Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Γεωμετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Γεωμετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Γεωμετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος

2 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα ◊Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 7 ◊Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 7 ◊DiStefano [1995]: Chapters 13 ◊Tewari [2005]: Chapter 2: Section 2.9 Βιβλιογραφία Ενότητας

3 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Ένα από τα βασικά ζητήματα της σχεδίασης Σ.Α.Ε είναι η τοποθέτηση των πόλων του συστήματος σε νέες επιθυμητές θέσεις. ◊Η γενική διάταξη που χρησιμοποιείται για το σκοπό αυτό φαίνεται στο επόμενο σχήμα ◊Η συνάρτηση F(s), η οποία συνήθως ονομάζεται ελεγκτής ανατροφοδότησης, χρησιμοποιείται για την εισαγωγή νέων πόλων και μηδενικών στο σύστημα ◊Η σταθερά ενίσχυσης Κ (η οποία συνήθως ονομάζεται αντισταθμιστής) χρησιμοποιείται για την μετατόπιση των υφιστάμενων πόλων του συστήματος σε νέες θέσεις καθώς και για τη ρύθμιση του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση. ◊Σε αρκετές περιπτώσεις η εισαγωγή μοναδιαίας ανάδρασης (F(s)=1) και ο αντισταθμιστής K είναι αρκετή για τη δημιουργία της επιθυμητής συμπεριφοράς του συστήματος. ◊Η μελέτη της μεταβολής της θέσεως των πόλων του κλειστού συστήματος καθώς μεταβάλλεται το Κ είναι το αντικείμενο του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Εισαγωγή  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

4 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα ◊Το αριστερό διάγραμμα μας δίνει τη θέση των πόλων του κλειστού συστήματος του σχήματος ως μεταβολή της τιμής του Κ. ◊Με μπλε χρώμα είναι η κίνηση του ενός πόλου και με πράσινο η κίνηση του δεύτερου πόλου  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

5 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου Ριζών ◊Έστω το κλειστό σύστημα του σχήματος: ◊Ως γνωστό το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: και η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ή η οποία μπορεί να γραφεί και ως ◊Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου ΚG(s)F(s) είναι ρητή συνάρτηση και έχει τη μορφή:  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

6 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (ΙΙ) ◊Η χαρακτηριστική εξίσωση τότε παίρνει τη μορφή: Ο Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (Γ.Τ.Ρ) του κλειστού συστήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων s που ικανοποιούν τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος (δηλαδή τις δύο παραπάνω εξισώσεις) για Κ(0,∞)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

7 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Θεώρημα 1: ◊Τα σημεία του Γ.Τ.Ρ για Κ=0 είναι οι πόλοι της G(s)F(s). Τα σημεία αυτά ονομάζονται σημεία εκκίνησης του Γ.Τ.Ρ  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

8 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (II) Θεώρημα 2: ◊Τα σημεία του Γ.Τ.Ρ για Κ->∞ είναι τα μηδενικά της G(s)F(s). Τα σημεία αυτά ονομάζονται σημεία λήξης του Γ.Τ.Ρ. Όταν ο αριθμός m των μηδενικών της G(s)F(s) είναι μικρότερος από τον αριθμό των πόλων n υπάρχουν n-m σημεία λήξης που αντιστοιχούν στο άπειρο (∞)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

9 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (IIΙ) Θεώρημα 3: ◊Ο αριθμός των διακεκριμένων κλάδων (τόπων) είναι ίσος με max(n,m) όπου m και n είναι ο αριθμός των μηδενικών και πόλων της G(s)F(s).  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

10 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (IV) Θεώρημα 4: ◊Ο Γ.Τ.Ρ για είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών (Re(s)) Άσκηση: Να βρεθεί με τη βοήθεια του διαγράμματος του Γ.Τ.Ρ η ελάχιστη τιμή του K για την οποία το κλειστό σύστημα του σχήματος είναι ευσταθές.  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

11 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (V) Θεώρημα 5: ◊Για μεγάλες τιμές του s o Γ.Τ.Ρ για πλησιάζει ασυμπτωτικά τις ευθείες γραμμές που έχουν γωνίες: όπου n είναι ο αριθμός των πόλων και m ο αριθμός των μηδενικών της G(s)F(s)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

12 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙ) Θεώρημα 6: ◊Οι |n-m| ασύμπτωτες του Γ.Τ.Ρ τέμνονται στον άξονα των πραγματικών αριθμών και συγκεκριμένα στο σημείο:  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

13 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙΙ) Θεώρημα 7: ◊Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να ανήκει στο Γ.Τ.Ρ αν ο αριθμός των πόλων ή μηδενικών της G(s)F(s) που βρίσκονται στα δεξιά του τμήματος είναι περιττός  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

14 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙΙΙ) Θεώρημα 8: ◊Οι ρίζες τις εξίσωσης οι οποίες είναι και ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: για κάποια τιμή του Κ, αποτελούν σημεία θλάσης του Γ.Τ.Ρ  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

