ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Μπιλίνη Ελένη

Σχεδιασμός μαθήματος (σύνδεση ενός μαθηματικού θέματος με μια πραγματική κατάσταση) Περιοχή των μαθηματικών: Άλγεβρα Α Λυκείου Διδακτική Ενότητα:Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 1 ου και 2 ου βαθμού. Μαθηματικοί στόχοι - ενέργειες: Οι μαθητές μετά το πέρας του μαθήματος θα πρέπει να είναι σε θέση: Να μεταφέρουν απλά προβλήματα από την καθημερινή γλώσσα στη συμβολική γλώσσα των μαθηματικών. Να κάνουν διερεύνηση συσχετίζοντας το πρόσημο της διακρίνουσας με το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης 2 ου βαθμού Να αναπτύξουν τεχνικές μεταφοράς ενός σύνθετου πρόβλημα σε απλούστερο διατηρώντας αναλλοίωτη την αρχική δομή του. Να αντιλαμβάνονται την έννοια της ισότητας και των ιδιοτήτων που εμπλέκονται στον αλγόριθμο επίλυσης.

Περιγραφή και ανάλυση της δραστηριότητας: (στόχοι, πλαίσιο, αιτιολόγηση της σημασίας της) Δραστηριότητα 1 η Για ένα τραπέζι και 3 καρέκλες πληρώσαμε 750ευρω.Το τραπέζι κοστίζει οσο 2 καρέκλες. Πόσο θα πληρώσουμε για να αγοράσουμε 4 καρέκλες; Η επιλογή της δραστηριότητας αυτής έγινε με στόχο Να ενθαρρύνει τους μαθητές να συμμετέχουν σε μια διαδικασία διαλόγου και να επιβεβαιώσουν τις γνώσεις τους. Να υπενθυμίσει στους μαθητές τα βασικά στάδια της μοντελοποίησης ενός πραγματικού προβλήματος (συμβολισμός αγνώστου,έκφραση των δεδομένων του προβλήματος με τη βοήθεια του x)

Περιγραφή και ανάλυση της δραστηριότητας: (στόχοι, πλαίσιο, αιτιολόγηση της σημασίας της) Δραστηριότητα 2 η Στο διπλανό σχήμα το ορθογώνιο βρίσκεται μέσα σε ένα τριγωνο.Αν το εμβαδόν του γραμμοσκιασμενου χωρίου είναι 9 τ.μ να υπολογίσετε το χ Γεωμετρική άλγεβρα;  Γεωμετρική διάσταση :Κλασικό πρόβλημα σύνθεσης ενός σχήματος από απλούστερα (οικειοποίηση μαθητών με διαδικασίες υπολογισμού εμβαδού βασικών σχημάτων από το Γυμνάσιο)  Αλγεβρική διάσταση: Κατασκευή και επίλυση εξίσωσης (χρήση ιδιοτήτων ισότητας) Αντίληψη της ισότητας ως ισοδυναμίας των 2 μελών. Λήψη των φυσικών περιορισμών που επιβάλλει το πρόβλημα. Ερώτημα: Πότε μια λύση είναι δεκτή;

Περιγραφή και ανάλυση της δραστηριότητας: (στόχοι, πλαίσιο, αιτιολόγηση της σημασίας της) Δραστηριότητα 3 η Ένας ταχυδρόμος θέλει να παραδώσει την αλληλογραφία από την πόλη στην πόλη Β, οι οποίες βρίσκονται στην ίδια πλευρά ενός ποταμού ρεύμα του ποταμού έχει σταθερή ταχύτητα 3km/h.Η απόσταση ΑΒ είναι η τιμή της παραμέτρου κ στην εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι ίσες. Αν ο χρόνος που χρειάστηκε για να πάει από την πόλη Α στην πόλη Β και να επιστρέψει στην πόλη Α κινούμενος με σταθερή ταχύτητα είναι 1 ώρα και 30 λεπτά να βρείτε : α) την απόσταση ΑΒ β)την ταχύτητα της βάρκας. A 3km/h B

Περιγραφή και ανάλυση της δραστηριότητας: (στόχοι, πλαίσιο, αιτιολόγηση της σημασίας της) Πρωτότυπο μαθηματικό πρόβλημα μοντελοποίησης (ρεαλιστικά μαθηματικά) Το πρόβλημα κινείται σε 2 άξονες 1.Διερεύνηση: Οι μαθητές καλούνται να διερευνήσουν τη σχέση της διακρίνουσας με το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης 2 ου βαθμού. Ερώτημα: Πως θα αξιοποιήσουν οι μαθητές το δεδομένο ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες; 2.Μοντελοποίηση: Συνθετότητα προβλήματος Στρατηγική των μικρών βημάτων Μεταφορά του προβλήματος σε απλούστερο πλαίσιο με χρήση παραδειγμάτων Επαναφορά στο αρχικό πρόβλημα,κατασκευή εξίσωσης και επίλυση.

