Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα Φυσικής με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 11 α : Βολές Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα Φυσικής με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 11 α : Βολές Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα Φυσικής με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 11 α : Βολές Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών

2 Η εντολή Do επαναλαμβάνει μια σειρά εντολών σύμφωνα με την τιμή μιας παραμέτρου (n) Από μέχρι με βήμα Plot[Sin[1.00 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[1.25 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[1.50 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[1.75 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.00 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.25 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.50 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.75 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[3.00 x], {x,0,2π}] Η παραπάνω εντολή ισοδυναμεί με την σειρά εντολών: Πρόβλημα 11 α : Βολές Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές, τις αντίστοιχες ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις. Η εντολή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η Do Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές, τις αντίστοιχες ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις. Η εντολή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η Do : Με τη βοήθεια της Do μπορούμε να δημιουργήσουμε και μια κινούμενη απεικόνιση της βολής καθώς προβάλλει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού χρησιμοποιώντας τις τιμές x[t], y[t] που υπολογίζονται.

3 Show[Graphics[{PointSize[0.05],Point[{x[t],y[t]}]}] Η εντολή Graphics υπολογίζει τη θέση ενός σημείου με συντεταγμένες {x[t], y[t]} ενώ η εντολή Show το εμφανίζει στην οθόνη. Η εντολή PointSize[0.05] σημαίνει ότι το σημείο αυτό έχει μέγεθος ίσο με το 5% της οθόνης. Με τη βοήθεια της εντολής Do τοποθετούνται διαδοχικά σημεία στην οθόνη. SetOptions[Graphics, AspectRatio->1, Axes->Automatic, PlotRange->{{0,20},{-25,0}}] Το εύρος των x, y καθορίζεται από την PlotRange->{{x min,x max },{y min,y max }} Η επιλογή AspectRatio->1 ορίζει την ίδια κλίμακα και στους δύο άξονες (x, y). Η επιλογή Axes->Automatic σχεδιάζει αυτόματα τους δύο άξονες (x, y). Οι κινούμενες απεικονίσεις στηρίζονται στην εμφάνιση των διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι εντολές που θα χρησιμοποιήσουμε είναι οι Graphics, Point Οι κινούμενες απεικονίσεις στηρίζονται στην εμφάνιση των διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι εντολές που θα χρησιμοποιήσουμε είναι οι Graphics, Point: Διάφορες γενικές ρυθμίσεις των γραφικών ρυθμίζονται με την εντολή Set. Πρόβλημα 11 α : Βολές

4 H μελέτη των βολών συνήθως αναφέρεται σε σφαιρικά αντικείμενα που εκτελούν μια σύνθετη κίνηση αποτελούμενη από δύο συνιστώσες: μια οριζόντια κίνηση παράλληλη στην επιφάνεια της γης και μια κατακόρυφη κίνηση. Σύμφωνα με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων η κάθε κίνηση είναι ανεξάρτητη της άλλης και η θέση και η ταχύτητα του κινητού προκύπτουν για κάθε χρονική στιγμή από το διανυσματικό άθροισμα των αντίστοιχων συνιστωσών. Το σύστημα αναφοράς για τη μελέτη των βολών είναι ένα σύστημα συντεταγμένων x-y με διεύθυνση x παράλληλη στην επιφάνεια της γης και διεύθυνση y προς το κέντρο της γης. Αξονας x:Αξονας y: Πρόβλημα 11 α : Βολές

5 Ας θεωρήσουμε την απλή περίπτωση όπου ένα σώμα κινείται πάνω στον άξονα-x (παράλληλα στην επιφάνεια της γης) με ταχύτητα V x =10 m/sec και V y =0. Το κινητό ξενικά από την αρχή των αξόνων (x=0, y = 0). Κίνηση στον άξονα των x:Κίνηση στον άξονα των x: Η ταχύτητα V x είναι σταθερή αν δεν υπάρχει η αντίσταση του αέρα, οπότε α x =0. Κίνηση στον άξονα των y:Κίνηση στον άξονα των y: Η επιτάχυνση είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9.8 m/s 2 Πρόβλημα 11 α : Βολές

