Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •covariance («συνδιασπορά») και συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) •αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •βασικά.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •covariance («συνδιασπορά») και συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) •αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •βασικά."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •covariance («συνδιασπορά») και συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) •αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •βασικά παραδείγματα

2 Covariance («συνδιασπορά») •παράδειγμα: •έχουμε μετρήσει τη διάμετρο Δ i και το ύψος Υ i για Ν δέντρα, δηλ. έχουμε Ν ζεύγη μετρήσεων (Δ i,Υ i ), i = 1,2,3, …, N •ερώτηση: υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ Δ i και Υ i, π.χ. «όσο πιο μεγάλο είναι Δ i, τόσο πιο μεγάλο είναι Υ i » ? •πρώτος τρόπος απάντησης: γραφική παράσταση ΔiΔi ΔiΔi ΥiΥi ΥiΥi περίπτωση 1: περίπτωση 2: υπάρχει σχέση, Υ i ανάλογο του Δ i σχέση ?

3 •ποσοτικός προσδιορισμός της σχέσης μεταξύ Δ και Υ: covariance («συνδιασπορά») •ερμηνεία: - Cov(Δ,Υ) > 0: αν Δ μεγάλο (μεγαλύτερο από μ Δ ) τότε και Υ μεγάλο (μεγαλύτερο από μ Υ ), αν Δ μικρό τότε και Υ μικρό - Cov(Δ,Υ) < 0: αν Δ μικρό (μικρότερο από μ Δ ) τότε Υ μεγάλο (μεγαλύτερο από μ Υ ), αν Δ μεγάλο τότε Υ μικρό - Cov(Δ,Υ) = 0: Υ μικρό ή μεγάλο, ανεξάρτητα από το αν Δ είναι μικρό ή μεγάλο •η τιμή της Cov εξαρτάται από τις τιμές (και μονάδες) των Δ και Υ, κάτι το οποίο δυσκολεύει την ερμηνεία της Cov: για ποιές τιμές της Cov μπορούμε να πούμε ότι η σχέση μεταξύ Δ και Υ είναι ισχυρή ή ασθενής ? όπου και (μέσος όρος των Δ i ) (μέσος όρος των Y i )

4 ο συντελεστής συσχέτισης r (correlation coefficient) •ή (οι παράγοντες 1/(Ν-1) φεύγουν) ) τώρα -1 · r · 1 όπου και (η διασπορά των Δ i ) (η διασπορά των Y i )

5 •ο συντελεστής συσχέτισης δίνει και το βαθμό της συσχέτισης: •r = 1 ή r = -1: μέγιστη συσχέτιση •r > 0: θετική συσχέτιση (αν Δ μεγάλο τότε και Υ μεγάλο, αν Δ μικρό τοτε και Υ μικρό), τόσο πιο ισχυρή συσχέτιση όσο πιο κοντά είναι το r στο 1 •r < 0: αρνητική συσχέτιση, «αντι-συσχέτιση» (αν Δ μεγάλο τότε Υ μικρό, αν Δ μικρό τοτε Υ μεγάλο), τόσο πιο ισχυρή αντι-συσχέτιση όσο πιο κοντά είναι το r στο -1 •r = 0: καμμία συσχέτιση

6 συντελεστής συσχέτισης: εφαρμογή στις ΧΣ •έστω μια ΧΣ X(t i ) •σχηματίζουμε ζεύγη (X(t 1 ),X(t 1+k )), (X(t 2 ),X(t 2+k )), (X(t 3 ),X(t 3+k )), ….. (X(t N-k ),X(t N )) δηλ. ζεύγη από την ΧΣ και την μετατοπισμένη κατά k ΧΣ •συντελεστής αυτο-συσχέτισης όπου ο μέσος όρος της ΧΣ κ t X(t i ) X(t i+k )

7 συντελεστής αυτο-συσχέτισης: ιδιότητες •κ = 0,1,2,3, …., N-1 •το σύνολο των r k ονομάζεται (συνάρτηση) αυτο- συσχέτιση(ς) [auto-correlation (function), acf] •r -k = r k •r 0 = (Ν-1)σ 2 Χ / (Ν-1)σ 2 Χ = 1 •πρόβλημα: για μεγάλα k έχουμε μόνο λίγους όρους ) r k έχει μεγάλο στατιστικό σφάλμα για μεγάλο k ) στην πράξη παίρνουμε υπ’όψιν τα r k μόνο μέχρι περίπου Ν/4 ή το πολύ Ν/2 •-1 · r k · 1, για όλα τα k

