Υπολογιστική Μοντελοποίηση στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2013

Ροή αίματος και αγγεία

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Κυκλοφορικό σύστημα Αποτελείται από αγγεία αίματος τα οποία μεταφέρουν στοιχεία και οξυγόνο σε περιφερειακούς ιστούς και τα οποία εξουδετερώνουν τα ζημιογόνα προϊόντα μεταβολισμού. Ανατομικά αποτελείται από: Τη συστημική κυκλοφορία και, Την πνευμονική κυκλοφορία. Η συστημική κυκλοφορία ξεκινά με την αορτή και ακολούθως συνεχίζει με μεγάλα αγγεία με παρόμοια ιστολογικά και βιομηχανικά χαρακτηριστικά. Όσο μικραίνουν τα αγγεία, αλλάζει σταδιακά η δομή αλλά και τα χαρακτηριστικά τους. Τελικά, υπάρχουν οι μικρές αρτηρίες και ένα σύστημα τριχοειδών τα οποία ελέγχουν τον όγκο του αίματος που μπαίνει στον περιφερειακό ιστό. Μετά τα φλεβίδια, το αίμα συλλέγεται από τις φλέβες οι οποίες επιστρέφουν το αίμα στην καρδιά μέσω δυο κύριων φλεβικών αγγείων, την άνω και την κάτω κοίλη φλέβα.

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Η πνευμονική κυκλοφορία ξεκινά με το πνευμονικό στέλεχος, που χωρίζεται σε δυο πνευμονικές αρτηρίες οι οποίες εισέρχονται στον πνεύμονα και αφού διακλαδωθούν σε πολλαπλά μικρότερα αγγεία, έρχονται σε επαφή με το αναπνευστικό σύστημα, έχοντας σαν αποτέλεσμα την οξυγονοποίηση του αποξυγονωμένου αίματος από τους περιφερειακούς ιστούς. Το οξυγονωμένο αίμα συλλέγεται μέσω ενός συστήματος πνευμονικών φλεβών καταλήγοντας ως τέσσερις μεγάλες πνευμονικές φλέβες στο δεξί κόλπο.

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Το αρτηριακό αίμα οξυγονώνεται στη συστημική κυκλοφορία ενώ το φλεβικό αποξυγονώνεται ενώ στην πνευμονική κυκλοφορία ισχύει το αντίστροφο. Η δομή των αγγείων εξαρτάται από τον ρόλο που έχουν. Τα μεγάλα αγγεία είναι αγώγιμα και διανέμουν αίμα. Η ελαστική τους δομή τους επιτρέπει την διαστολή τους κατά τη συστολή και τη συστολή τους αντίστοιχα κατά τη διαστολή. Η συστολική ροή αίματος είναι αποτέλεσμα της διαστολής της καρδιάς, η έγχυση στη διαστολή διατηρείται από την ελαστική πίεση στα αγγεία. Το αποτέλεσμα είναι η συνεχής και μεταβαλλόμενη ροή αίματος κατά τον καρδιακό κύκλο. Η αντίσταση στη ροή αίματος είναι επίσης μεταβαλλόμενη και είναι ανάλογη με τη διάμετρο του αγγείου και με το ποσοστό μυϊκού ιστού στο αγγείο, με μέγιστο στο επίπεδο των αρτηριολίων κάτι που προκαλεί σημαντική μείωση της ταχύτητας της ροής αίματος. Η ταχύτητα του αίματος εξαρτάται από τη φάση του καρδιακού κύκλου και τη διάμετρο του αγγείου και ποικίλει από <100cm/sec στην ανιούσα αορτή και <1cm/sec στο επίπεδο τριχοειδών.

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Η κρίσιμη πίεση είναι η πίεση έγχυσης, απαραίτητη για να επιτρέψει συνεχή έγχυση . Η πίεση του αίματος είναι το μέτρο της ενέργειας του αίματος κατά τη ροή του σε διάφορα τμήματα του κυκλοφορικού συστήματος. Η αρτηριακή πίεση είναι μέγιστη στη συστολή και ονομάζεται συστολική και το ελάχιστο κατά τη διαστολή όπου και λέγεται διαστολική. Η μέση πίεση είναι η μέση τιμή της πίεσης κατά τον καρδιακό κύκλο και η τιμή της είναι μικρότερη από την αριθμητική μέση τιμή λόγω της μεγαλύτερης διάρκειας της διαστολής. Σε μεγάλα αγγεία η μέση τιμή είναι 120/80mmHg συστολική/διαστολική αντίστοιχα. Στο σύστημα των τριχοειδών η μέση πίεση είναι 17mmHg.