Περιγραφή και ανάλυση της δραστηριότητας: (στόχοι, πλαίσιο, αιτιολόγηση της σημασίας της) Στη δραστηριότητα αυτή βασικοί στόχοι ήταν : Να είναι σε θέση ο μαθητής να διερευνά τα μαθηματικά μοντέλα που συνιστούν την βασική δομή του αρχικού προβλήματος ή των επιμέρους προβλημάτων ) Να αποκτήσει σταδιακά την ικανότητα να διαπιστώνει κανονικότητες ανάμεσα σε προβλήματα και να τα αντιστοιχεί σε διαισθητικά πρότυπα που έχει διαμορφώσει από την εμπειρία του. Συμπεράσματα από τον χώρο της διδακτικής Κατά τον Bruner: Κατά τον Bruner: Θα πρέπει να τονίζονται οι στρατηγικές επίλυσης προβλήματος και η κατανόηση των δομών από τους μαθητές. Ο Lesh τονίζει: Ο Lesh τονίζει: " Οι εφαρμογές και η επίλυση προβλήματος δεν πρέπει να λαμβάνουν χώρα μόνο αφού έχει ολοκληρωθεί η μάθηση. Μπορούν και πρέπει να χρησιμοποιηθούν ως πλαίσιο μέσα στο οποίο η μάθηση των μαθηματικών ιδεών θα λάβει χώρα".

Εφαρμογή – αποτίμηση της διδασκαλίας Συζήτηση πάνω στη 2 η δραστηριότητα: Οι μαθητές έχουν υπολογίσει το εμβαδόν του τρίγωνου ως συνάρτηση του x.Δυσκολεύονται όμως να κατασκευάσουν την εξίσωση και να βρουν κατάλληλη ισότητα. Κ:Tι είναι το 9 στο πρόβλημα; Μ1:είναι το εμβαδόν του μπλε σχήματος. Κ: Ποιος θα μου πει πως θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμενου χωρίου; Μ1:Ειναι αν αφαιρέσουμε από το τρίγωνο το ορθογώνιο Κ:Ωραια λοιπόν να το βρούμε.Θα μας πεις; Μ2:(απανταει….) Κ:Πως όμως θα βρω εγώ το x; Μαθητής:… Κ:Στις εξισώσεις με ισότητες δεν δουλεύω; Μ2:ναι Κ:Δείτε,πως θα φτιάξω ισότητα ;Τι πληροφορία δίνει το πρόβλημα; Μ1:αυτό (δείχνει στον πίνακα)ίσο με 9.

Εφαρμογή – αποτίμηση της διδασκαλίας Κρίσιμο συμβάν:Οι μαθητές είχαν δυσκολία να συνδυάσουν τα δεδομένα κατάλληλα,ώστε να κατασκευάσουν ισότητα. Δεν φαίνεται να έχουν αντιληφθεί πλήρως τον ρόλο της ισότητας ως ισοδυναμία. Ίσως η διατύπωση να δημιουργεί προβλήματα. Δεν είναι άμεσο το πώς και το τι θα μοντελοποιήσουν ως εξίσωση. Στη πλειοψηφία τους οι μαθητές ήταν σε θέση να εφαρμόζουν σωστά τον αλγόριθμο για την επίλυση της εξίσωσης. Ερώτημα: Πως υποστηρίζεται εννοιολογικά η αλγοριθμική διαδικασία από το σχολικό βιβλίο ; Πως το αντιλαμβάνεται ο μαθητής; Ερωτήσεις μέτριας και υψηλής καθοδήγησης.

