ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι Έλληνες είναι οι δημιουργοί της τέχνης, της φιλοσοφίας και της επιστήμης, κα- θώς την εποχή εκείνη η επιστήμη και η φιλοσοφία δεν αποτελούσαν ξεχωριστά α- ντικείμενα όπως σήμερα. Πιο συγκεκριμένα, σύμφωνα με τον Burnet, η ορθολογική σκέψη γεννήθηκε τον 6ο αι. π.Χ. στις ελληνικές πόλεις της Μικράς Ασίας από Ίωνες φιλοσόφους. Στην Ελλάδα διαχωρίστηκε για πρώτη φορά ο λόγος από τον μύθο με αποτέλεσμα να διαχωρίζεται ο τρόπος σκέψης της Ασίας από αυτόν της Ευρώπης. Βλέπουμε από τη μια, την Ασία προσκολλημένη στους μύθους και αντίθετα την Ελ- λάδα να αμφισβητεί οτιδήποτε δεν μπορούσε να εξηγήσει με τη λογική. Η προσφορά των αρχαίων Ελλήνων στα μαθηματικά έχει ένα κοινωνικό χαρακτηριστικό. Στους παλιότερους πολιτισμούς, η μαθηματική γνώση είχε έναν αποκρυφιστικό χαρακτήρα, αποτελούσε προνόμιο διαφόρων << ιερέων>> και ήταν προσιτή μόνο στα υψηλοτέρα κλιμάκια του συστήματος της εξουσίας. Επιπλέον ήταν δογματική και εξ αποκαλύψεως . Οι μεγάλοι Έλληνες μαθηματικοί σε μεγάλη πλειονότητα ήταν αυτοί που εκδημοκράτισαν την γνώση με την εισαγωγή της απόδειξης. Τεκμήριο για την αλήθεια των ισχυρισμών δεν ήταν πλέον η επίκληση θεών και αυθεντιών αλλά η απόδειξη με βάση κανόνες της λογικής. Η γνώση έγινε προσιτή σε όσους επεδίωκαν να την αποκτήσουν και η γνώση αυτή ήταν έγκυρη μόνο εάν μπορούσε να κατοχυρωθεί με την διαδικασία της απόδειξης, ένα χαρακτηριστικό που συνοδεύει την επιστήμη μέχρι σήμερα. .

OI ΠΗΓΕΣ ΑΠΟ ΤΗΣ ΟΠΟΙΕΣ ΑΝΤΛΟΥΜΕ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Οι πηγές από τις οποίες αντλούμε πληροφορίες για τα ελληνικά μαθηματικά είναι από κείμενα τα οποία δεν είναι αυθεντικά φυσικά αντικείμενα αλλά αντίγραφα αυτών. Ας πούμε ένα παράδειγμα: Τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γραφτεί γύρω στο 300 π.χ. αλλά το αυθεντικό χειρόγραφο κείμενο του Ευκλείδη δεν διασώζεται. Το αρχαιότερο πλήρες αντίγραφο περιέχεται σε έναν χειρόγραφο περγαμηνό κώδικα που φυλάσσεται σήμερα στην βιβλιοθήκης της Οξφόρδης και χρονολογείται από το έτος 888. Βλέπουμε λοιπόν ότι το αρχαιότερο χειρόγραφο αντίγραφο που περιέχει το πλήρες κείμενο των στοιχείων του Ευκλείδη χρονολογείται στα τέλη του 9ου αιώνα μ.χ.