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Αίμα Το αίμα αποτελείται από τα κύτταρα και το πλάσμα. Υπάρχουν πολλοί τύποι κυττάρων όπως τα ερυθρά και τα λευκά αιμοσφαίρια καθώς και τα αιμοπετάλια. Βασικά κύτταρα στο αίμα: α) Ερυθρά αιμοσφαίρια, b) λευκά αιμοσφαίρια, c) ενεργοποιημένο αιμοπετάλιο. Τα ερυθρά αιμοσφαίρια είναι ώριμα, διαφοροποιημένα κύτταρα. Η συγκέντρωσή τους είναι μεταξύ 3.7 και 5.8 x 1012/L. Το ποσοστό του όγκου που καταλαμβάνουν τα ερυθρά αιμοσφαίρια ονομάζεται αιματοκρίτης (Η) και αντιπροσωπεύει την αναλογία μεταξύ του όγκου των ερυθρών αιμοσφαιρίων και του συνολικού όγκου του αίματος.

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Ο συνολικός όγκος του αίματος μπορεί να εκφραστεί ως: Ο συνολικός όγκος του αίματος είναι 4-6 [L] ή 6-8% από το συνολικό σωματικό βάρος. Τα λευκά αιμοσφαίρια είναι τα μόνα μορφολογικά πλήρη κύτταρα. Αντιπροσωπεύουν τη βάση του ανοσοποιητικού συστήματος. Ο αριθμός λευκών αιμοσφαιρίων ποικίλει μεταξύ 4.1-10x109/L. Τα αιμοπετάλια είναι κυτταρικά κομμάτια που παράγονται κατά τη διαφοροποίηση του μεγακαρυοκυττάρου. Η φυσιολογική συγκέντρωση αιμοπεταλίων βρίσκεται μεταξύ 150-350x109/L. Το πλάσμα είναι το υγρό συστατικό του αίματος. Περιέχει νερό, διάφορους ηλεκτρολύτες, μικρά οργανικά μόρια καθώς επίσης και μεγάλες πρωτεΐνες και λιπίδια. Η μέση πυκνότητα του πλάσματος είναι 1025-1034 [kg/L].

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Ροή αίματος σε μεγάλα αγγεία Στις περισσότερες αρτηρίες το αίμα συμπεριφέρεται ως Νευτώνειο υγρό με σταθερό ιξώδες περίπου 4 centipoise [cP]. Σε μικρότερα αγγεία όπου το ιξώδες εξαρτάται από τις συνθήκες ροής ωστόσο, το αίμα συμπεριφέρεται ως μη Νευτώνειο ρευστό. Στην περίπτωση όπου ο ρυθμός διατμητικής παραμόρφωσης της ροής αίματος δεν είναι πολύ χαμηλός, όπως σε μεσαίου μεγέθους αρτηρίες και σε φλέβες, το ιξώδες του αίματος μ μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του αιματοκρίτη Η και του ρυθμού διατμητικής παραμόρφωσης. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται σχέση Cason: όπου συναρτήσεις που έχουν οριστεί πειραματικά και η δεύτερη σταθερά του ρυθμού παραμόρφωσης που μπορεί να γραφεί:

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Ροή αίματος στα τριχοειδή α) Ροή ερυθρών αιμοσφαιρίων όταν η διάμετρος του αγγείου έίναι περίπου ίδια με των Ε.Α. b) ροή Ε.Α με αύξηση της διαμέτρου του αγγείου. Για να ποσοτικοποιήσουμε τη μηχανική συμπεριφορά της ροής αίματος σε μικροαγγεία, εισάγεται ένα ισοδύναμο ιξώδες. Για μια σταθερή, στρωτή ροή ενός μη-Νευτώνειου ρευστού σε ένα κυκλικό σωλήνα, το ιξώδες ενός Νευτώνειου ρευστού με ισοδύναμο ιξώδες εκφράζεται:

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα όπου D και L η διάμετρος και το μήκος του σωλήνα, Q ο ρυθμός ογκομετρικής ροής που προκαλείται από την πτώση της πίεσης Δp μεταξύ των άκρων του σωλήνα. Ακόμη, το σχετικό ιξώδες του αίματος σε σχέση με το ιξώδες του πλάσματος εκφράζεται ως: Εξάρτηση του σχετικού ισοδύναμου ιξώδους σε πολύ μικρή διάμετρο: η συνεχής γραμμή είναι in vivo αποτελέσματα από το μεσεντερικό σύστημα αρουραίου ενώ η διακεκομμένη για γυάλινο σωλήνα.