Εφαρμογή – αποτίμηση της διδασκαλίας Συζήτηση πάνω στην 3 η δραστηριότητα: 1 ο κρίσιμο συμβάν Οι μαθητές δουλεύουν στο πρώτο ερώτημα. Φαίνεται πως τους προβληματίζει ο προσδιορισμός της παραμέτρου κ. Οι περισσότεροι αγνοούν την πληροφορία για την ισότητα των ριζών.Δεν κάνουν την σύνδεση με την διακρινουσα Μ1: Θα λύσουμε την εξίσωση Μ2 :Να βρούμε τις ρίζες και μετά θα πούμε x1=x2 Κ:Nαι αλλά έχω και την παράμετρο κάπως θα λύσω εξίσωση με δυο αγνώστους πιο εύκολα; Μερικοί μαθητές δυσπιστούν τους προτείνω να δοκιμάσουν μόνοι τους. Κ:Τι δεν έχετε χρησιμοποιήσει; Πότε συμβαίνει να έχω ισότητα ριζών …. Μ3 Ααα η διακρινουσα να είναι μηδέν. Να βρω την διακρινουσα… Υπάρχει διαφωνία μεταξύ των μαθητών. Άλλοι επιμένουν στο αρχικό μοντέλο να θέσουν δηλαδή x1=x2.Τους προτείνω να επιχειρηματολογήσουν προετοιμάζοντας στο σπίτι την λύση που προτείνει ο καθένας και να δούν στο επόμενο μάθημα ποιος είναι ο συντομότερος δρόμος.

Εφαρμογή – αποτίμηση της διδασκαλίας 2o κρίσιμο συμβάν Οι μαθητές έχουν να βρουν την ταχύτητα της βαρκας.Μετα από μικρή καθοδήγηση καταλήγουν τελικά ότι κατά την διαδρομή ΑΒ η ταχύτητα της βάρκας είναι x-3 km/h ενώ για την ΒΑ είναι x+3km/h H δυσκολια είναι στην κατασκευή της εξίσωσης Μ1:Να γράψουμε x-3+x+3=1 ½ K:Για να το προσεξετε…Μου λέτε ότι η ταχύτητα από το Α στο Β συν την ταχύτητα από το Β στο Α είναι 1 ½ ωρες…Είναι σωστό; Μ1: Όχι αλλά πως θα το βρούμε… Μ2:Να βρούμε την ώρα από το Α στο Β και από το Β στο Α. Κ:Πολύ ωραία. Πως θα το βρούμε; Kάποιοι μαθητές λένε ότι δεν μπορούμε να το βρούμε Στη συνέχεια τους δίνω ένα απλό παράδειγμα.Πειτε ότι έχουμε να κάνουμε με το αυτοκίνητο μια απόσταση 100km με ταχύτητα 50km/h.Πόσες ώρες θα κάνω ; Μου απαντούν εύκολα 2h.Tους εξηγώ ότι έχω ένα παρόμοιο προβλημα.Τους ζητώ να μου βρουν τον κανόνα.

Αποτίμηση και αναστοχασμός της διδασκαλίας Συνολικά οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι με τέτοιες διαδικασίες. Το κριτήριο με το οποίο επιλέχθηκε όμως ήταν η πρόσθετη διδακτική αξία που έχει για τους μαθητές. Συγκεκριμένα το πρόβλημα:  Ενδυναμώνει την διαισθητική αντίληψη των μαθητών για τα μαθηματικά.  Αναπτύσσει ποικίλες στρατηγικές για την αντιμετώπιση σύνθετων προβλημάτων. Αποτίμηση της διδασκαλίας. Η διδασκαλία κύλησε καλά σε γενικές γραμμές. Θεωρώ σημαντικό ότι οι μαθητές λειτούργησαν ως ομάδα συνεργατικά, διαφώνησαν και πήραν θέση τις οποίες ενθάρρυνα να αιτιολογούν. Ορισμένα διαχειριστικά θέματα προέκυψαν ενώ παρατήρησα ότι για την δραστηριότητα 3 ο χρόνος ήταν αρκετά περιορισμένος συγκριτικά με τα θέματα που ήθελα να συζητηθούν.(διαχειριστικά ζητήματα).Σε μια ενδεχόμενη τροποποίηση της διδασκαλίας θα αφιέρωνα το χρόνο αποκλειστικά στην 3 η δραστηριότητα.Ίσως να έθετα διαδοχικά ερωτήματα στο φύλλο εργασίας ώστε να συστηματοποιήσω τη δουλειά των μαθητών.