 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 37 Μετατόπιση: Παράδειγμα

38 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 38 Αντιστροφή function [y,n]=sigfold(x,n) % fold % y(n)=x(-n) y=fliplr(x); n=-fliplr(n);

39 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 39 Αντιστροφή: Παράδειγμα

40 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 40 Διαίρεση Συχνότητας function [y]=sigscaldiv(c,x) % frequency division % x(n) n=1:l % y(n)=x(cn) % c>1 nl=length(x); m=floor(nl/c); for i=1:m y(i)=x(i*c); end;

41 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 41 Πολλαπλασιασμός Συχνότητας function [y]=sigscalmul(c,x) % frequency multiplication % x(n) n=1:l % y(n)=x(n/c) % c>1 nl=length(x); m=nl*c; for i=1:m y(i)=0; if mod(i,c)==0 y(i)=x(i/c); end;

42 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 42 Κλιμάκωση στο Χρόνο: Παράδειγμα

43 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 43 Ένα πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου είναι άρτιο αν x(n)=x(-n) Ένα πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου είναι περιττό αν x(n)=-x(-n) ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

44 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 44 Άθροισμα τιμών συμμετρικού πραγματικού σήματος άρτιο σήμα x(n)=x(-n) για n=0 είναι: x(0)=-x(-0)=-x(0) οπότε 2∙x(0)=0 άρα: x(0)=0 περιττό σήμα x(n)=-x(-n)

45 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 45 Αν το σήμα x1(n) είναι άρτιο και το σήμα x2(n) είναι περιττό, τότε το σήμα x(n)=x1(n) ∙ x2(n) είναι περιττό Απόδειξη: x1(n)=x1(-n) x2(n)=-x2(-n) x(n)=x1(n) ∙ x2(n) x(-n)=x1(-n) ∙ x2(-n) = x1(n) ∙ (-x2(n)) = - (x1(n) ∙ x2(n)) = -x(n) Γινόμενο άρτιου σήματος επί περιττό σήμα

46 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 46 Κάθε πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου x(n) μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άρτιου σήματος xe(n) και περιττού σήματος xo(n): x(n)=xe(n)+xo(n) όπου xe(n)=(½) [x(n)+x(-n)] xo(n)=(½) [x(n)-x(-n)] Ανάλυση σε άρτιο και περιττό σήμα

47 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 47 Παράδειγμα ανάλυσης σε άρτιο και περιττό σήμα

48 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 48 Συμμετρία μιγαδικού σήματος Ένα μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου είναι συζυγές συμμετρικό αν x(n)=x*(-n) Ένα μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου είναι συζυγές αντισυμμετρικό αν x(n)=-x*(-n)

49 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 49 Παράδειγμα συμμετρικού μιγαδικού σήματος Το σήμα x(n)=je jπn/4 είναι συζυγές αντισυμμετρικό Απόδειξη: x(n)=je jπn/4 = j [cos(πn/4) + j sin(πn/4)] = = -sin(πn/4)] + j cos(πn/4) x(-n)= j [cos(-πn/4) + j sin(-πn/4)] = = j [cos(πn/4) - j sin(πn/4)] = = sin(πn/4)] + j cos(πn/4) -x(-n) = -sin(πn/4)] - j cos(πn/4) -x*(-n) = -sin(πn/4)] + j cos(πn/4) = x(n)

50 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 50 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ •ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ •ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ •ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ •ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

51 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 51 Ένα σύστημα διακριτού χρόνου είναι ένας μετασχηματισμός. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ x(n)y(n)T[∙] είσοδοςέξοδοςμετασχηματισμός απόκριση: y(n)=T[x(n)]

52 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 52 •Σύστημα χωρίς μνήμη Η έξοδος για n=n 0 εξαρτάται μόνο από την είσοδο για n=n 0 Παράδειγμα: y(n)=x 2 (n) •Σύστημα με μνήμη Η έξοδος για n=n 0 εξαρτάται από τις εισόδους για n≤n 0 Παράδειγμα: y(n)=x(n)+x(n-1) Μνήμη συστήματος

53 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 53 T[x1(n)+x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)] Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x(n)+x(-n) Ισχύει η αρχή της επαλληλίας (υπέρθεσης): T[x1(n)+x2(n)] = (x1(n)+x2(n)) + (x1(-n)+x2(-n)) = = (x1(n)+x1(-n)) + (x2(n)+x2(-n)) = = T[x1(n)] + T[x2(n)] Αρχή της επαλληλίας (αρχή της υπέρθεσης)

54 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 54 T[c x(n)] = c T[x(n)] Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x 2 (n)/x(n-1) Το σύστημα είναι ομογενές: T[c x(n)] = (c x(n)) 2 / (c x(n-1)) = = c x 2 (n)/x(n-1) = c T[x(n)] Ομογένεια

