Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης. Στατικές ( Στάσιμες ) Διαδικασίες  Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης. Στατικές ( Στάσιμες ) Διαδικασίες  Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης

2 Στατικές ( Στάσιμες ) Διαδικασίες  Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου.  Ποιές στατιστικές ιδιότητες ;  Υπάρχουν διαφορετικοί ορισμοί στατικότητας, ανάλογα με τις στατιστικές ιδιότητες που παραμένουν χρονικά αμετάβλητες :  Αυστηρά στατικές διαδικασίες (Strict Sense Stationarity - SSS)  Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες (Wide Sense Stationarity – WSS)

3 Αυστηρά Στατικές Διαδικασίες  Ορισμός : Μια στοχαστική διαδικασία είναι αυστηρά στατική εάν, για κάθε k, t 1, t 2, …, t k, και για κάθε χρονική καθυστέρηση τ ισχύει η εξής ιδιότητα για τη συνάρτηση κατανομής :  Σε περίπτωση που η ανωτέρω ιδιότητα δεν ισχύει για όλα τα κ, αλλά για κ  ν, λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία είναι στατική ν - οστής τάξης.

4 Περιπτώσεις SSS διαδικασιών  SSS 1 ης τάξης :  Δεν εξαρτάται από το t 1  SSS 2 ης τάξης :  SSS ν ης τάξης :  Αν μια διαδικασία είναι SSS ν - ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,…, ν -1

5 Ιδιότητες SSS διαδικασιών  Αν μια διαδικασία είναι SSS ν - ής τάξης τότε είναι και SSS όλων των προηγούμενων τάξεων 1,2,…, ν -1  Παράδειγμα : Έστω X(t) SSS 2 ης τάξης.  Τότε :  Συνεπώς :  Άρα είναι και 1 ης τάξης

6 Ιδιότητες SSS διαδικασιών  Τι ιδιότητα έχει η μέση τιμή ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 1 ης τάξης ;   Οπότε  Δηλαδή η μέση τιμή είναι σταθερή :

7 Ιδιότητες SSS διαδικασιών  Τι ιδιότητα έχει η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός τυχαίου σήματος που είναι στατικό 2 ης τάξης ;   Δηλαδή :

8 Στατικές υπό την ευρεία έννοια διαδικασίες  Μια διαδικασία είναι στατική υπό την ευρεία έννοια (WSS) εάν για τη μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύουν :  Συνεχούς χρόνου :  Διακριτού χρόνου :

9 Παράδειγμα (1)  X(n) I.I.D. διαδικασία :  Από τον ορισμό :  και  Οπότε θα είναι SSS.

10 Παράδειγμα (2)  On-Off signalling: X(t)=cos(ωt) στο [0, Τ ] με πιθανότητα p και X(t)=0, με πιθανότητα 1-p.  Η μέση τιμή :  Άρα δεν είναι στατικό 1 ης τάξης.

11 Παράδειγμα : Διαμόρφωση εύρους (1)  Εστω X(t) WSS Τ. Σ. πληροφορίας. Δίδεται η Τ. Μ. Θ, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Το διαμορφωμένο ΑΜ Τ. Σ. ορίζεται ως : Y(t) = X(t) cos(ω 0 t + Θ). Ενώ η Θ και το σήμα X(t) είναι μεταξύ τους στατιστικά ανεξάρτητα. Είναι το Y(t) WSS ;  Μέση τιμή :  Και  Δηλαδή :

12 Παράδειγμα : Διαμόρφωση εύρους (2)  Αυτοσυσχέτιση :  Και ………

13 Παράδειγμα : Διαμόρφωση εύρους (3)  Αυτοσυσχέτιση :  Και

14 Παράδειγμα : Διαμόρφωση εύρους (4)  Αυτοσυσχέτιση :  Δηλαδή :  Συνεπώς θα είναι WSS  Αν το φέρον ήταν cos(ω 0 t) τότε το Y(t)=X(t) cos(ω 0 t) δεν είναι WSS.

15 Παράδειγμα : Ασυσχέτιστες Τ. Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (1)  A i και B i, i=1, 2, …, n είναι ένα σύνολο από 2n τυχαίες μεταβλητές που είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες και ακολουθούν από κοινού κανονική κατανομή με Ε{A i } = Ε{B i } = 0 και Ε{A i 2 } = Ε{B i 2 } = σ 2.  Δίδεται το σήμα :  Δείξτε οτι το X(t) είναι μια SSS κανονική διαδικασία.  Μέση Τιμή :

16 Παράδειγμα : Ασυσχέτιστες Τ. Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (2)  Αυτοσυσχέτιση :  ή

17 Παράδειγμα : Ασυσχέτιστες Τ. Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (3)  Αυτοσυσχέτιση :  Όπου :

18 Παράδειγμα : Ασυσχέτιστες Τ. Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (4)  Αυτοσυσχέτιση :  Συνεπώς X(t) είναι WSS

19 Παράδειγμα : Ασυσχέτιστες Τ. Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (5)  Για δύο χρονικές στιγμές t 1, t 2 :  Σε μορφή πίνακα : , F ακολουθούν κανονικές κατανομές  Είναι το X(t) εκτός από WSS και SSS;

20 Παράδειγμα : Ασυσχέτιστες Τ. Μ. με από κοινού κανονική κατανομή (6)  Για k χρονικές στιγμές :  όπου :  και  Άρα θα είναι και SSS

21 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για WSS διαδικασίες  Ορισμός :

22 Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (1) 1. Για τ=0 αντιπροσωπεύει τη μέση ισχύ του Τ.Σ.: 2. Είναι άρτια:

23 Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (2) 3. Είναι φραγμένη από την τιμή R X (0) : | R X (τ)|≤ R X (0), όπου R X (0)=Ε{X 2 (t)}≥0.  Απόδειξη:  Άρα:

24 Ιδιότητες Συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (3) 4. Εαν το Τ.Σ. X(t) έχει μια περιοδική συνιστώσα, τότε και η R x (τ) θα περιέχει μια περιοδική συνιστώσα. 5. Εάν lim R Χ (τ) = C, τότε C = μ Χ Εαν R Χ (T 0 ) = R Χ (0) για κάποιο T 0 ≠0, τότε η R Χ (τ) θα είναι περιοδική με περίοδο Τ0. Αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την ανισότητα:


Κατέβασμα ppt "Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης. Στατικές ( Στάσιμες ) Διαδικασίες  Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google