Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

2 Μετασχηματισμός - z •Γραμμικότητα •Χρονική Ολίσθηση •Κλιμάκωση στο Επίπεδο-z •Παραγώγιση •Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου •Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου •Συσχέτιση •Συζυγές Σήμα •Συνέλιξη στο Μιγαδικό Επίπεδο Ιδιότητες Μετασχηματισμού-z

3 Μετασχηματισμός - z •Αριστερή Ολίσθηση •Δεξιά Ολίσθηση •Θεώρημα Αρχικής Τιμής •Θεώρημα Τελικής Τιμής •Μετασχηματισμός-z Περιοδικών Σημάτων Ιδιότητες Μονόπλευρου Μετασχηματισμού-z

4 Μετασχηματισμός - z Αναλυτικές Συναρτήσεις •Συνθήκες Cauchy-Riemann •Αρμονικές Συναρτήσεις Αναλυτικές Συναρτήσεις και Δυναμοσειρές

5 Αναλυτικές Συναρτήσεις-Θεώρημα του Cauchy Μετασχηματισμός - z Έστω f(z) μία αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο Β(α, R) & έστω γ μία κλειστή καμπύλη που κείται εντός του δίσκου. Τότε: Im{z} Re{z} Β(α, R)

6 Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης Μια Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο σημείο z=α ανη f(z) να ορίζεται και να είναι αναλυτική στον κύκλο Β(α, R)-{α} αλλά όχι στον Β(α, R). Im{z} Re{z} Β(α, R) Παραδείγματα Μετασχηματισμός - z

7 Απαλειφόμενα Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση- μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένα απαλείψιμο σημείο ανωμαλίας αν και μόνο αν: Μετασχηματισμός - z

8 Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση- μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένας πόλος της f() αν : Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει ένα πόλο στο σημείο z=α και m είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο το ακόλουθο όριο : είναι πεπερασμένο, τότε θα λέμε ότι η f(z)έχει ένα πόλο τάξης m στο z=a Μετασχηματισμός - z

9 Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι H Μιγαδική Συνάρτηση f(z) μπορεί να γραφεί ως όπου g(z) η ακόλουθη αναλυτική συνάρτηση: Μετασχηματισμός - z

10 Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι Το τμήμα: της g(z) ονομάζεται ανώμαλο ή κύριο τμήμα της f(z) στο z=α. Υπολογισμός των Α -(m-k), k=0,1,…,m-1 Μετασχηματισμός - z

11 Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης -Δυναμοσειρές Αν είδαμε ότι: Άρα: Μετασχηματισμός - z και:

12 Στροφικός Αριθμός ή Δείκτης Καμπύλης ως προς σημείο Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Θεώρημα Cauchy Ο n(C,α) είναι ΑΚΕΡΑΙΟΣ!! Μετασχηματισμός - z

13 Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείο α, μίας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου-z δηλαδή: Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο α την παρακάτω ποσότητα:

14 Μετασχηματισμός - z Ολοκληρωτικά Υπόλοιπά Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση είναι αναλυτική συνάρτηση εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος μεμονωμένων ανώ- μαλων σημείων z 1, z 2,… z N και έστω καμπύλη γ γ

15 Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ανάπτυγμα σε Απλά Κλάσματα Αν R(z) είναι μια ρητή μιγαδική συνάρτηση με Ν πόλους στα σημεία α i, i=1,2,…Ν, τότε: Όπου S i (z) το ανώμαλο τμήμα της ρητής μιγαδικής συνάρτησης R(z) στο z=α i και P(z) Πολυώνυμο.

16 Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ουσιώδη Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης Αν μια απομονωμένη ανωμαλία δεν είναι ούτε απαλείψιμη ούτε πόλος, θα λέμε ότι είναι ουσιώδες ανώμαλο σημείο της συνάρτησης.

17 Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Σύνοψη Έστω z=α μία απομονωμένη ανωμαλία της μιγαδικής συνάρτησης f(z) και έστω η σειρά Laurent. Τότε: • το z=α είναι ένα απαλείψιμο ανώμαλο σημείο αν και μόνο αν • το z=α είναι ένας πόλος τάξης m αν και μόνο αν& •το z=α είναι ένα ουσιώδες ανώμαλο σημείο αν για μια απειρία αρνητικών τιμών του n.

18 Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Έστω κλειστή καμπύλη C η οποία περικλείει Ν πόλους (στα σημεία z i, i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης και ανήκει εξ ολοκλήρου στην Περιοχή Σύγκλισης της μιγαδικής συνάρτησης, τότε: Im{z} 0 C (k)(k) Re{z}

19 Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική ρητή συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείο α, δηλαδή: Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο α την παρακάτω ποσότητα:

20 Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων Αν υποθέσουμε ότι μία κλειστή καμπύλη C, που ανήκει στην περιοχή σύγκλισης του περικλείει Ν πόλους (στα σημεία z i, i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης, τότε:

21 Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Άλλες Μέθοδοι Υπολογισμού •Μέθοδος Αναπτύγματος σε Δυναμοσειρά


Κατέβασμα ppt "ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google