55 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 55 T[c1 x1(n) + c2 x2(n)] = c1 T[x1(n)] + c2 T[x2(n)] Ισχύει η αρχή της επαλληλίας και η ομογένεια Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x(n)sin(πn/2) Το σύστημα είναι γραμμικό: T[c1 x1(n) + c2 x2(n)] = = (c1 x1(n) + c2 x2(n)) sin(πn/2) = = c1 x1(n) sin(πn/2) + c2 x2(n) sin(πn/2) = = c1 T[x1(n)] + c2 T[x2(n)] Γραμμικό Σύστημα (Linear System)

56 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 56 Αν y(n)=T[x(n)], τότε y(n-n 0 )=T[x(n-n 0 )] Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x 2 (n) Το σύστημα είναι Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση: y(n-n 0 ) = x 2 (n-n 0 ) = T[x(n-n 0 )] Σύστημα Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση (Time Invariant system)

57 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 57 Γραμμικό Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση (ΓΑΚΜ) Σύστημα (Linear Time Invariant (LTI) System)

58 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 58 Η έξοδος για n=n 0 εξαρτάται από τις εισόδους μέχρι n=n 0 Αιτιότητα Παράδειγμα: Αιτιατό: y(n)=x(n)+x(n-1) LTI αιτιατό: h(n)=0, n<0

59 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 59 Ευστάθεια Bounded Input Bounded Output (BIBO) stability Αν |x(n)|

60 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 60 Αν x1(n)≠x2(n), τότε y1(n)]≠y2(n) Η είσοδος μπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο με μοναδικό τρόπο Αντιστρεψιμότητα

61 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 61 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ function [y,ny]=sigconv(x,nx,h,nh) % linear convolution % y(n)=x(n)*h(n) nyb=nx(1)+nh(1); nye=nx(length(x))+nh(length(h)); ny=[nyb:nye]; y=conv(x,h);

62 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 62 ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης είναι η το σήμα δ(n) x(n)*δ(n)=x(n) αντιμεταθετική ιδιότητα x1(n)*x2(n)=x2(n)*x1(n) προσεταιριστική ιδιότητα x1(n)*[x2(n)*x3(n)]=[x1(n)*x2(n)]*x3(n) επιμεριστική ιδιότητα x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n) Ιδιότητες Γραμμικής Συνέλιξης

63 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 63 Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένου μήκους, τότε η συνέλιξή τους είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένου μήκους: Αν το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους Lh στο διάστημα [Mh,Nh] και το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Lx στο διάστημα [Mx,Nx], τότε το σήμα y(n)= h(n)*x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Ly στο διάστημα [My,Ny] όπουLy=Lx+Lh-1 My=Mx+Mh Ny=Nx+Nh Γραμμική Συνέλιξη σημάτων πεπερασμένου μήκους

64 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 64 Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης σημάτων πεπερασμένου μήκους

65 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 65 Γραμμική Συνέλιξη: Παράδειγμα

66 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 66 Ετεροσυσχέτιση (Crosscorrelation)

67 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 67 Αυτοσυσχέτιση (Autocorrelation)

68 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 68 Η είσοδος x(n) και η έξοδος y(n) ενός συστήματος γραμμικού αμετάβλητου κατά τη μετατόπιση (Linear Time Invariant – LTI) συνδέονται με τη σχέση: y(n)=x(n)*h(n) όπου h(n) είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x(n)=δ(n) ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ

69 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 69 Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), κρουστική απόκριση h1(n) και έξοδο w(n) συνδεθεί σε σειρά με ένα σύστημα που έχει κρουστική απόκριση h2(n) και έξοδο y(n), δηλαδή: y(n)=w(n)*h2(n) w(n)=x(n)*h1(n) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και κρουστική απόκριση h(n)=h1(n)*h2(n) όπου y(n)=x(n)*h(n) Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά

70 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 70 Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), κρουστική απόκριση h1(n) και έξοδο w(n) συνδεθεί παράλληλα με ένα σύστημα που έχει που έχει είσοδο x(n), κρουστική απόκριση h2(n) και έξοδο v(n) προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: y(n)=w(n)+v(n) w(n)=x(n)*h1(n) v(n)=x(n)*h2(n) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και κρουστική απόκριση h(n)=h1(n)+h2(n) όπου y(n)=x(n)*h(n) Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα

71 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 71 Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα (φίλτρο) περιγράφεται με μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές (ΓΕΔΣΣ): ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Η κρουστική απόκριση του φίλτρου h(n) είναι η λύση της εξίσωσης διαφορών για x(n)=δ(n)

72 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 72 Τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα φίλτρα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με το μήκος της κρουστικής τους απόκρισης: • τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite-duration Impulse Response – FIR) •τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης (Infinite-duration Impulse Response – IIR) Κατηγορίες Φίλτρων

73 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 73 Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης Τα FIR φίλτρα περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών: Moving Average (MA) Κρουστική Απόκριση φίλτρων FIR

74 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 74 Φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης Τα IIR φίλτρα περιγράφονται από τις εξισώσεις διαφορών: Auto Regressive (AR) Auto Regressive Moving Average (ARMA)

