ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΑΠ Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές, υπολογίζετε ισόποσες δόσεις για αποπληρωμή δανείου, υπολογίζετε αρχική αξία και καθαρά παρούσα αξία επιλέγετε την οικονομικά προσφορότερη μεταξύ δύο επιλογών.

Γνωρίζουμε ήδη ότι για να υπολογίσουμε τη μελλοντική αξία (S) ενός αρχικού κεφαλαίου (P), το οποίο επενδύεται για t χρονικές περιόδους με επιτόκιο r μπορεί να υπολογιστεί αν ο ανατοκισμός γίνεται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου από τον τύπο: 𝑆=𝑃 1+ 𝑟 100 𝑡 ή αν ο ανατοκισμός είναι συνεχής από τον τύπο 𝑆=𝑃 𝑒 𝑟𝑡 100 Σε περίπτωση συνεχούς ανατοκισμού το t μετράται σε έτη. Επομένως αν γνωρίζουμε τις 3 από τις 4 μεταβλητές μπορούμε να υπολογίσουμε την τέταρτη. Από τους παραπάνω τύπους προκύπτει ότι το αρχικό κεφάλαιο δεδομένων των άλλων μεταβλητών θα είναι: 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 𝑃=𝑆 𝑒 − 𝑟𝑡 100

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Να βρεθεί η αρχική αξία ποσού που θα είναι 1000€ σε 4 έτη με επιτόκιο 10% και ανατοκισμό (α) εξαμηνιαίο και (β) συνεχή Επίλυση (α) 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 =1000 1+ 5 100 −8 =1000 1.05 −8 =676.84 (β) 𝑃=𝑆 𝑒 − 𝑟𝑡 100 =1000 𝑒 −10𝛸4 100 =670.32

Σε όλα τα επενδυτικά έργα είναι χρήσιμο να μπορούμε να την παρούσα αξία η οποία θα δημιουργήσει κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες δεδομένη μελλοντική αξία. Για την αξιολόγηση της επένδυσης υπολογίζουμε τη διαφορά της παρούσας αξίας των εσόδων μείον την παρούσα αξία του κόστους. Η ποσότητα αυτή είναι γνωστή ως καθαρά παρούσα αξία (net present value –NPV)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Για ένα έργο απαιτείται αρχικό κεφάλαιο 15000€ και η προσδοκώμενη συνολική είσπραξη είναι 20000€ μετά από 3 έτη, με τη βοήθεια της ΚΠΑ να αποφασιστεί αν αξίζει να ασχοληθούμε με το έργο αν γνωρίζουμε ότι το επιτόκιο στην αγορά είναι 5%. Επίλυση (α) Το ποσό των 20000€ σε 3 έτη με επιτόκιο 5% θα προέλθει από αρχικό κεφάλαιο που δίνεται από τον τύπο: 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 =20000 1+ 5 100 −3 =20000 1.05 −3 =17276.8 Επομένως ΚΠΑ = 17276.8 – 15000 = 2276.8€ και ή σύσταση είναι να ασχοληθούμε με το έργο.

ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΑΠ Μαθηματικά χρηματοδότησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: χρησιμοποιείτε γεωμετρικές σειρές, υπολογίζετε ισόποσες δόσεις για αποπληρωμή δανείου, υπολογίζετε αρχική αξία και καθαρά παρούσα αξία επιλέγετε την οικονομικά προσφορότερη μεταξύ δύο επιλογών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει η δυνατότητα να αναλάβουμε ένα εκ των δύο έργων. Το έργο Α απαιτεί αρχικό κεφάλαιο 1000€ και αποφέρει έσοδα 1200€ σε 4 έτη. Το έργο Β απαιτεί αρχικό κεφάλαιο 30000€ και αποφέρει έσοδα 35000€ σε 4 έτη. Αν το επιτόκιο της αγοράς είναι 3% με ετήσιο ανατοκισμό ποιο έργο είναι οικονομικά προσφορότερο; Επίλυση Θα συγκρίνουμε αρχικά τα δύο έργα με την ΚΠΑ τους. Για το έργο Α είναι 𝑃 𝛢 = 𝑆 𝛢 1+ 𝑟 100 −𝑡 =1200 1+ 3 100 −4 =1200 1.03 −4 =1066.18 Επομένως ΚΠΑΑ =1066.18- 1000 = 66.18€

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Για το έργο Β είναι: 𝑃 𝛣 = 𝑆 𝛣 1+ 𝑟 100 −𝑡 =35000 1+ 3 100 −4 =35000 1.03 −4 =31097.05   Επομένως ΚΠΑΒ =31097.05- 30000 = 1097 .05 € Και τα δύο είναι βιώσιμα έργα, οικονομικά όμως συμφέρει να ασχοληθούμε με το Β.