Αρχές επαγωγικής στατιστικής Τμήμα :Νοσηλευτικής Πατρών Διδάσκουσα: Παναγιώταρου Αλίκη Διάλεξη 7

Τι είναι η επαγωγική στατιστική; Ασχολείται με τους μεθόδους που γενικέυουν τα συμπεράσματα μια δειγματοληπτικής έρευνας στον πληθυσμό Μας βοηθά στην λήψη σωστών συμπερασμάτων σε συνθήκες αβεβαιότητας Εργαλεία: Η διαδικασία της εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων Ο έλεγχος της ισχύος ορισμένων υποθέσεων Εξέταση ενός δείγματος που προέρχεται από πληθυσμό αν ακολουθεί συγκεκριμένη κατανομή Χρήση κατάλληλου στατιστικού εργαλείου

Δειγματοληπτική κατανομή Έστω πολλά επαναλαμβανόμενα τυχαία δείγματα ενός πλήθυσμου Χρειαζόμαστε ακρίβεια της μέσης τιμής με την βοήθεια του τυπικού σφάλματος γιατί διαφορετικό δείγμα δίνει διαφορετική μέση τιμή κάθε φορά εξαιτίας της δειγματοληπτικής διακύμανσης

Πως γίνεται; Συλλέγουμε πολλά ανεξάρτητα δείγματα και υπολογίζουμε την μέση τιμή του καθενός Κάθε δείγμα έχει τα δικά του χαρακτηριστικά τα οποία διαφέρουν από τα χαρακτηριστικά του πληθυσμού. ο υπολογισμός παραμέτρων του πληθυσμού που θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε δεν θα είναι ακριβής, θα περιέχει ένα ποσοστό λάθος.

Πως γίνεται; Κατασκευάζουμε την κατανομή των μέσων τιμών οι οποίες οι περισσότερες ακολουθούν την κανονική κατανομή η μέση τιμή της κατανομής είναι η μέση κατανομή του πληθυσμού και η τυπική απόκλιση της είναι το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής Έτσι χρησιμοποιώντας κάθε φορά το κατάλληλο στατιστικό κριτήριο υπολογίζουμε με ακρίβεια την πιθανότητα σφάλματος

Τυπικό σφάλμα(standard error) Η μεταβλητότητα της μέσης τιμής ορίζεται: όπου s η μεταβλητότητα τιμών Όπου όταν το είναι αρκετά μικρό τότε η μέτρηση είναι ακριβής Όπου όταν το είναι μεγάλο τότε η μέτρηση είναι ανακριβής Αυτή η τιμή μετρά πόσο καλά η μέση τιμή του πληθυσμού εκτιμάται από την μέση τιμή του δείγματος

Πιθανότητα σφάλματος Πιθανότητα 68,26% ± 1 ΤΑ από μ. Πιθανότητα 68,26% ± 1 ΤΑ από μ. Πιθανότητα 95% ± 1,96 ΤΑ από μ. Πιθανότητα 99% ± 2,58 ΤΑ από μ. Πιθανότητα 99,73% ± 3 ΤΑ από μ.

Κανονική κατανομή Το ιστόγραμμα περιγράφει την κατανομή μιας μεταβλητής Μια μορφή της κατανομής είναι η κανονική κατανομή Είναι η κατανομή όπου οι περισσότερες μεταβλητές την ακολουθούν Ακόμα και αν δεν την ακολουθεί κάποια μεταβλητή η μέση τιμή της θα την ακολουθεί και η τυπική της απόκλιση θα είναι το τυπικό της σφάλμα

Παράδειγμα Οι τιμές FT4 απο 8 υγιείς ενήλικες είναι: 2,71 2,82 2,78, 3,01 3,12 3,07 2,12 2,13 Μέση τιμή: Τυπική απόκλιση: Τυπικό σφάλμα: Αν το μέγεθος του δείγματος προσεγγίζει το μέγεθος του πληθυσμού τότε το τυπικό σφάλμα τείνει στο μηδέν.