75 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 75 Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης h(n) y(n)=x(n)*h(n) Παράδειγμα y(n)=x(n)-x(n-2) x(n)=nu(n) h(n)=δ(n)-δ(n-2) y(n)=nu(n)-(n-2)u(n-2)=x(n)*h(n) Επίλυση ΓΕΔΣΣ FIR Φίλτρων

76 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 76 FIR (MA) Παράδειγμα: y(n)=x(n)-x(n-2)

77 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 77 y(n)=y p (n)+y h (n) Η μερική λύση y p (n) ικανοποιεί τη ΓΕΔΣΣ για τη δεδομένη είσοδο x(n) με μηδενικές αρχικές συνθήκες Η ομογενής λύση y h (n) αντιστοιχεί στην απόκριση του φίλτρου για μηδενική είσοδο x(n)=0 με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες Επίλυση ΓΕΔΣΣ IIR Φίλτρων

78 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 78 Μερική Λύση Όρος στην είσοδο x(n)Μερική Λύση cc1 c∙nc∙nc1∙n+c2 c∙anc∙an c1∙a n c∙cos(ωn)c1∙cos(ωn)+c2∙sin(ωn) c∙sin(ωn)c1∙cos(ωn)+c2∙sin(ωn) c∙δ(n)0

79 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 79 y h (n)=z n Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο Ομογενής Λύση Αν το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο έχει απλές ρίζες, τότε Οι συντελεστές A k υπολογίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες

80 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 80 Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ IIR Φίλτρου

81 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 81 IIR (AR) Παράδειγμα: y(n)=x(n)+0.5y(n-1)

82 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 82 IIR (ARMA) Παράδειγμα: y(n)=x(n)-x(n-1)+0.5y(n-1)

83 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 83 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ (DTFT) •ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT •ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ •ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΔΣΣ ΜΕ DTFT •ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

84 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 84 Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (Discrete Time Fourier Transform – DTFT) ενός σήματος x(n) ορίζεται ως ακολούθως: ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου του σήματος x(n) υπάρχει αν ισχύει η σχέση: Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π

85 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 85 Ζευγάρια DTFT σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) X(e jω ) δ(n)1 δ(n-n 0 )e -jωn0 12πδ(ω) e jω0n 2πδ(ω-ω 0 ) a n u(n), -1

86 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 86 DTFT Παράδειγμα: x(n)=0.9 n e jnπ/3

87 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 87 Ιδιότητες DTFT ιδιότητα μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) X(e jω ) γραμμικότηταc1 x1(n) + c2 x2(n)c1 X1(e jω ) + c2 X2(e jω ) μετατόπιση στο χρόνοx(n-n 0 )e -jωn0 X(e jω ) αντιστροφή στο χρόνοx(-n) X( e -jω ) μετατόπιση στη συχνότηταe -jωn0 x(n) X( e j(ω-ωo) ) συνέλιξη στο χρόνοx1(n)*x2(n)X1(e jω ) X2(e jω )

88 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 88 Μετατόπιση στη συχνότητα Παράδειγμα: x(n)=cos(πn/2) y(n)=e jnπ/4 x(n)

89 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 89 Υπολογισμός DTFT

90 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 90 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) H(e jω ) της κρουστικής απόκρισης h(n) ονομάζεται απόκριση συχνότητας: Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) X(e jω ) της εισόδου x(n) και ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Y(e jω ) της εξόδου y(n) του φίλτρου συνδέονται με τη σχέση: Y(e jω )=H(e jω ) X(e jω )

91 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 91 Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), απόκριση συχνότητας H1(e jω ) και έξοδο w(n) συνδεθεί σε σειρά με ένα σύστημα που έχει απόκριση συχνότητας H2(e jω ) και έξοδο y(n), δηλαδή: Y(e jω )= H2(e jω ) W(e jω ) W(e jω )= H1(e jω ) X(e jω ) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και απόκριση συχνότητας H(e jω )= H1(e jω ) H2(e jω ) όπου Y(e jω )= H(e jω ) X(e jω ) Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά

92 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 92 Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), απόκριση συχνότητας H1(e jω ) και έξοδο w(n) συνδεθεί παράλληλα με ένα σύστημα που έχει που έχει είσοδο x(n) απόκριση συχνότητας H2(e jω ) και έξοδο v(n) προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: Y(e jω )= W(e jω ) V(e jω ) W(e jω )= H1(e jω ) X(e jω ) V(e jω )= H2(e jω ) X(e jω ) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και απόκριση συχνότητας H(e jω )= H1(e jω ) + H2(e jω ) όπου Y(e jω )= H(e jω ) X(e jω ) Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα

93 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΔΣΣ ΜΕ DTFT ΓΑΚΜ και ΓΕΔΣΣ

94 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 94 Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ με DTFT