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Αγγεία Η βασική δομή των αγγείων αποτελείται από τρία στρώματα: Intima Media Adventitia

Εισαγωγή στο καρδιαγγειακό σύστημα Πολλές μελέτες έχουν πραγματοποιηθεί με σκοπό τον προσδιορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων του αρτηριακού τοιχώματος. Η γενική ιδέα αυτών των μελετών είναι ότι η αρτηρία επιδεικνύει την εξής συμπεριφορά: μη γραμμικά ανελαστική, ανισότροπη, ακτινικά ετερογενή, μη ευαίσθητη στο ρυθμό φόρτισης με διαστολή κατά τη μείωση της θερμοκρασίας και με συστολή κατά τη θέρμανση. Στη μοντελοποίηση της πλειοψηφίας των αγγείων, το αρτηριακό τοίχωμα θεωρείται ομογενές και η αρτηρία θεωρείται ως κυλινδρική μεμβράνη ή ένας σωλήνας μεγάλου πάχους.

Μέθοδοι μοντελοποίησης της ροής αίματος και των αγγείων Το αίμα όπως προαναφέρθηκε μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ασυμπίεστο ομογενές ιξώδες ρευστό για ροή σε αγγεία μεγάλης διαμέτρου. Έτσι, ισχύουν οι εξισώση συνέχειας και οι εξισώσεις Navier-Stokes. Εάν λαμβάνεται υπόψη μεταφορά μάζας, όπως μεταφορά αερίων (O2, CO2) ή μακρομορίων, η διαδικασία μπορεί να αναπαρασταθεί με διάχυση με μεταγωγή θερμότητας. Η τελική μορφή των εξισώσεων για τη ροή αίματος είναι:

Μέθοδοι μοντελοποίησης της ροής αίματος και των αγγείων όπου τα κομβικά διανύσματα της ταχύτητας του αίματος και της πίεσης με τις αυξήσεις στο χρονικό βήμα , Δt το μέγεθος του χρονικού βήματος και οι αριστεροί εκθέτες ‘n’, ‘n+1’ δηλώνουν την αρχή και το τέλος του χρονικού βήματος. Το διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων περιλαμβάνει τις ογκομετρικές αλλά και τις επιφανειακές δυνάμεις. Ο πίνακας μπορεί να περιλαμβάνει τη μεταβλητότητα του ιξώδους εάν το αίμα θεωρηθεί μη-Νευτώνειο ρευστό. Άρα έχουμε: όπου αντιστοιχεί στο θεμελιώδη νόμο για τις τελευταίες γνωστές συνθήκες. Στην περίπτωση χρήσης της σχέσης Cason, η δεύτερη σταθερά του ρυθμού παραμόρφωσης μένει να αξιολογηθεί κατά τον υπολογισμό του .

Μέθοδοι μοντελοποίησης της ροής αίματος και των αγγείων Κατανομή διατμητικών τάσεων Εκτός από τα πεδία ταχυτήτων και πιέσεων του αίματος, μπορούν ακόμη να υπολογιστούν οι τάσεις στο αίμα. Οι τάσεις σε χρόνο ‘t’ υπολογίζονται από: όπου είναι η τάση ιξώδους. Εδώ, είναι το ιξώδες που αντιστοιχεί στο διάνυσμα ταχύτητας σε ένα χωρικό σημείο στο πεδίο ορισμού του αίματος. Ακόμη, η διατμητική τάση τοιχώματος στο αρτηριακό όίχωμα υπολογίζονται από: όπου η εφαπτομενική ταχύτητα και n η φυσιολογική διεύθυνση στο αρτηριακό τοίχωμα.