8 αυτο-συσχέτιση: ερμηνεία •{r k } δίνει το μέτρο της συσχέτισης (correlation) παρατηρήσεων/μετρήσεων οι οποίες απέχουν κατά το χρονικό διάστημα τ κ •{r k } εκφράζει κατά πόσο οι μετρήσεις με χρονική απόσταση τ κ έχουν σχέση μεταξύ τους, δηλ. αν π.χ. Χ(t i ) παίρνει μεγάλη τιμή τότε και Χ(t i+k ) παίρνει μεγάλη τιμή, ή αντιθέτως παίρνει μικρή ή αρνητική τιμή, ή δεν επηρεάζεται καθόλου •{r k } εκφράζει τη μνήμη της ΧΣ (καλύτερα: της διαδικασίας η οποία έχει παράγει την ΧΣ), δηλ. κατά πόσο το παρόν θυμάται το παρελθόν, και κατά πόσο το μέλλον θα επηρεαστεί από το παρόν

9 αυτο-συσχέτιση, παράδειγμα: αρχική ΧΣ: σαν θόρυβος, αλλά και με δομές (AR-1, a 1 =0.7, u 2 [-1,1]) αυτο-συσχέτιση (acf), μέχρι Ν/4 acf, μέχρι  k = 20 1/e •η acf πέφτει μεν στο μηδέν, αλλά τα πρώτα r k > 0 ) η ΧΣ έχει μνήμη •υπάρχει χαρακτηριστικός χρόνος (characteristic time) = χρονικό διάστημα για το οποίο η ΧΣ θυμάται το παρελθόν της

10 χαρακτηριστικός χρόνος •υπάρχουν 3 βασικοί τρόποι για τον ορισμό του χαρακτηριστικού χρόνου  c  c := χρόνος όπου η acf περνάει πρώτη φορά από το μηδέν (  c » 10.5)  c := χρόνος όπου η acf έχει το πρώτο ελάχιστο (  c » 11)  c := χρόνος όπου η acf πέφτει κάτω από 1/e (e η σταθερή του Euler, 1/e » 0.37) (  c » 2.5) •ποιόν ορισμό προτιμάμε εξαρτάται απά την εφαρμογή, συχνά ο «1/e time» είναι μια καλή επιλογή – αιτία: συχνά η acf πέφτει εκθετικά acf, μέχρι  k = 20 acf, μέχρι  k = 10 log-linear γραμμικό στο log-lin, r k » exp[-a  k ] 1/e

11 ο χαρακτηριστικός χρόνος και η αρχική ΧΣ αρχική ΧΣ, μέχρι 40  c » 10.5 (χρόνος όπου η acf περνάει πρώτη φορά από το μηδέν)  c » 11 (χρόνος όπου η acf έχει το πρώτο ελάχιστο)  c » 2.5 (χρόνος όπου η acf πέφτει κάτω από 1/e) ) συχνά μπορούμε να αναγνωρίσουμε τον χαρακτηριστικό χρόνο στην αρχική ΧΣ 10 «ταλαντώσεις» 2.5 μικρές δομές

12 εναλλακτικός τρόπος παράστασης της συσχέτισης Χ(t i ) X(t i+1 ) X(t i+20 ) γραφική παράσταση των ζευγών (X(t i ), X(t i+k )), i = 1,2,3, …, N-k k = 1 k = 20 γραμμική δομή, με θόρυβο καμμία δομή, θόρυβος

13 Ανάλυση: σύνοψη (μέθοδος του τρέχοντα μέσου όρου) = + + αρxική ΧΣ τάση περιοδικότητα (1o υπόλοιπο) θόρυβος (2ο υπόλοιπο)

14 αυτο-συσχέτιση, παράδειγμa: περιοδική ΧΣ αρχική ΧΣ, X(t i ) = 10 sin(2π t i /39.5) περιοδική αυτο-συσχέτιση (acf), μέχρι Ν, δηλ. ολόκληρη η acf η acf είναι περιοδική, όμως το πλάτος μικραίνει …