15 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (ΙX) Θεώρημα 9: ◊Η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στους πόλους της G(s)F(s) (γωνία εκκίνησης) δίνεται από τη σχέση: όπου θ(p q ) η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στο πόλο p q και p i, z i είναι οι πόλοι και τα μηδενικά της G(s)F(s) αντίστοιχα. ◊Η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στα μηδενικά της G(s)F(s) (γωνία άφιξης) δίνεται από τη σχέση: όπου θ(z q ) η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στο μηδενικό z q  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

16 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Γωνίες άφιξης και γωνίες εκκίνησης  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

17 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα ◊Για το κλειστό σύστημα του σχήματος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ ◊Επαληθεύστε τις απαντήσεις με τη βοήθεια του διαγράμματος του Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό σχήμα (γωνίες εκκίνησης = π, 0, π, γωνίες άφιξης = 109 ο, -109 ο )  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

18 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα (ΙΙ) ◊Για το κλειστό σύστημα του σχήματος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ ◊Επαληθεύστε τις απαντήσεις με τη βοήθεια του διαγράμματος του Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό σχήμα (γωνίες εκκίνησης = π, -30, 30, γωνίες άφιξης = 45, -45)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

19 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα (ΙΙΙ) ◊Για το κλειστό σύστημα του σχήματος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ (γωνίες εκκίνησης = π, 30, - 30, γωνίες άφιξης = -45, 45) ◊Με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ να υπολογίσετε μια κατάλληλη τιμή για το K ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές (Λύση: Κ>3).  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

20 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Προσδιορισμός ριζών με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ ◊Η κατασκευή του Γ.Τ.Ρ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου ανώτερης τάξης p(s): ◊Βρίσκουμε μια μορφή 1+KG(s)F(s) για την οποία το χαρακτηριστικό πολυώνυμο να του κλειστού συστήματος να είναι ίσο με το p(s) για κάποια τιμή του Κ. ◊Υπολογίζουμε από το Γ.Τ.Ρ τις θέσεις των πόλων του κλειστού συστήματος για τη συγκεκριμένη τιμή του Κ. ◊Παράδειγμα: ◊Να βρεθούν οι ρίζες του πολυωνύμου με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ ◊Λύση: ◊Το κλειστό σύστημα με έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο το p(s) για Κ=2. ◊Σχηματίζουμε το Γ.Τ.Ρ για το παραπάνω κλειστό σύστημα και βρίσκουμε τις θέσεις των πόλων για Κ=2 (βλέπε σχήμα επόμενης διαφάνειας)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

21 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Προσδιορισμός ριζών με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ (ΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα ◊Από το διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ του σχήματος προκύπτει ότι οι ρίζες του ◊είναι (προσεγγιστικά) οι p 1 = -3.29, p 2 = , p 3 = ,

22 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα ◊Η απλούστερη μορφή ενός κλειστού συστήματος περιλαμβάνει μοναδιαία ανατροφοδότηση και τον αντισταθμιστή K όπως φαίνεται στο σχήμα: Πολλές φορές η παραπάνω μορφή δεν είναι αρκετή για να προσδώσει στο κλειστό σύστημα την επιθυμητή συμπεριφορά και χρησιμοποιείται η συνάρτηση ανατροφοδότησης F(s) για την εισαγωγή επιπλέον πόλων ή μηδενικών στο σύστημα. Στη συνέχεια εξετάζουμε την επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα.  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

23 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα (ΙΙ) ◊Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι Γ.Τ.Ρ των αντίστοιχων κλειστών συστημάτων:  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

24 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα (ΙΙΙ) ◊Από τα προηγούμενα και επόμενα σχήματα προκύπτει ότι η εισαγωγή πόλων στο κλειστό σύστημα απλά μετακινεί το Γ.Τ.Ρ προς τα δεξιά και καθιστά το σύστημα λιγότερο ευσταθές.  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

25 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Επίδραση εισαγωγής μηδενικών ◊Σε γενικές γραμμές η εισαγωγή μηδενικών στο κλειστό σύστημα μετακινεί το Γ.Τ.Ρ προς τα αριστερά καθιστώντας το σύστημα περισσότερο ευσταθές όπως φαίνεται από τα επόμενα παραδείγματα.  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

26 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Επίδραση εισαγωγής μηδενικών (ΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

27 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Επίδραση εισαγωγής μηδενικών (ΙΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα ◊Από το διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ του σχήματος παρατηρούμε ότι με την εισαγωγή δύο συζυγών μηδενικών στο κλειστό σύστημα επιτυγχάνουμε ευστάθεια (για Κ>4)

28 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Παράδειγμα Ι ◊Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό σύστημα του σχήματος και να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές.  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα

29 ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis ◊Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ και να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές (Απ. 0.5<Κ<2) Παράδειγμα ΙI  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα


Κατέβασμα ppt "ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Γεωμετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google