95 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 95 Τα ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων έχουν κατά τμήματα σταθερό πλάτος απόκρισης συχνότητας •χαμηλοπερατά φίλτρα (Low Pass) H(e jω )=1 για ω  [-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π •υψηπερατά φίλτρα (High Pass) H(e jω )=1 για ω  [-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π •ζωνοπερατά φίλτρα (Band Pass) H(e jω )=1 για ω  [-ω2,-ω1] και για ω  [ω1,ω2] με 0<ω1<ω2<π •ζωνοφρακτικά φίλτρα (Band Stop) H(e jω )=1 για ω  [-ω2,-ω1] και για ω  [ω1,ω2] με 0<ω1<ω2<π ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

96 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 96 Low Pass

97 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 97 High Pass

98 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 98 Band Pass

99 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 99 Band Stop

100 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 100 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ •ΔΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z •ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z •ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z •ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

101 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 101 ΔΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο δίπλευρος μετασχηματισμός z (bilateral z-transform) ενός σήματος διακριτού χρόνου x(n) ορίζεται ως ακολούθως: όπου η μιγαδική μεταβλητή z ονομάζεται μιγαδική συχνότητα και είναι ίση με z=|z|e jω όπου ω είναι η πραγματική συχνότητα.

102 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 102 Περιοχή Σύγκλισης Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (Region Of Convergence - ROC) είναι το σύνολο των τιμών της μεταβλητής z για το οποίο υπάρχει η X(z). Η σχέση |z|=1 (ή z=e jω ) ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο (Unit Circle) στο μιγαδικό επίπεδο. Αν η Περιοχή Σύγκλισης περιέχει το Μοναδιαίο Κύκλο, τότε η X(z) υπολογίζεται πάνω στο Μοναδιαίο κύκλο και ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου X(e jω ) αποτελεί ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού z X(z).

103 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 103 Ιδιότητες της Περιοχής Σύγκλισης - αν x(n) είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς: x(n)=0, na - αν x(n) είναι ακολουθία αριστερής πλευράς: x(n)=0, n>n0 τότε η ΠΣ είναι η εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου |z|0 τότε το σημείο z=0 δεν ανήκει στην ΠΣ αν n1<0 τότε το σημείο z=  δεν ανήκει στην ΠΣ

104 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 104 Ζευγάρια Μετασχηματισμού z σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός z X(z) περιοχή σύγκλισης δ(n)1  z z a n u(n)1/(1-az -1 )|z|>|a| -a n u(-n-1)1/(1-az -1 )|z|<|a| na n u(n)az -1 /(1-az -1 ) 2 |z|>|a| -na n u(-n-1)az -1 /(1-az -1 ) 2 |z|<|a| cos(nω 0 ) u(n) (1-cos(ω 0 )z -1 )/(1-2cos (ω 0 )z -1 +z -2 )|z|>1 sin(ω 0 ) u(n)sin(ω 0 )z -1 /(1-2cos (ω 0 )z -1 +z -2 )|z|>1

105 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 105 Ιδιότητες Μετασχηματισμού z ιδιότητα μετασχηματισμού z σήμα διακριτού χρόνου x(n) μετασχηματισμός z X(z) περιοχή σύγκλισης γραμμικότηταc1x1(n)+c2x2(n)c1X1(z)+c2X2(z) Rx1  Rx2 μετατόπιση στο χρόνοx(n-n0)z -n0 X(z)Rx αντιστροφή στο χρόνοx(-n)X(z -1 )1 / Rx μετατόπιση στη συχνότηταa n x(n)X(a -1 z)|a| Rx συνέλιξη στο χρόνοx1(n) * x2(n)X1(z) X2(z) Rx1  Rx2 μιγαδική συζυγίαx*(n)X*(z*)Rx

106 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 106 Πόλοι και Μηδενικά Έστω X(z) είναι ρητή συνάρτηση του z: X(z)=B(z)/A(z) Οι ρίζες του B(z) καλούνται μηδενικά (zeros) της X(z) Οι ρίζες του A(z) καλούνται πόλοι (poles) της X(z) Στο διάγραμμα πόλων-μηδενικών στο μιγαδικό επίπεδο τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο ‘o’ και οι πόλοι με το σύμβολο ‘x’ Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους

107 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 107 Υπολογισμός Πόλων και Μηδενικών zplane(b,a)

108 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 108 Υπολογισμός Μετασχηματισμού z

109 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 109 Σήματα με ίδιο Μετασχηματισμό z Διαφορετικά σήματα μπορούν να έχουν την ίδια συναρτησιακή μορφή μετασχηματισμού z με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης

110 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 110 Θεώρημα Αρχικής Τιμής

111 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 111 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Αν η X(z) είναι ρητή συνάρτηση του z με πόλους p k, k=1,2,…,N τότε για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού z χρησιμοποιείται η μέθοδος ανάπτυξης της X(z) σε άθροισμα μερικών κλασμάτων.