6 Clear[x,Vx, y, Vy]; ti=0;tf=2;Δt=1/10; x[ti]=0; Vx[ti]=10; y[ti]=0; Vy[ti]=0; g= -9.8; Do[Vx[t+Δt]=Vx[t]; x[t+Δt] = x[t] + Vx[t+Δt]*Δt; Vy[t+Δt] = Vy[t] + g*Δt; y[t+Δt] = y[t] + Vy[t+Δt]*Δt, {t,ti,tf,Δt}] Πρόγραμμα για τον υπολογισμό της κίνησης για ένα χρονικό διάστημα 2 sec: Κάθε φορά που εκτελείται η εντολή Do το πρόγραμμα υπολογίζει την νέα θέση του κινητού. Πρόβλημα 11 α : Βολές

7 data=Table[{x[t],y[t]},{t,ti,tf,Δt}]; ListPlot[data, AxesLabel  {"x","y"}, PlotStyle->PointSize[0.015]] Τα δεδομένα x[t] και y[t] για να γίνουν γραφική παράσταση πρώτα χρησιμοποιείται η εντολή Table (function) για να δημιουργηθεί μια λίστα δεδομένων και στη συνέχεια η εντολή ListPlot για να εμφανιστεί το γράφημα. Πρόβλημα 11 α : Βολές

8 Μπορείτε εύκολα να δημιουργήσετε μια ρεαλιστική απεικόνιση της βολής, αν είχατε διαδοχικά φωτογραφικά στιγμιότυπα της βολής SetOptions [Graphics, AspectRatio  1, Axes->Automatic, PlotRange  {{0,20},{-25,0}}]; Do[Show[Graphics[{PointSize[0.05], Point[{x[t],y[t]}]}]], {t, ti,tf,Δt}]; To πρόγραμμα αυτό δημιουργεί μια κινούμενη απεικόνιση της βολής καθώς προβάλλει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού χρησιμοποιώντας τις τιμές x[t], y[t] που υπολογίστηκαν προηγουμένως. Πρόβλημα 11 α : Βολές

9 1. Να εμφανίσετε το διάγραμμα x-y καθώς και την κινούμενη απεικόνιση για ελεύθερη πτώση με τις εξής παραμέτρους: 2.Να εμφανίσετε το διάγραμμα x-y καθώς και την κινούμενη απεικόνιση για πλάγια βολή με τις εξής παραμέτρους: Πρόβλημα 11 α : Βολές

10 Επειδή η Mathematica υπολογίζει τη συνάρτηση ArcSin σε ακτίνια πρέπει να πολλαπλασιάσετε με (180/π) για να βγει το αποτέλεσμα σε μοίρες. Για συνιστώσες αρχική ταχύτητας V x = 10 m/sec και V y = 15 m/sec υπολογίστε τη γωνία θ και την αρχική ταχύτητα V To πρόβλημα μπορεί να υπολογιστεί και αντίστροφα με δεδομένη την αρχική ταχύτητα και την γωνία θ Πρόβλημα 11 α : Βολές

11 Το πρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τροχιά του κινητού σε πλάγια βολή με δεδομένα εισόδου την αρχική ταχύτητα V και τη γωνία θ data = Table[{x[t],y[t]}, {t,ti,tf,Δt}]; ListPlot[data, AxesLabel->{"x","y"}, PlotStyle->PointSize[0.02]] Ενώ η τροχιά του κινητού εμφανίζεται με τις παρακάτω εντολές 3. Στην συγκεκριμένη βολή το σώμα δεν φθάνει στο έδαφος. Ρυθμίζοντας το t f από τις αρχικές παραμέτρους μπορείτε να κάνετε το σώμα να φθάνει στο έδαφος; Πρόβλημα 11 α : Βολές

12 4. Το βεληνεκές μιας πλάγιας βολής είναι η οριζόντια απόσταση που διανύει το κινητό μέχρι να ακουμπήσει το έδαφος. Δοκιμάζοντας διάφορες γωνίες από 10 ο ως 90 ο να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα υπολογίζοντας γραφικά το βεληνεκές και βάζοντας στο t f την κατάλληλη τιμή ώστε το σώμα να φθάνει κάθε φορά στο έδαφος. Σε ποιο διάστημα γωνιών βρίσκεται το μέγιστο βεληνεκές; θ10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o Βεληνεκές Πρόβλημα 11 α : Βολές