Οι μαθηματικές εργασίες των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών που διασώθηκαν Το σύνολο λοιπόν των μαθηματικών εργασιών που σώθηκαν είναι 58. Είναι άγνωστος όμως ο αριθμός των μαθηματικών εργασιών που χάθηκαν. Παρακάτω, γίνεται καταγραφή ορισμένων διασωζόμενων εργασιών. Συγκεκριμένα είναι : 1. Απολλώνιου : Κωνικά 2. Αριστάρχου : Περί μεγεθών και αποστημάτων Ηλίου-Σελήνης 3. Αρχιμήδους : α) Περί σφαίρας και κυλίνδρου β) Κύκλου μέτρησις γ) Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων δ) Ψαμμίτης 4. Διόφαντου : Αριθμητικά 5. Ευκλείδου : α) Στοιχεία β) Δεδομένα γ) Περί διαιρέσεων 6. Ήρωνος : α) Γεωμετρικά β) Μετρικά 7. Πάππου : Μαθηματική συναγωγή (το μισό 2ο βιβλίο και τα βιβλία από το 3ο ως το 8ο ) 8. Πρόκλου : Υπόμνημα εις το πρώτον των Ευκλείδου στοιχείων 9. Πτολεμαίου : Μαθηματική σύνταξις

Πρώτη περίοδος (η θεμελιωτική) Από τις αρχές του 6ου αιώνα μέχρι το 450 π.Χ. Τότε εμφανίζονται τα 4 μεγάλα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα, δηλαδή ο τετραγωνισμός του κύκλου, η τριχοτόμηση της γωνίας, ο διπλασιασμός του κύβου και η κατασκευή κανονικού πολυγώνου με 7 ή 9 πλευρές. Την ίδια περίοδο εμφανίζονται και τα ασύμμετρα μεγέθη. Οι πρώτοι ¨Έλληνες που ασχολήθηκαν θεωρητικά και όχι εμπειρικά με τα μαθηματικά ήταν ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (ιδρυτής της σχολής Πυθαγορείου), ο Θαλής ο Μιλήσιος (ιδρυτής της Ιωνικής σχολής), από τον οποίο τέθηκαν οι βάσεις της θεωρητικής γεωμετρίας, αφού εισήγαγε διάφορες γεωμετρικές έννοιες αλλά και την αποδεικτική αξία στα μαθηματικά. Γι αυτόν έχουν μιλήσει ο Πλούταρχος και ο Πρόκλος

Δεύτερη περίοδος (η ανάπτυξη και η κρίση) Από τα μέσα του 5ου π Δεύτερη περίοδος (η ανάπτυξη και η κρίση) Από τα μέσα του 5ου π.Χ αιώνα μέχρι το 386 π.Χ (όταν δηλαδή ιδρύθηκε η ακαδημία του Πλάτωνα) Με την ανάπτυξη των μαθηματικών εμφανίζεται και η κρίση της ασυμμετρίας. Κατά την περίοδο αυτή παρουσιάζονται οι έννοιες του απειροστού του απείρου και οι απαρχές του απειροστικού λογισμού και παράλληλα συνεχίζεται η έρευνα για τη μελέτη των ασύμμετρων μεγεθών. Γύρω στο 430 π.Χ διαπιστώνεται η ύπαρξη του αριθμού π (3,1415…) και παράλληλα αρχίζει η έρευνα για τη φύση του αριθμού αυτού. Η περίοδος αυτή ονομάστηκε ηρωική, διότι οι μαθηματικοί της περιόδου με ανεπαρκείς αποδειχτικές μεθόδους στη διάθεσή τους ‘ρίχτηκαν’ με μεγάλη ορμή στην επίλυση πολλών, βασικών και μη, γεωμετρικών προβλημάτων. Τρίτη περίοδος ( περίοδος σταθεροποιήσεως και υπερνικήσεως της κρίσεως, η περίοδος της μεγάλης ακμής) Από 386 π.Χ μέχρι τις αρχές του 2ου αιώνα π.Χ όπου αναπτύχθηκε το βασίλειο της Αλεξάνδρειας και έζησαν οι 3 σημαντικότερες μορφές των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, ο Ευκλείδης ,ο Αρχιμήδης και ο Απολλώνιος. Τα μαθηματικά έφτασαν στο απόγειό τους.