112 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 112 Απλοί Πόλοι Ν>Μ

113 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 113 Απλοί Πόλοι Ν  Μ οι συντελεστές C k υπολογίζονται εκτελώντας τη διαίρεση B(z)/A(z)

114 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 114 Παράδειγμα Αντίστροφου Μετασχηματισμού z

115 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 115 Παράδειγμα Ανάπτυξης σε Μερικά Κλάσματα Ν>Μ b=[0,1] a=[1,-0.75,0.125] [R,p,C]=residuez(b,a) R = 4 -4 p = C = [ ] [R,p,C]=residuez(b,a)

116 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 116 Παράδειγμα Ανάπτυξης σε Μερικά Κλάσματα Ν  Μ b=[4,-1.75,0.25] a=[1,-0.75,0.125] [R,p,C]=residuez(b,a) R = 3 p = C = 2 [R,p,C]=residuez(b,a)

117 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 117 ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z (one-sided z-transform) ενός σήματος διακριτού χρόνου x(n) ορίζεται ως ο μετασχηματισμός z του σήματος x(n)u(n):

118 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 118 Ιδιότητα Μετατόπισης στο Χρόνο - ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n-n0), n0<0 [αριστερή ολίσθηση] είναι: Αν X + (z) είναι ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n), τότε - ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n-n0), n0>0 [δεξιά ολίσθηση] είναι:

119 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 119 xic=filtic(b,a,Y) y=filter(b,a,x,xic) Επίλυση ΓΕΔΣΣ με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες

120 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 120 Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ

121 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 121 Μορφές λύσης ΓΕΔΣΣ πόλοιαπόκριση μέσα στο Μ.Κ.transient response πάνω στο Μ.Κ.steady state response έξω από το Μ.Κ.unbounded response

122 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 122 Συνάρτηση Μεταφοράς ενός LTI φίλτρου είναι ο Μετασχηματισμός z της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου και είναι ρητή συνάρτηση του z ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

123 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 123 Αιτιατό Σύστημα h(n)=0, n<0 Π.Σ. της H(z): |z|>a και πόλοι ανήκουν στο |z|≤a

124 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 124 Ευσταθές Σύστημα Ο Μ.Κ. ανήκει στην Π.Σ. της H(z)

125 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 125 Πραγματοποιήσιμο Σύστημα Ευσταθές και Αιτιατό Π.Σ. της H(z): |z|>a, 0 ≤ a<1 δηλαδή πόλοι ανήκουν στο εσωτερικό του Μ.Κ.

126 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 126 H(z) G(z) = 1 Η Π.Σ. της H(z) επικαλύπτεται από την Π.Σ. της G(z) δηλαδή η τομή των Π.Σ. των H(z) και G(z) δεν είναι το κενό σύνολο Αντίστροφα Συστήματα

127 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 127 H(z): σύστημα ευθύ κλάδου G(z): σύστημα κλάδου ανάδρασης Q(z): συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου Σύστημα Ανάδρασης Y(z) H(z) G(z) + X(z) + -

128 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 128 Ανάδραση και Ευστάθεια Το σύστημα ευθύ κλάδου H(z) είναι ασταθές γιατί ο Μ.Κ. δεν ανήκει στην Π.Σ. της H(z) αφού πόλος α>1 Για να είναι το συνολικό σύστημα Q(z) ευσταθές πρέπει ο Μ.Κ. να ανήκει στην Π.Σ. της Q(z) δηλαδή πόλος α’ 0.2

129 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 129 ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DFT) •DFS •DFT •FFT

130 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 130 DFS Η Διακριτή Σειρά Fourier (Discrete Fourier Series – DFS) ενός περιοδικού σήματος με περίοδο Ν ορίζεται ως ακολούθως: Οι συντελεστές της DFS είναι περιοδικοί με περίοδο Ν.

131 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 131 Ιδιότητες DFS ιδιότητα DFS Περιοδικό σήμα διακριτού χρόνου DFS γραμμικότητα μετατόπιση περιοδική συνέλιξη

132 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 132 Περιοδική Συνέλιξη

133 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 133 DFT Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform – DFT) ενός σήματος x(n) πεπερασμένου μήκους N που μηδενίζεται έξω από το διάστημα [0,N-1] ορίζεται ως ακολούθως: και ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Inverse Discrete Fourier Transform – IDFT) ορίζεται ως ακολούθως:

134 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 134 Ιδιότητες DFT ιδιότητα διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) σήμα διακριτού χρόνου x(n) διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) X(k) γραμμικότηταc1 x1(n) + c2 x2(n)c1 X1(k) + c2 X2(k) συμμετρία πραγματικού σήματος x(n) πραγματικό σήμαX(k)=X*((-k))=X*((N-k)) N συμμετρία φανταστικού σήματος x(n) φανταστικό σήμαX(k)=-X*((-k))=-X*((N-k)) N κυκλική μετατόπιση x((n-n0)) N R N (n) και (W N ) nk0 x(n) (W N ) n0k X(k) X((k+k0)) N

135 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 135 Υπολογισμός DFT function [Xk]=sigdft(xn,N) % DFT % x(n) -- X(k) % N = length of x(n) n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1]; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN.^nk; Xk=xn*WNnk;

136 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 136 Παράδειγμα υπολογισμού DFT x (n) x(0) = 0 x(1)= 1 x(2)= 2 x(3)= 2 X(k) X(0)= X(1)= i X(2)= X(3)= i