13 Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα Φυσικής με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 11 α : Βολές Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών

14 Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών G= Ν m 2 /kg 2 O νόμος της βαρύτητας ανακαλύφθηκε από τον Νεύτωνα και εφαρμόζεται σε όλα τα αντικείμενα που έχουν μάζα. Η δύναμη αυτή είναι ελκτική και βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο μαζών. Η περίπτωση m A >>m B είναι πιο απλή καθώς η κίνηση της μάζας m B έχει μικρή επίδραση στην κίνηση της μάζας m A. Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως η μάζα m A βρίσκεται στο κέντρο του συστήματος. Η m B είναι η μόνη μάζα που κινείται και βρίσκεται στη θέση (x, y) όπως φαίνεται στο σχήμα.

15 Επίσης η ταχύτητα της γης χρειάζεται σαν αρχική συνθήκη. Θεωρώντας την τροχιά της γης ως κυκλική με ακτίνα r = 1.5 x m μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: Στο πρόγραμμα αυτό οι αρχικές συνθήκες είναι: x[0]=1.0 m και y[0]=0.0 m, και αρχική ταχύτητα Vy[0]=0.7 m/sec και Vx[0]=0. Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών Ας κάνουμε ένα πρόγραμμα υπολογισμού της τροχιάς ενός πλανήτη Θεωρείστε τις παρακάτω τιμές για τα φυσικά μεγέθη: η σταθερά της παγκόσμιας έλξης: G = 6.67 x N m 2 /kg 2, η μάζα του ήλιου m A = 2.0 x kg, η μάζα της γης m B = 6.0 x kg. Ο χρόνος για μια πλήρη περιφορά της γης γύρω από τον ήλιο t f : 1 έτος = 365 μέρες = 3.1 x 107 sec και το χρονικό βήμα, t=t f /500. Επομένως ο πλανήτης αρχικά βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του άξονα x και κινείται προς τα πάνω.

16 Plot[Sin[1.00 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[1.25 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[1.50 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[1.75 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.00 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.25 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.50 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[2.75 x], {x,0,2π}] Plot[Sin[3.00 x], {x,0,2π}] Η παραπάνω εντολή ισοδυναμεί με την σειρά εντολών: Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών Η εντολή Do επαναλαμβάνει μια σειρά εντολών σύμφωνα με την τιμή μιας παραμέτρου (n) Από μέχρι με βήμα Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές, τις αντίστοιχες ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις. Η εντολή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η Do Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές, τις αντίστοιχες ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις. Η εντολή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η Do :

17 Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών Με τη βοήθεια της εντολής Do υπολογίστε τις παρακάτω ποσότητες Και τις εξής αρχικές συνθήκες Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε τις εξής σχέσεις :

18 Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών Αν θέλω η Do να επαναλάβει περισσότερες από μία εντολές Το n είναι η παράμετρος που παίρνει τιμές από 0 μέχρι 600 (θα υπολογίσω τις διάφορες παραμέτρους 600 φορές) ο χρόνος ανεβαίνει κάθε φορά κατά το 1/600 της περιόδου περιφοράς της γης.

19 data = Table[{x[n],y[n]}, {n,0,Steps}]; ListPlot[data, AxesLabel->{"x","y"},AspectRatio->1.0] Η τροχιά του πλανήτη εμφανίζεται με την παρακάτω σειρά εντολών : Va 1.Να υπολογίσετε με τη βοήθεια της εντολής Do τις παραστάσεις: V και a (όπως υπολογίσατε την r). V-ra-r 2.Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις V-r, a-r. 3.Να υπολογίσετε από το διάγραμμα τις μέγιστες τιμές ταχύτητας και επιτάχυνσης καθώς και σε ποιες θέσεις αυτές εμφανίζονται. Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών


Κατέβασμα ppt "Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματα Φυσικής με τη βοήθεια της Mathematica Πρόβλημα 11 α : Βολές Πρόβλημα 11 β : Κινήσεις Πλανητών."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google