Καμπύλη της δειγματοληπτικής κανονικής κατανομής 99.7% 95% 68% μ ± 1σ/√n μ ± 2σ /√n μ ± 3σ /√n

Διαστήματα εμπιστοσύνης (1) Στην κανονική κατανομή στο διάστημα βρίσκεται το 68% των παρατηρήσεων περιλαμβάνει το 95% των παρατηρήσεων

Διαστήματα εμπιστοσύνης (2) Οπότε το 95% των δειγματικών μέσων τιμών βρίσκεται στο διάστημα από Στην πράξη όμως η μ και το s.e εκτιμούνται από το ίδιο δείγμα οπότε και Οπότε οι πιθανές τιμές της μέσης τιμής του πληθυσμού είναι οι

Παράδειγμα Οι τιμές FT4 απο 8 υγιείς ενήλικες είναι: 2,71 2,82 2,78, 3,01 3,12 3,07 2,12 2,13 Μέση τιμή: Τυπική απόκλιση: Τυπικό σφάλμα: και το διάστημα εμπιστοσύνης είναι:

Παράδειγμα Ενας στατιστικός πληθυσμός αποτελείται από τις τιμές της αιμοσφαιρίνης στο αίμα οκτώ ατόμων. Εστω Χ τυχαία μεταβλητή που αντιστοιχεί στα επίπεδα αιμοσφαιρίνης κάθε ατόμου και Ν=8 το μέγεθος του πληθυσμού. Το ζητούμενο είναι η κατασκευή της δειγματικής κατανομής του αριθμητικού μέσου που αντιστοιχεί σε δείγματα n=2, ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών της και η σχέση τους με τις τιμές των αντίστοιχων παραμέτρων του πληθυσμού.

Λύση(1) Άτ 1ος 2ος 3ος 4ος 5ος 6ος 7ος 8ος Ε.Α 7 1 2 3 4 5 6 8 Οι τιμές των παραμέτρων μ, και σ2 που αντιστοιχούν στη μέση τιμή και την διασπορά του πληθυσμού είναι: Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε την δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου, δηλαδή της στατιστικής που αντιστοιχεί στην παράμετρο μ, με βάση όλων των δυνατών δειγμάτων μεγέθους n=2 που μπορούμε να πάρουμε από τον πληθυσμό

Λύση(2) Ακολουθούμε την μέθοδο δειγματοληψίας με επανάθεση, τότε ο αριθμός των διαφορετικών δειγμάτων που μπορούμε να επιλέξουμε από τον πληθυσμό είναι 82 =64. Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο σε καθένα από τα δείγματα αυτά Πληθυσμός 1 2 3 4 5 6 7 8 Χ {7,7} {7,1} {7,2] 4,5 5,5 6,5 7,5 {1,7} 1,5 2,5 3,5

Κατανομή συχνοτήτων και δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου Μέση τιμή τυχαίας μεταβλητής Συχνότητα(fi) Πιθανότητα(pi) 1 1/64 1,5 2 2/64 3 3/64 2,5 4 4/64 5 5/64 3,5 6 6/64 7 7/64 4,5 8 8/64 5,5 6,5 7,5 Σύνολο Ν=64 1=64/64

Λύση(3) Υπολογίζουμε την μέση τιμή και την διασπορά της δειγματικής κατανομής του Εστω η αναμενόμενη μέση τιμή της στατιστικής . Τότε:

Συμπερασματικά: Η μέση τιμή (μ) του πληθυσμού ισούται με την αναμενόμενη μέση τιμή της δειγματικής κατανομής του . Η αναμενόμενη διασπορά και τυπική απόκλιση της δειγματικής κατανομής του ισούται με

Ερευνητικά ζητήματα Συνήθως ο στόχος σε ερευνητικές εργασίες είναι να συγκρίνουμε ανεξάρτητες μεταβλητές(μία ή περισσότερες) π.χ. σύγκριση 2 θεραπειών Οπότε πραγματοποιούμε κλινικές μελέτες Για να το πετύχουμε αυτό θα πρέπει να ελέγξουμε υποθέσεις