137 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 137 Κυκλική Μετατόπιση function [y]=sigcirshift(x,m,N) % circural shift % x(n) of length N % y(n) = x((n-m))N x=[x zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; n=mod(n-m,N); y=x(n+1);

138 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 138 Παράδειγμα Κυκλικής Μετατόπισης x(n) n= Κυκλική μετατόπιση κατά Κυκλική μετατόπιση κατά Κυκλική μετατόπιση κατά Κυκλική μετατόπιση κατά

139 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 139 Κυκλική Συνέλιξη Η κυκλική συνέλιξη N σημείων δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους N ορίζεται ως ακολούθως: Αν το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους N1 και το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους N2 όπου N1  N2, τότε η κυκλική συνέλιξη N σημείων y(n)=h(n)(N)x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Ν όπου N  max{N1,N2}και υπολογίζεται αφού πρώτα τα σήματα συμπληρωθούν με μηδενικά ώστε να αποκτήσουν μήκος N.

140 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 140 Υπολογισμός Κυκλικής Συνέλιξης function [y]=sigcirconv(x1,x2,N) % circular convolution % y(n)=x1(n) N x2(n) x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))]; m=[0:1:N-1]; x2=x2(mod(-m,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N H(n,:)=sigcirshift(x2,n-1,N); end; y=x1*H';

141 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 141 Παράδειγμα υπολογισμού Κυκλικής Συνέλιξης

142 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 142 Η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους δεν είναι γενικά ίσες μεταξύ τους. Αν το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους N1 και το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους N2, τότε η γραμμική συνέλιξη yl(n)=h(n)*x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Nl=N1+N2-1 και η κυκλική συνέλιξη N σημείων yc(n)=h(n)(N)x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Nc=Ν. Γραμμική και Κυκλική συνέλιξη

143 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 143 yl(n)=h(n)*x(n)=h(n)(N)x(n)=yc(n) δηλαδή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη είναι ίσες μεταξύ τους. Σχέση Γραμμικής και Κυκλικής Συνέλιξης Nc  Nl

144 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 144 yc(n)=yl(n)+yl(n+Nc) όπου n  [0,Nc-1] δηλαδή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη δεν είναι ίσες μεταξύ τους. Σχέση Γραμμικής και Κυκλικής Συνέλιξης Nc

145 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 145 IDFT μέσω DFT

146 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 146 Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform – FFT) ονομάζεται το σύνολο των γρήγορων αλγορίθμων για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (Discrete Fourier Transform – DFT). FFT Ο χρόνος εκτέλεσης του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (Discrete Fourier Transform – DFT) είναι της τάξης O(N 2 ). Ο χρόνος εκτέλεσης του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier (Fast Fourier Transform – FFT) είναι της τάξης O(Nlog 2 N) όταν N είναι δύναμη του 2.

147 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 147 Τυπικοί αλγόριθμοι FFT είναι οι ακόλουθοι: •FFT με βάση 2 (radix-2 FFT) - διαίρεσης στο χρόνο (Decimation In Time FFT - DIT-FFT) - διαίρεσης στη συχνότητα (Decimation In Frequency FFT - DIF-FFT) •FFT σύνθετων βάσεων •FFT πρώτων παραγόντων Αλγόριθμοι FFT

148 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 148 Υπολογισμός FFT x (n) x(0) = 1 x(1)= 0 x(2)= 0 x(3)= 2 X(k) X(0)= X(1)= i X(2)= X(3)= i X=fft(x,N)

149 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 149 Χρόνος εκτέλεσης FFT

150 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 150 ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ •ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ •ΨΗΦΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ •ΔΟΜΕΣ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ •ΔΟΜΕΣ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ

151 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 151 ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ •Αθροιστής •Πολλαπλασιαστής •Καθυστέρηση z -1 x(n)x(n-1) x(n)a x(n) a x1(n)+x2(n) + x1(n) x2(n)

152 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 152 ΨΗΦΙΑΚΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ Από τον τρόπο υλοποίησης ενός συστήματος διακριτού χρόνου εξαρτάται: -Το πλήθος των υπολογισμών -Το πλήθος των θέσεων μνήμης -Η ευαισθησία του φίλτρου ως προς τον κβαντισμό των συντελεστών -Η ευαισθησία του φίλτρου ως προς το θόρυβο στρογγυλοποίησης που εμφανίζεται στην έξοδο του φίλτρου Ένα ψηφιακό δικτύωμα μπορεί να παρασταθεί με ένα διάγραμμα ροής σήματος (signal flowchart) που αποτελείται από κλάδους που συνδέονται με κόμβους (nodes).