Τα τρία Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας 1 Το Δήλιο πρόβλημα 2 Η Τριχοτόμηση γωνία 3 Ο Τετραγωνισμός του κύκλου 1. Το Δήλιο πρόβλημα Το Δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ Ο Αριστοτέλης ( 384 - 322 π.χ. ) ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος. Μαζί με το δάσκαλό του Πλάτωνα αποτελεί σημαντική μορφή της φιλοσοφικής σκέψης του αρχαίου κόσμου, και η διδασκαλία του διαπερνούσε βαθύτατα τη δυτική φιλοσοφική και επιστημονική σκέψη μέχρι και την Επιστημονική Επανάσταση του 17ου αιώνα. Υπήρξε φυσιοδίφης, φιλόσοφος, δημιουργός της λογικής και ο σημαντικότερος από τους διαλεκτικούς της αρχαιότητας. Ο Πλάτωνας τον ονόμαζε "νουν της διατριβής" και το σπίτι του "οίκον αναγνώστου

ΑΡΧΙΜΉ∆ΗΣ Ο ΣΥΡΑΚΟΎΣΙΟΣ Έζησε το διάστηµα (287-212). Ήταν γόνος πλούσιας και σπουδαίας οικογένειας ,γιος του αστρονόµου Φειδία και συγγενής του Τυράννου των Συρακουσών. Ασχολήθηκε κυρίως µε την µελέτη όλων των προβληµάτων που εκκρεµούσαν από παλαιότερες µελέτες και ανακάλυψε νέες προτάσεις. Ταξίδεψε στην Αίγυπτο όπου σπούδασε στην Αλεξάνδρεια που ήταν τότε το πνευµατικό κέντρο της εποχής. ∆άσκαλοι του στη µαθηµατική επιστήµη ήταν διάδοχοι του Ευκλείδη. Ήταν εξέχουσα µαθηµατική φυσιογνωµία µε τεράστιο όγκο έργων , πρωτοπόρων και ποιοτικά κορυφαίων. Εξαιρετικός γεωµετρικός ερευνητής µαζί µε τον Ιπποκράτη και τον Εύδοξο. Οι εφευρέσεις του τον έκαναν διάσηµο και έφτασαν µέχρι εµάς. Ο Αρχιµήδης αφήνει ένα συγκεκριµένο µυστήριο να καλύπτει τον τρόπο µε τον οποίο κατέληγε στα αποτελέσµατα του. Σαν να είχε καλύψει σκοπίµως τα ίχνη των ερευνών του , σαν να ήταν απρόθυµος να αποκαλύψει το µυστικό της µεθόδου έρευνας του. Ή πρωτοτυπία και η αποτελεσµατικότητα όµως των µελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί µεγαλύτερος µαθηµατικός όλων των εποχών και των εθνών. Έτσι ο σοφός µας αποτελεί τον πατέρα της γεωµετρίας και πηγή έµπνευσης τωννεότερων µελετών. Ή πασίγνωστη ρηµατική φράση <<εύρηκα>> είχε λεχθεί όταν ανακάλυψε την Αρχή της Άνωσης και από τον ενθουσιασµό του έτρεχε στο δρόµο γυµνός επαναλαµβάνοντας συνεχώς αυτή τη φράση.