Έλεγχοι υπόθεσεις Η διαδικασία ελέγχου στατιστικής υπόθεσης θεωρείται το πρώτο βήμα για την σωστή λήψη αποφάσεων Κάθε στατιστική απόφαση συνδέεται με μια πιθανότητα που αντιστοιχεί στο ενδεχόμενο να έχουμε αποδεχτεί ως αληθινή μια λανθασμένη στατιστική υπόθεση ή να έχουμε απορρίψει μια αληθινή. Εκφράζει δηλαδή το πιθανό σφάλμα που μπορεί να κάνει παίρνοντας μια στατιστική απόφαση

Έλεγχοι υπόθεσεις Υπάρχουν δύο είδη στατιστικών υποθέσεων: Η μηδενική υπόθεση Ho. Είναι η υπόθεση που ελέγχουμε. Αν κατά την διαδικασία διαπιστώσουμε ότι η πρόταση που περιέχεται στην μηδενική υπόθεση πρέπει να απορριφθεί τότε δεχόμαστε ως αληθινή την συμπληρωματική πρόταση . Η εναλλακτική υπόθεση Η1

Παράδειγμα Θέλουμε να συγκρίνουμε 2 φάρμακα και η απόδοσή τους μετράται με τις μέσες τιμές μ1 και μ2 (1=νέο φάρμακο, 2=παλαιό φάρμακο). Η0: μ1=μ2 → μ1-μ2 =0, Η1: μ1-μ2 ≠0 ή Η0: μ1-μ2 ≤0, Η1: μ1-μ2 >0

Για να εξετάσουμε την λειτουργία της κατανομής διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν ο πληθυσμός όπου παίρνουμε τα δείγματα ακολουθεί την κανονική κατανομή Αν η τιμή της διασποράς του πληθυσμού είναι γνωστή.

Και έτσι η ποσότητα όπου n τυχαία δείγματα του πληθυσμού (1)Η δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου όταν ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει γνωστή διασπορά(z κατανομή) Εστω Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και πεπερασμένη διασπορά σ2 Τότε η δειγματική κατανομή του ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ2/n Και έτσι η ποσότητα όπου n τυχαία δείγματα του πληθυσμού Ετσι οι τιμές του αριθμητικού μέσου που προέρχεται από κανονικό πληθυσμό με γνωστές τις τιμές των παραμέτρων μπορούν να ερμηνευτούν με βάση την έννοια της πιθανότητας

Παράδειγμα Εστω η διάρκεια μιας νόσου σε παιδιά ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 15 ημέρες και τυπική απόκλιση 4.Απο τον πληθυσμό επιλέγουμε τυχαία ένα δείγμα μεγέθους n=20.Ζητάμε την πιθανότητα, η μέση διάρκεια της νόσου του δείγματος να είναι μεγαλύτερη των 17 ημερών.

Κατανομή κανονικού πληθυσμού, δειγματικής κατανομής αριθμητικού μέσου και τυποποιημένης κανονικής κατανομής

Έχουμε ότι Ζητάμε την πιθανότητα

Κεντρικό οριακό θεώρημα Θεωρούμε έναν πληθυσμό που αντιστοιχεί στις τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ, με μέση τιμή μ και πεπερασμένη διασπορά σ2. Από τον πληθυσμό επιλέγουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n και έστω η τυχαία μεταβλητή των αριθμητικών μέσων των δειγμάτων. Τότε η δειγματική κατανομή του τείνει προς την κανονική κατανομή με μέση τιμή καθώς το μεγεθός του n αυξάνεται. Στην οριακή περίπτωση έχουμε:

Η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής αυτής είναι: Η δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου όταν ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει άγνωστη διασπορά(η t κατανομή) Η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής αυτής είναι: βαθμούς ελευθερίας Το S αντιστοιχεί στην τιμή της τυπικής απόκλισης δείγματος Εξαρτάται από τους βαθμούς ελευθερίας δηλαδή από το μέγεθος του δείγματος