153 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 153 ΚΛΑΔΟΙ ΚΑΙ ΚΟΜΒΟΙ Κλάδοι - Κάθε κλάδος έχει μια είσοδο και μια έξοδο - Η κατεύθυνση σημειώνεται με ένα βέλος - Η έξοδος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός της εισόδου - Ο γραμμικός τελεστής σημειώνεται δίπλα στο βέλος και είναι πολλαπλασιαστής ή καθυστερητής Κόμβοι -Κόμβος πηγής (source node) χρησιμοποιείται για είσοδο, εμφανίζεται εξερχόμενος κλάδος -Κόμβος απαγωγής (sink node) χρησιμοποιείται για έξοδο, εμφανίζεται εισερχόμενος κλάδος -Αθροιστής κόμβος όπου καταλήγουν περισσότεροι από ένας κλάδος -Σημείο διακλάδωσης κόμβος από τον οποίο αποχωρούν περισσότεροι από ένας κλάδοι

154 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 154 Παράδειγμα x(n)y(n)2 2 -1/2 -1/5 z -1

155 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 155 ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (FIR FILTER STRUCTURES) •ΕΥΘΕΙΑ ΜΟΡΦΗ •ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΡΡΑΚΤΗ •ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ •ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ •ALL-ZERO ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ

156 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 156 Ευθεία Μορφή Direst Form Απευθείας υλοποίηση εξίσωσης διαφορών

157 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 157 Ευθεία Μορφή Δομή z -1 b(0)b(1)b(2)b(M)b(M-1) x(n) y(n) … … z -1

158 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 158 Ευθεία Μορφή Παράδειγμα a=1 b=[ ] y=filter(b,a,x) z x(n) y(n) z -4

159 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 159 Μορφή Καταρράκτη Cascade Form Χρήση παραγοντοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς σε παράγοντες δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές

160 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 160 Μορφή Καταρράκτη Δομή z -1 b(0) Β 1,1 x(n)y(n) Β 1,2 z -1 Β 2,1 Β 2,2 z -1 … Β Ms,1 Β Ms,2 z -1

161 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 161 Μορφή Καταρράκτη Παράδειγμα a=1 b=[ ] [b0,B,A]=dir2cas(b,a) y=casfilt(b0,B,A,x) b0=1 B=[ ]

162 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 162 ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ (LINEAR PHASE) Type I: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι συμμετρική και Μ άρτιος Type II: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι συμμετρική και Μ περιττός Type III: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι αντισυμμετρική και Μ άρτιος Type IV: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι αντισυμμετρική και Μ περιττός

163 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 163 ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE I h(n)=[ ] για n=[0:10]

164 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 164 ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE II h(n)=[ ] για n=[0:11]

165 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 165 ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE III h(n)=[ ] για n=[0:10]

166 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 166 ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ TYPE IV h(n)=[ ] για n=[0:11]

167 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 167 Δειγματοληψία συχνότητας Frequency Sampling Form Χρήση DFT

168 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 168 All-Zero φίλτρα πλέγματος All-Zero Lattice Form Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης με αναδρομικό αλγόριθμο Τα FIR φίλτρα γραμμικής φάσης δεν μπορούν να υλοποιηθούν χρησιμοποιώντας δομή πλέγματος

169 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 169 Ευστάθεια Schur-Cohn Ένα αιτιατό φίλτρο με ρητή συνάρτηση μεταφοράς H(z)=B(z)/A(z) είναι ευσταθές αν και μόνον αν οι συντελεστές ανάκλασης Γ k που αντιστοιχούν στην A(z) ικανοποιούν τη σχέση:

170 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 170 ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΑΠΕΙΡΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (IIR FILTER STRUCTURES) •ΕΥΘΕΙΑ ΜΟΡΦΗ •ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΡΡΑΚΤΗ •ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΟΜΗ •ALL-POLE ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ •ZERO-POLE ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ

171 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 171 Ευθεία Μορφή Direst Form Απευθείας υλοποίηση εξίσωσης διαφορών Type I Type II

172 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 172 Μορφή Καταρράκτη Cascade Form Χρήση παραγοντοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς σε παράγοντες δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές

173 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 173 Παράλληλη Μορφή Parallel Form Ανάπτυξη της συνάρτησης μεταφοράς σε απλά κλάσματα

174 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 174 All-Pole φίλτρα πλέγματος All-Pole Lattice Form Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης με αναδρομικό αλγόριθμο

175 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 175 Zero-Pole φίλτρα πλέγματος Zero-Pole Lattice Form ή Lattice Ladder Form Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης με αναδρομικό αλγόριθμο

176 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 176 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ •ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ •ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ

177 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 177 ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ •ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ •ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ •ΙΣΟΚΥΜΑΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ

178 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 178 Σχεδίαση FIR φίλτρων γραμμικής φάσης με χρήση παραθύρου Ιδανικό Low-Pass filter Επειδή το ιδανικό LP φίλτρο δεν είναι πραγματοποιήσιμο (είναι αναιτιατό και ασταθές), πρέπει να προσδιοριστούν οι προδιαγραφές πραγματοποιήσιμου LP φίλτρου.

