BELIEFS AND NORMS IN THE MATHEMATICS CLASSROOM Erna Yackel & Chris Rasmussen, 2002 Παρουσίαση Προκόπης Κωστούλας Δ Σταύρος Βουδούρης Δ201332

Εισαγωγή Στόχος της μελέτης Να καταδειχθεί ότι μέσω του συσχετισμού κοινωνιολογικών και ψυχολογικών παραμέτρων μπορούμε να εξηγήσουμε τις μεταβολές στις πεποιθήσεις των φοιτητών μιας τάξης μαθηματικών και να μελετηθεί ο συσχετισμός–αλληλεπίδραση των παραπάνω αντιλήψεων με τους κοινωνικούς (social norms) και κοινωνικο–μαθηματικούς (socio – mathematical norms) κανόνες λειτουργίας της τάξης.

Ερμηνευτικό πλαίσιο Το ερμηνευτικό πλαίσιο που υιοθετείται περιλαμβάνει δύο αλληλο- συσχετιζόμενες κατηγορίες που αφορούν: Κοινωνιολογικές παραμέτρους ▫ κοινωνικοί κανόνες που διέπουν τη λειτουργία μιας τάξης ▫ κοινωνικο-μαθηματικοί κανόνες ▫ αυτό που νοείται ως μαθηματική δραστηριότητα στην τάξη Ψυχολογικές παραμέτρους ▫ αντιλήψεις των μαθητών για τον ατομικό τους ρόλο στην τάξη, το ρόλο των συμμαθητών τους και του εκπαιδευτή και τη γενικότερη φύση της μαθηματικής δραστηριότητας ▫ ειδικότερες μαθηματικές αντιλήψεις και αξίες των μαθητών ▫ μαθηματικές προσεγγίσεις κατά τη διάρκεια της μαθηματικής διαδικασίας.

Θεωρητικό πλαίσιο Αρχές της Συμβολικής διάδρασης (symbolic interactionism) Κονστρουκτιβισμός (constructivism) Επιρροές από: o Bauersfeld, Krummheuer and Voigt (Bauersfeld, 1988; Bauersfeld, Krummheuer, & Voigt, 1988) o Erlwanger (1973) o Cobb (1985) o (Schoenfeld, 1983).

Υπόθεση της μελέτης Οι κανόνες που διέπουν τη λειτουργία μιας τάξης μαθηματικών, κοινωνικοί και κοινωνικο–μαθηματικοί, είναι δυνατό να μεταβληθούν κατά τη διαδικασία εκπαίδευσης. Με τη μεταβολή των κανόνων μεταβάλλονται και οι αντίστοιχες αντιλήψεις των φοιτητών σε σχέση με τους κανόνες, τον ατομικό τους ρόλο στην τάξη, το ρόλο των συμμαθητών τους και του εκπαιδευτή καθώς και την ευρύτερη μαθηματική διαδικασία. Κατά τη διαδικασία μεταβολής τους, οι πεποιθήσεις των φοιτητών σε σχέση με τα παραπάνω αλληλεπιδρούν με τους κανόνες της τάξης, συμβάλλοντας στην επαναδιαπραγμάτευση αυτών (ύπαρξη αλληλεπιδραστικής σχέσης μεταξύ ατομικού – συλλογικού). Οι θεωρητικές κατασκευές του ερμηνευτικού πλαισίου, (Κοινωνιολογικές και Ψυχολογικές παραμέτροι) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ερμηνεύσουν τις αλλαγές στις αντιλήψεις των φοιτητών σχετικά με συγκεκριμένους κανόνες στο πλαίσιο μιας τάξης μαθηματικών.

Μεθοδολογία Συμμετέχοντες: Τμήμα διαφορικών εξισώσεων σε πανεπιστήμιο της Αμερικής Δείγμα 12 φοιτητών: η πλειοψηφία ήταν μηχανικοί, οι υπόλοιποι είχαν ειδίκευση στα μαθηματικά. ▫ Όλοι είχαν λάβει μια παραδοσιακή προσέγγιση στη διδασκαλία των μαθηματικών στο πλαίσιο της α΄/βάθμιας, β΄/βάθμιας και γ΄/βάθμιας εκπαίδευσης. ▫ Στόχος ήταν να ελεγχθεί η υπόθεση εργασίας και σε φοιτητές πανεπιστημιακού επιπέδου. Μαθήματα 2ωρης διάρκειας, 2 φορές την εβδομάδα, συνολική διάρκεια 15 εβδομάδες (60 διδακτικές ώρες).