15 Γιατί πέφτει το πλάτος ? όσο μεγαλώνει το k, έχουμε λιγότεροyς όρους στο άθροισμα, r k έιναι «υποτιμημένο» (biased, underestimated), και το στατιστικό σφάλμα αυξάνει ) παίρνουμε υπ’όψιν τα r k μόνο μέχρι Ν/4 ή το πολύ Ν/2 εξ’αλλου στην αυτο-συσχέτιση μας ενδιαφέρει κυρίως η απόσβεση (decay) της συσχέτισης (correlation), δηλ. περίπου μέχρι το k όπου το r k γίνεται 0

16 αυτο-συσχέτιση, παράδειγμa: περιοδική ΧΣ, ξανά μέρος της αρχικής ΧΣ + acf η περίοδος είναι ίδια στην αρχική ΧΣ και στην acf ) για σχετικά καθαρά περιοδικές ΧΣ, η acf δεν μας δίνει πολλές πληροφορίες τις οποίες δεν τις είχαμε ήδη από την αρχική ΧΣ αρχική ΧΣ, X( t i) = 10 sin(2π ti/39.5) περιοδική αυτο-συσχέτιση (acf), μέχρι N/4 η acf είναι περιοδική (το πλάτος μικραίνει λίγο λόγω στατιστικού σφάλματος)

17 •περιοδική ΧΣ: αναλυτική acf Χ(t i ) = a sin(  t i )  X = 0 ) r k »  i sin(  t i ) sin(  t i+k ) •sin(A) sin(B) = ½[ cos(B-A) - cos(A+B)] • ) r k » (1/2)  i [ cos(  (t i+k -t i )) - cos(  (t i+k +t i )) ] » cos(   k ) -  i cos(  (t i+k +t i )) kk = 0 (όπως ο μέσος όρος !) ) για περιοδικές ΧΣ η acf έιναι επίσης περιοδική, με την ίδια περίοδο, και ξεκινά από το 1 (r 0 = 1)

18 Άσκηση 5: •Δημιουργείστε τη ΧΣ X(t i ) = 10 sin(2π t i / 39.5) i = 1, 2, 3, …, N, και N = 512 •υπολογίστε την αυτο-συσχέτιση για k = 0,1,2,3,... •γραφική παράσταση, μέχρι Ν/4 (ο χρονικός άξονας ξεκινά από  0 = 0 !)

19 p = 0p = 0 καμμία πρόσθεση πρόσθεση στη δεξιά πλευρά πρόσθεση στην αριστερά πλευρά πρόσθεση αριστερά και δεξιά ΧΣ

20 αυτο-συσχέτιση, παράδειγμa: θόρυβος αρχική ΧΣ, ομοιόμορφος θόρυβος στο [-2,2] αυτο-συσχέτιση (acf) r 0 = 1, και r k ¼ 0, για k =1,2,3, … ) η ΧΣ είναι εντελώς τυχαία (completely random) και παριστάνει λευκό θόρυβο (white noise) ορισμός: λευκός θόρυβος, r k =  (k) = μη-συσχετιζόμένη (uncorrelated) ΧΣ

21 πότε μπορούμε να πούμε ότι r k ¼ 0 ? •μπορεί να αποδειχθεί, ότι αν μια ΧΣ είναι εντελώς τυχαία, τότε 95% των r k βρίσκονται στο διάστημα (95% confidence interval) •τα 5% των r k επιτρέπεται να βρίσκονται έξω, όχι όμως συστηματικά ! •στο παράδειγμα του λευκού θορύβου: • ) τεστ για το αν μια ΧΣ είναι τυχαία: (1) υπολόγισε την αυτο-συσχέτιση, (2) αν 95% των r k είναι στο διαστημα τότε η ΧΣ είναι εντελώς τυχαία acf

22 Άσκηση 6: •Δημιουργείστε τη ΧΣ X(t i ) = G(t i ), i=1,2,3, …, N, και N = 512 όπου G(t i ) θόρυβος με κατανομή Gauss (μέσος όρος μ = 5 και στάνταρτ απόκλιση σ = 2) 1.γραφική παράσταση της ΧΣ X(t i ) 2.ιστόγραμμα της ΧΣ X(t i ), μαζί με την κατανομή Gauss 3.υπολογίστε την αυτο-συσχέτιση, γραφική παράσταση, μαζί με το «διάστημα ελέγχου» (confidence interval)

23 •τυχαίοι αριθμοί με κατανομή Gauss στη Mathematica: <


Κατέβασμα ppt "Αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •covariance («συνδιασπορά») και συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) •αυτο-συσχέτιση (auto-correlation) •βασικά."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google