Παράδειγμα Εστω ότι οι τιμές του δείκτη της ανθρώπινης νοημοσύνης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 110 μονάδες νοημοσύνης. 96 125 105 130 92 76 85 124 128 95 101 100 112 115 130 88 Ζητάμε την πιθανότητα η μέση τιμή του δείκτη νοημοσύνης στο δείγμα να διαφέρει το πολύ 10 μονάδες από την μέση τιμή του πληθυσμού

Λύση(1) Χ , μ μέση τιμή του πληθυσμού και την μέση τιμή στο δείγμα των n=16 ατόμων Η μεταβλητή Χ ακολουθεί κανονική κατανομή η οποία έχει μέση τιμή μ=110 και άγνωστη διασπορά Η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

Λύση(2) Το δείγμα ακολουθεί την t-κατανομή με ν=n-1=16-1=15 βαθμούς ελευθερίας Υπολογίζουμε την τιμή S : Αρα η στατιστική

Λύση (3) Οπότε η πιθανότητα είναι μετατρέποντας τις τιμές σε τιμές t-κατανομής: Από τον πίνακα της t-κατανομής υπολογίζεται η ζητούμενη πιθανότητα που είναι :

Σύγκριση μέσων όρων z-κατανομή(όταν ξέρω την τυπική απόκλιση του πληθυσμού) H κάθε κανονική κατανομή ανάγεται στην τυπική κανονική κατανομή με την μετατροπή: t-κατανομή( όταν δεν ξέρω την τυπική απόκλιση του πληθυσμού) H t κατανομή μοιάζει με την κανονική και το σχήμα της από τους β.ε.(το μέγεθος του δείγματος):

Παράδειγμα(1) Θέλουμε να εξετάσουμε την κατανομή του ύψους των ανδρών με ύψος 159 έως 184 που περιγράφεται από την κανονική κατανομή με μ=171,5 και σ=6,5 . Λύση: Μετατρέπω τις τιμές σε z τιμές z=(159-171.5)/6.5=-1.96 και z=(184-171.5)/6.5=1.96 Δηλαδή το 95% του πληθυσμού έχει ύψος μεταξύ: 171.5-1.96*6.5=159 και 171.5+1.96*6.5=184.

Παράδειγμα(2) Η μέση τιμή του πραγματικού χρόνου ανακούφισης ενός συγκεκριμένου φαρμάκου δίνεται ότι είναι 2,5 ώρες. Σε ένα δείγμα η διάρκεια ανακούφισης 6 ασθενών μετά την χορήγηση φαρμάκου είναι: 2.2, 2.4, 4.9, 2.5, 3.7, 4.3 Άρα η Οπότε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο χρόνο ανακούφισης ασθενών είναι (3.3-2.57*0.46, 3.3+2.57*0.46) ή (2.1, 4.5hrs) Ή υπάρχει 95% πιθανότητα η μέση τιμή του πραγματικού χρόνου ανακούφισης να βρίσκεται στο διάστημα αυτό.

H δειγματική κατανομή της διασποράς-Η x2 κατανομή Ο πληθυσμός που επιλέγουμε τα δείγματα ακολουθεί την κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι η διασπορά που τους αντιστοιχεί είναι η Οπότε η δειγματική κατανομή της τ.μ. S2 μελετάται μέσω της δειγματικής κατανομής μιας άλλης τ.μ. με x2 και ορίζεται:

Παράδειγμα Εστω οι τιμές IQ μικρών παιδιών ηλικίας 5-10 ετών μιας χώρας ακολουθούν την κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=7 μονάδες IQ.Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα 41 παιδιών. Θέλω να υπολογίσω την πιθανότητα: «οι τιμές του IQ στο δείγμα να έχουν τυπική απόκλιση μεγαλύτερη από οκτώ μονάδες IQ.»

Λύση Εστω SIQ η τυπική απόκλιση των τιμών του δείγματος Ζητάω την πιθανότητα P(SIQ>8) Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα μπορεί να προσδιοριστεί : Από τον πίνακα βρίσκουμε