Υλικά Υιοθέτηση μιας διαφορετικής, ερευνητικού χαρακτήρα, μεθόδου προσέγγισης της μαθηματικής διδασκαλίας από τον καθηγητή – εκπαιδευτή. Υλικά που δόθηκαν στους φοιτητές: ▫ Αναθεωρημένο εγχειρίδιο για ασκήσεις στο σπίτι – ποιοτικές προσεγγίσεις που περιλαμβάνουν γραφήματα και χρήση της τεχνολογίας ως μέσο επίλυσης προβλημάτων που περιλαμβάνουν διαφορικές εξισώσεις. ▫ TI-92 graphing calculator με προγράμματα ειδικά σχεδιασμένα από μέλη του πειράματος διδασκαλίας για να συμβάλουν την επίλυση δύσκολων προβλημάτων και phase portraits. ▫ Εργασίες για το σπίτι. ▫ Εβδομαδιαίο ηλεκτρονικό ημερολόγιο καταγραφής της μαθηματικής δραστηριότητας της προηγούμενης εβδομάδας (journals). ▫ Ντοσιέ προόδου (portfolio), αξιολογήθηκε στην πρώτη και στην τελική εξέταση, που περιελάμβαναν καταγραφές για παραδείγματα μάθησης και μια λογική αιτιολογία για τις γνώσεις που αποκτήθηκαν. Μαγνητοσκοπημένες καταγραφές που προέρχονται από τα μαθήματα και τις συζητήσεις εντός της τάξης, κατά τη διάρκεια αυτών.

Γιατί επιλέχθηκαν τα ως άνω υλικά Μέθοδος διδασκαλίας από τον εκπαιδευτή ▫ μελέτη της εξέλιξης των πεποιθήσεων των φοιτητών στη βάση της αμφίδρομης σχέσης πεποιθήσεων – κανόνων, ▫ διερεύνηση των αντιδράσεων των φοιτητών στην καινούρια προσέγγιση της μαθηματικής διδασκαλίας, ▫ ανάπτυξη λύσεων, ▫ εξήγηση της σκέψης, ▫ αιτιολόγηση των ενεργειών, ▫ σύγκριση και προσπάθεια προσαρμογής της ατομικής σκέψης με σκέψεις της ομάδας. Υλικά που δόθηκαν στους φοιτητές ▫ προσαρμογή των κλασσικών μαθηματικών εργαλείων (εγχειρίδιο, TI- 92 graphing calculator κλπ) με στόχο την εισαγωγή των φοιτητών στη νέα ερμηνευτική προσέγγιση, σύμφωνα με την οποία η πληρότητα της ερμηνείας ενός μαθηματικού αποτελέσματος περιλαμβάνει εκτός της απλής παράθεσης της μαθηματικής επίλυσης, και την περαιτέρω εξήγησή της στο πλαίσιο συλλογικών μαθηματικών στόχων, ▫ journals, εργασίες για το σπίτι: στόχος η μελέτη της σταδιακής εξέλιξης των πεποιθήσεων των φοιτητών μέσω της καταγραφής της δικής τους οπτικής γωνίας, ▫ portfolios: στόχος η μελέτη της αποτίμησης της διαδικασίας συνεργατικής μάθησης εκ μέρους των φοιτητών. Μαγνητοσκοπημένο υλικό με στόχο την ολοκληρωμένη αποτύπωση της εξέλιξης του πειράματος διδασκαλίας