179 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 179 Προδιαγραφές πραγματοποιήσιμου LP φίλτρου

180 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 180 Περιορισμός με χρήση παραθύρου Τύποι παραθύρων: Ορθογώνιο Bartlett Hanning Hamming Blackman Kaiser

181 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 181 Τύποι παραθύρων

182 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 182 Συναρτήσεις παραθύρων

183 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 183 Ιδιότητες παραθύρων ΔωΔf=Δω/2π Πλάτος πλευρικού λοβού Εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής Ορθογώνιο1.8π/Ν0.9/Ν1321 Bartlett6.1π/Ν3.05/Ν2725 Hanning6.2π/Ν3.1/Ν3144 Hamming6.6π/Ν3.3/Ν4153 Blackman11π/Ν5.5/Ν5774

184 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 184 Παράδειγμα

185 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 185 Δειγματοληψία συχνότητας Αυτά τα δείγματα αποτελούν έναν DFT-N σημείων, του οποίου ο IDFT αντιστοιχεί σε ένα FIR φίλτρο τάξης Ν-1 Η επιθυμητή απόκριση συχνότητας υφίσταται δειγματοληψία σε Ν ισαπέχοντα σημεία στο διάστημα [0,2π]

186 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 186 Ισοκυματικά φίλτρα γραμμικής φάσης Προσεγγιστική συνάρτηση βάρους του σφάλματος: minmax problem: αναζήτηση συντελεστών :

187 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 187 Θεώρημα Εναλλαγής Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον L+1 συχνότητες ακροτάτων ω0<ω1<…<ωL+1 στο σύνολο των συχνοτήτων F, ώστε: Επομένως, το βέλτιστο φίλτρο είναι το ισοκυματικό φίλτρο. Εύρεση των συχνοτήτων των ακροτάτων με τον αλγόριθμο Parks-McClellan.

188 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 188 ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ •ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ •ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΑΠΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

189 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 189 Πρότυπα Αναλογικών Φίλτρων •φίλτρα Butterworth •φίλτρα Chebychev •ελλειπτικά φίλτρα

190 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 190 Ιδιότητες Αναλογικών Φίλτρων PrototypeOrder NStopband attenuation Batterworth615 Chebyshev425 Elliptic327

191 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 191 Σχεδίαση IIR φίλτρων από αναλογικά φίλτρα  κρουστική αμεταβλητότητα  διγραμμικός μετασχηματισμός  ελάχιστα τετράγωνα

192 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 192 Κρουστική Αμεταβλητότητα (impulse invariance transformation) δειγματοληψία στην κρουστική απόκριση ενός αναλογικού φίλτρου με περίοδο δειγματοληψίας Τs:

193 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 193 Διγραμμικός Μετασχηματισμός (bilinear transformation) απεικόνιση (μετασχηματισμός) s- επίπεδο στο z-επίπεδο:

194 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 194 Διγραμμικός Μετασχηματισμός Παράδειγμα

195 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 195 Ελάχιστα Τετράγωνα - Προσέγγιση Pade - Μέθοδος Prony - Προσέγγιση αντίστροφου FIR φίλτρου

196 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 196 Προσέγγιση Pade

197 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 197 Υπολογισμοί Προσέγγισης Pade

198 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 198 Παράδειγμα Προσέγγισης Pade

199 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 199 Μέθοδος Prony

200 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 200 Προσέγγιση αντίστροφου FIR φίλτρου

201 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 201 Παράδειγμα Προσέγγισης αντίστροφου FIR φίλτρου

202 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 202 ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ •ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE SPACE) •ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ •ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ •ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ

203 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 203 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE SPACE)

204 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 204 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

205 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 205 ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ (CONTROLABILITY)

206 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 206 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ (OSERVABILITY)

207 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 207 Παράδειγμα

208 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 208 Συνάρτηση Μεταφοράς

209 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 209 Ελεγξιμότητα – Παρατηρησιμότητα

210 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 210 KALMAN FILTER •ΜΟΝΤΕΛΟ •ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΛΜΑΝ •ΕΞΙΣΩΣΗ RICCATI •ΕΞΙΣΩΣΗ LYAPUNOV

211 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 211 ΜΟΝΤΕΛΟ

212 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 212 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN

213 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 213 ΕΞΙΣΩΣΗ RICCATI

214 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 214 ΕΞΙΣΩΣΗ LYAPUNOV

215 Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 215 [1] M. H. Hayes, “Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος”, Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, 2000 [2] J. H. McClellan, R. W. Schafer, M. A. Yoder, “Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων”, Φιλομάθεια, 2006 [3] Γ. Καραγιάννης, Κ. Τζιτζιράχου, “Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα”, Παπασωτηρίου, 2003 [4] J. Proakis and D. Manolakis, “Digital Signal Processing”, Macmillan, 1992 [5] Oppeinheim A. V., Schafer R. W. and Buck J. R., “Discrete-Time Signal Processing”, 2nd ed., Prentice-Hall, 1999 [6] Ασημάκης Ν., “Σήματα, Συστήματα και Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων”, Gutenberg, 2008 [7] V. K. Ingle and J. G. Proakis, “Digital Signal Processing using MATLAB”, BROOKS/COLE Publishing Company, 2000 [8] The MathWorks Inc., “The Student Edition of MATLAB”, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1995 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ


Κατέβασμα ppt "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google