EΥΚΛΕΊ∆ΗΣ Γεννήθηκε περίπου το 325 πΧ και πέθανε το 265 πΧ. Το όνοµα του Ευκλείδη είναι συνώνυµο µε την γεωµετρία . Τα «στοιχεία» είναι ένα από τα πιο σηµαντικά έργα στην ιστορία των µαθηµατικών. Έχουν χρησιµοποιηθεί σαν βάση για την γεωµετρική εκπαίδευση όλης της ∆ύσης για τα τελευταία 2000 χρόνια. Αν και υπάρχουν αµφιβολίες λέγεται ότι µαθήτευε στην ακαδηµία του Πλάτωνα και έµενε εκεί µέχρις ότου ο Πτολεµαίος τον προσκάλεσε να διδάξει στο νέο του πανεπιστήµιο στην Αλεξάνδρεια . Εκεί ο Ευκλείδης ίδρυσε τη µαθητική σχολή του και έµεινε µέχρι το τέλος της ζωής του. Είχε τη φήµη ότι ήταν δίκαιος , υποµονετικός , έντιµος και ευγενικός . Παρόλα αυτά ήταν και σαρκαστικός. Μια ιστορία λέει ότι ένας από τους σπουδαστές του παραπονέθηκε ότι δεν είχε κανένα κέρδος από τα µαθηµατικά που µάθαινε. Τότε ο Ευκλείδης κάλεσε γρήγορα στο σκλάβο του για να δώσει στο αγόρι ένα νόµισµα επειδή "έπρεπε να κερδίσει από αυτά που µαθαίνει." Μια άλλη ιστορία λέει ότι ο Πτολεµαίος τον ρώτησε εάν υπάρχει κάποιος ευκολότερος τρόπος να µάθει γεωµετρία απ' ό,τι µε την εκµάθηση όλων των θεωρηµάτων. Ο Ευκλείδης απάντησε ότι «δεν υπάρχει βασιλικός δρόµος στη γεωµετρία» και έστειλε το βασιλιά στη µελέτη. Μερικά από τα βασικά έργα του εκτός από τα στοιχεία είναι τα «δεδοµένα», τα «τµήµατα των αριθµών», τα «φαινόµενα» και τα «οπτικά». Όλα είναι στα αρχαία Ελληνικά εκτός από τα «τµήµατα των αριθµών» που έχουν διατηρηθεί µόνο µέρη τους στα Αραβικά. Όλα έχουν την βασική δοµή των «στοιχείων» µε ορισµούς και αυστηρά αποδεδειγµένες προτάσεις.

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (580-490 π.Χ) Καταγόταν από την Σάµο όπου γεννήθηκε και πέθανε σε ηλικία 90 ετών στο Μεταπόντιο της νότιας Ιταλίας από βίαιο θάνατο. Ήταν µέγιστος Έλληνας µαθηµατικός επιστήµονας φιλόσοφος και ηγέτης , θεωρούµενος ως ο ιδρυτής της µαθηµατικής επιστήµης.Ήταν ιδρυτής του πρώτου συστηµατικού πανεπιστηµίου του κόσµου. Το πανεπιστήµιο αυτό , ήταν ένα πολιτικό-θρησκευτικό ίδρυµα µε πολιτικούς στόχους. Ο Ηρακλείδης από τον Πόντο,, αναφέρει πως ο Πυθαγόρας έλεγε πως κάποτε υπήρξε Αιθαλίδης και ήταν γιος του Ερµή. Ο Ερµής του ζήτησε να διαλέξει ό,τι ήθελε, εκτός από την αθανασία. Ζήτησε λοιπόν, όσο ζει, να θυµάται όσα του έχουν συµβεί. Έτσι µπορούσε να επαναφέρει στη µνήµη του τα πάντα από τις προηγούµενες ζωές του. Ο Πυθαγόρας είχε πολλούς και πιστούς µαθητές. Κάθε φορά που έµπαιναν στο σπίτι του τους έλεγε να λένε τα εξής. Που έσφαλα; τι έκανα; τι έπρεπε να κάνω και δεν έκανα; Οι µαθητές του επί πέντε χρόνια παρέµεναν σιωπηλοί και άκουγαν µόνο τις οµιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Μετά το τέλος αυτής της δοκιµασίας, οι µαθητές του, γίνονταν µέλη του σπιτιού του και είχαν δικαίωµα να τον βλέπουν. Ο Πυθαγόρας πέθανε, σύµφωνα µε το ∆ιογένη Λαέρτιο, καθώς προσπαθούσε να διαφύγει από την καταδίωξη Κροτωνιατών που φοβήθηκαν την εγκαθίδρυση τυραννίας λόγο της µεγάλης δύναµης που είχε αποκτήσει αυτός και οι µαθητές του στην πόλη.

ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ (624-546 π.Χ) Ο Θαλής γεννήθηκε το 624 π.Χ. στη Μίλητο και υπήρξε ιδρυτής της Iωνικής σχολής (σχολή της Μιλήτου). Ο Θαλής αγαπούσε τα ταξίδια και ταξίδεψε πολύ. Λένε πως κάποτε υπολόγισε το ύψος µίας πυραµίδας στην Αίγυπτο µετρώντας τον ίσκιο της τη στιγµή ακριβώς που ο δικός του ίσκιος ήταν ίσος µε το πραγµατικό του ύψος. Οι σοφοί του 6ου αιώνα (λ.χ. ο Σόλων) ήταν καθιερωµένο να ταξιδεύουν στην Αίγυπτο και να µελετούν τον τρόπο ζωής και τις επιστήµες (γεωµετρία) των Αιγυπτίων. Ο Θαλής ήταν ένας απ' τους επτά σοφούς της αρχαιότητας και θεωρείται πατέρας της Ελληνικής φιλοσοφίας διότι πρώτος έθεσε το πρόβληµα µίας γενικής αρχής όλων των πραγµάτων. Ο Θαλής πέθανε σε προχωρηµένη ηλικία παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες εξαιτίας της ζέστης, της δίψας και της εξάντλησης. Στον τάφο του χαράκτηκε το εξής επίγραµµα : Αυτός ο µικρός τάφος, είναι του Θαλή του εξαίρετου, που η δόξα έφτανε ως τα ουράνια

Υπατία Η Υπατία γεννήθηκε στην Αλεξάνδρεια το 370 µ.Χ. και πέθανε στην ίδια πόλη το 415.Ηταν η πρώτη γυναίκα που είχε µια ουσιαστική συµβολή στην ανάπτυξη των µαθηµατικών. Ακόµη ήταν κόρη του µαθηµατικού και φιλόσοφου θέωνα της Αλεξάνδρειας και είναι αρκετά σίγουρο ότι µελέτησε τα µαθηµατικά κάτω από τη καθοδήγηση και την εκπαίδευση του πατέρα της. Είναι µάλλον αξιοπρόσεκτο ότι η Υπατία έγινε επικεφαλής της σχολής των Πλατωνιστών στην Αλεξάνδρεια περίπου το 400 µ.Χ. Εκεί δίδαξε µαθηµατικά και φιλοσοφία, ειδικότερα ασχολήθηκε µε την διδασκαλία της φιλοσοφίας των Νεοπλατωνιστών.

Θεανώ (6ος π.Χ. αιώνας) Η Θεανώ από τον Κρότωνα, κόρη του γιατρού Βροντίνου, ήταν µαθήτρια και ένθερµη οπαδός του Πυθαγόρα. Παντρεύτηκε στην Σάµο τον µεγάλο Μύστη µε τον οποίο είχε 36 χρόνια διαφορά ηλικίας. ∆ίδαξε στις πυθαγόρειες σχολές της Σάµου και του Κρότωνος. Η Θεανώ θεωρείται η ψυχή της θεωρίας των αριθµών, που έπαιξαν κυριαρχικό και καίριο ρόλο στην πυθαγόρεια διδασκαλεία. Στην ίδια αποδίδεται η πυθαγόρεια άποψη της “Χρυσής Τοµής”. Της αποδίδονται ακόµα διάφορες κοσµολογικές θεωρίες. Μετά τον θάνατο του Πυθαγόρα ή Θεανώ τον διαδέχθηκε ως επικεφαλής της διασκορπισµένης πλέον κοινότητας

ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η ενασχόληση μας με την παραπάνω εργασία ήταν πολύ ευχάριστη και πλούτισε τις γνώσεις μας. Κατανοήσαμε την τεραστία συμβολή των αρχαίων ελλήνων στα μαθηματικά. Η αλήθεια είναι ότι αισθανόμαστε περηφάνια για τους αρχαίους πρόγονους μας αλλά προβληματισμό για το μέλλον μας.

Υπεύθυνος καθηγητής : Τσαγκούλης Ιωάννης ΟΜΑΔΑ 1 ΟΜΑΔΑ 2 Μόσχου Εμμανουέλα Μπρέγκου Χεκουράν Δάλλας Χρήστος Άλκια Καμέρ Πιλίντσι Χανς Ιμπραϊμλάρι Κλεβίς Τζιάντζιος Ευθύμιος Μέτα Γιετμίρ Παναγιώτου Αντωνία Χονδροδήμου Κων/να