Διαδικασία Ο εκπαιδευτής επιχειρεί με άμεσο ή έμμεσο τρόπο (παρατηρήσεις, ερωτήσεις, παρεμβάσεις, υποδείξεις κ.ο.κ.) να εισαγάγει μέσω της νέας μεθόδου διδασκαλίας, την διαδικασία της επαναδιαπραγμάτευσης των κοινωνικών και κοινωνικο-μαθηματικών κανόνων στο πλαίσιο μιας τάξης μαθηματικών, καθώς και των πεποιθήσεων των φοιτητών για αυτούς. Δεν έγιναν αναλύσεις κατά τη διάρκεια του πειράματος διδασκαλίας, παρά μόνο με το πέρας του εξαμήνου. Δυο μέλη της ερευνητικής ομάδας κατέγραψαν τους κανόνες της τάξης και τι περιελάμβαναν. Οι καταγραφές και οι σημειώσεις επεξεργάστηκαν για τον εντοπισμό στοιχείων αναφορικά με τους κανόνες και τις πεποιθήσεις. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στις πρώτες εβδομάδες διδασκαλίας, γιατί τότε ξεκίνησε η διαδικασία επαναδιαπραγμάτευσης. Επιλέχθηκαν και αναλύθηκαν αντιπροσωπευτικά παραδείγματα από όλες τις πηγές (βιντεοσκοπήσεις, journals, portfolios κ.λ.π.) για τον εντοπισμό στοιχείων που αφορούσαν τις αρχικές αντιλήψεις των φοιτητών σε σχέση με τους κανόνες, την επαναδιαπραγμάτευση αυτών, καθώς και την εξέλιξη της αλληλεπίδρασης κανόνων και αντιλήψεων.

 Η διεξαγωγή, παρατήρηση και ανάλυση του πειράματος διδασκαλίας με την προαναφερθείσα διαδικασία εξυπηρετεί την ανάγκη για επαλήθευση της υπόθεσης εργασίας σε ήδη διαμορφωμένα γνωστικά σχήματα (φοιτητές πανεπιστημιακού επιπέδου), καθώς οι προηγούμενες παρόμοιες μελέτες διεξήχθησαν σε τάξεις μαθηματικών δημοτικού.

Αποτελέσματα Συσχετίζοντας κοινωνιολογικές και ψυχολογικές παραμέτρους είναι δυνατό να εξηγήσουμε τις μεταβολές στις πεποιθήσεις των φοιτητών μιας τάξης μαθηματικών. Οι κοινωνικοί και κοινωνικο–μαθηματικοί κανόνες μιας τάξης μαθηματικών αναπτύσσονται μαζί με τις αντίστοιχες πεποιθήσεις των φοιτητών περί αυτών ως ένα δυναμικό σύστημα. Παράλληλη εξέλιξη των αντιλήψεων και των κοινωνικών κανόνων για τον ατομικό και συλλογικό ρόλο των φοιτητών στην τάξη και τη γενικότερη φύση της μαθηματικής δραστηριότητας σε κανόνες που ορίζουν περισσότερο συμμετοχική διαδικασία εκμάθησης (συζήτηση, προσπάθεια κατανόησης της συλλογιστικής του άλλου, έγερση ερωτημάτων και προκλήσεων σε περίπτωση διαφωνίας κ.ο.κ.). Παράλληλη εξέλιξη των αντιλήψεων των φοιτητών για το τι αποτελεί επαρκή μαθηματική εξήγηση, με τον αντίστοιχο κοινωνικο–μαθηματικό κανόνα που απαιτεί ερμηνεία των μαθηματικών αποτελεσμάτων σε μαθηματικά προβλήματα.

Παραδείγματα κυρίαρχων απαντήσεων Παραδείγματα που αντανακλούν παγιωμένες αντιλήψεις: ▫ I’m still getting used to the format. I’m more used to the teacher saying everything and not letting the students really have a “voice”. ▫ […]I’m used to thinking of math as an “exact science” where there is always an exact answer or answers to a problem ▫ Most of the points lost were due to my failure to explain how I reached my answers. I thought a clear, systematic approach to the math calculations would be sufficient to explain my thought process. ▫ […]The open discussion in class at this time was foreign to me, especially in a math class. As you may have guessed, we were not sure what to write or what to answer because we were never asked these types of things before. ▫ I like the way the class and the book concentrate on practical applications and explanations for differential equations. As you may have noticed from my info [information] card, I have taken this class before at [another campus of the same university] and it was much different. We spent a lot of time trying to memorize all the techniques to solve the equations and learned very few practical ideas. I was lost and disinterested 15 minutes into the first class session. I can honestly say I think I’ve learned more about differential equations in the first two weeks here than I did in the whole semester there.

Παραδείγματα που αντανακλούν κοινωνικούς κανόνες εντός της τάξης ▫ Jerry: Each day, there’s from day zero to day one (inaudible) from day 14 to day 15, you would see 1/14 of that population recover. And every day thereafter. Instructor: (To Shawn.) Is that similar to what you were thinking? ▫ Shawn: That it's constant. The same amount of number of people for each stage. Instructor: What do the rest of the people think about that? ▫ […]Greg: I didn’t quite understand what he said. […]Instructor: Anyone want to add to that explanation? Expand on it a little bit? Maybe you still have ▫ questions about it.

Παραδείγματα συσχετισμού κοινωνικο–μαθηματικών κανόνων και μαθηματικών αντιλήψεων ▫ Most of the homework points lost were due to my failure to explain how I reached my answers. I thought a clear, systematic approach to the math calculations would be sufficient to explain my thought process. I now have a better understanding of the expectations. ▫ […]Instructor: And so what does that mean for us? That means what? If this term is negative, that doesn't tell us anything in itself in relation to the differential equation. Jerry: The change is negative. ▫ Instructor: All right, if P is bigger than 8, certainly 8/3 - 1 is positive and so this is positive, and this [0.5P] is positive, so the rate of change, dP/dt, is negative. So that means dP/dt is negative, which means what? Greg: The population [is] reducing. Instructor: They're reducing, good. So the rate of change is negative that means the population, the number of fox squirrels is getting smaller. The population is decreasing. So the number of squirrels (i.e., P(t)) is decreasing.

Συζήτηση Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της μελέτης το ερμηνευτικό πλαίσιο λειτούργησε επαρκώς ως εργαλείο για την ερμηνεία του πειράματος διδασκαλίας. Η αρχική υπόθεση που τέθηκε από τους ερευνητές επιβεβαιώθηκε καθώς διαπιστώθηκε ότι οι αλλαγές στις αντιλήψεις των φοιτητών και η διαπραγμάτευση των κοινωνικών κανόνων μιας τάξης διενεργείται κατά τη διάρκεια της εκπαιδευτικής διαδικασίας τόσο σε επίπεδο δημοτικού όσο και σε πανεπιστημιακό επίπεδο, όπου οι αντιλήψεις των φοιτητών παρουσιάζονται περισσότερο παγιωμένες λόγω της πρότερης ακαδημαϊκής τους εκπαίδευσης. Αναδείχθηκε ο ρόλος της συνεργατικής μάθησης σε περιβάλλον αλληλεπιδραστικά δομημένο. Οι πρότερες μελέτες και το θεωρητικό υπόβαθρο της έρευνας στήριξαν την υπόθεση του πειράματος και ενίσχυσαν τους ισχυρισμούς για το συλλογικό χαρακτήρα της διδασκαλίας των μαθηματικών ως μέσο κοινωνικοποίησης των φοιτητών και ενισχυτικό της εξέλιξης παραδοσιακών αντιλήψεων για τη διαδικασία εκπαίδευσης.

Εφαρμογές στη διδασκαλία Αλλαγή στον τρόπο σκέψης – εισαγωγή στοιχείων από τον εκπαιδευτή που ευνοούν την αλλαγή του προσανατολισμού των φοιτητών από έναν ξεκάθαρα υπολογιστικό τρόπο σκέψης προς έναν περισσότερο ερμηνευτικό. Προσπάθεια εισαγωγής διδακτικών προσεγγίσεων με επικοινωνιακό χαρακτήρα για την ανάπτυξη παραδειγμάτων μάθησης που παρέχει στους φοιτητές το υπόβαθρο για την αντιπαράθεση των σκέψεών τους μεταξύ τους στη βάση της ερμηνευτικής διαδικασίας στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.