Μέθοδοι μοντελοποίησης της ροής αίματος και των αγγείων Πρακτικά, πρώτα υπολογίζουμε την εφαπτομενική ταχύτητα στα σημεία ολοκλήρωσης κοντά στην επιφάνεια του τοιχώματος, και στη συνέχεια αξιολογούμε αριθμητικά την κλίση της ταχύτητας . Τελικά, προσδιορίζουμε το συντελεστή ιξώδους με χρήση της μέσης ταχύτητας σε αυτά τα σημεία ολοκλήρωσης. Γενικά, η διατμητική τάση στο τοίχωμα είναι ανάλογη με το ρυθμό παραμόρφωσης γ στο τοίχωμα και με το δυναμικό ιξώδες του αίματος μ. Για μια παλμική ροή, η μέση διατμητική τάση στο τοίχωμα σε ένα χρονικό διάστημα Τα μπορεί να υπολογιστεί ως: Μια ακόμη βαθμωτή ποσότητα στην ποσοτικοποίηση της ασταθούς ροής αίματος είναι ο δείκτης διατμητικής ταλάντωσης (OSI):

Μέθοδοι μοντελοποίησης της ροής αίματος και των αγγείων Η διατμητική τάση έχει πολύ σημαντική επιρροή στο κυκλοφορικό σύστημα. Έχει δειχθεί ότι οι αρτηρίες προσαρμόζονται σε μακροπρόθεσμες αυξήσεις ή μειώσεις των διατμητικών τάσεων. Μια μειωμένη ροή προκαλεί αύξηση της διαμέτρου του εσωτερικού στρώματος της αρτηρίας για να δημιουργήσει έτσι φυσιολογικές διατμητικές τάσεις.

Μοντελοποίηση της παραμόρφωσης των αγγείων Ο ιστός των αγγείων έχει πολύπλοκα μηχανικά χαρακτηριστικά. Μπορεί να χαρακτηριστεί με τη χρήση διάφορων υλικών μοντέλων, από γραμμικά ελαστικό ως μη γραμμικά ιξωδοελαστικό. Με κατάλληλες πράξεις, οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης πεπερασμένων στοιχείων που προκύπτουν είναι οι εξής: όπου Μ το μητρώο μάζας, ο πίνακας απόσβεσης στην περίπτωση που το υλικό έχει αντίσταση ιξώδους, Κ το μητρώο δυσκαμψίας και το διάνυσμα εξωτερικών κομβικών δυνάμεων. Ακόμη, προκύπτουν οι δυναμικές εξισώσεις κίνησης οι οποίες ολοκληρώνονται με ένα επιλεγμένο χρονικό βήμα Δt. Προκύπτουν τελικά τρεις κομβικές μετατοπίσεις στο τέλος του χρονικού βήματος: Πρέπει να τονίσουμε ότι αυτή η εξίσωση ισχύει για γραμμικό πρόβλημα: μικρές μετατοπίσεις, σταθερό ιξώδες και γραμμικά ελαστικό υλικό.

Μοντελοποίηση της παραμόρφωσης των αγγείων Σε ένα μη γραμμικό πρόβλημα η χρησιμοποιούμενη αυξητική-επαναληπτική εξίσωση είναι η: όπου είναι οι αυξήσεις των κομβικών μετατοπίσεων για την επανάληψη ‘i’ και το μητρώο του συστήματος , το διάνυσμα δυνάμεων και το διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων αντιστοιχούν στην προηγούμενη επανάληψη. Το γεωμετρικά γραμμικό μέρος του μητρώου δυσκαμψίας και το διάνυσμα κομβικών δυνάμεων προσδιορίζονται από: όπου ο συνακόλουθος εφαπτόμενος θεμελιώδης πίνακας του ιστού και οι τάσεις στο τέλος του χρονικού βήματος εξαρτώνται από το χρησιμοποιούμενο υλικό μοντέλο.

Αλληλεπίδραση αίματος-αγγείου Η συνολική στρατηγική επίλυσης για την αλληλεπίδραση αίματος-αγγείου είναι η εξής: Για την παρούσα γεωμετρία του αγγείου, προσδιορίζουμε τη ροή του αίματος. Οι ταχύτητες του τοιχώματος στην κοινή επιφάνεια μεταξύ αίματος-αγγείου θεωρούνται συνοριακές συνθήκες για το ρευστό. Υπολογίζουμε τα φορτία που προκύπτουν από το αίμα τα οποία επιδρούν στο τοίχωμα. Προσδιορίζουμε την παραμόρφωση του τοιχώματος από τα φορτία λόγω του αίματος. Ελέγχουμε για συνολική σύγκλιση που περιλαμβάνει το ρευστό και το στερεό. Εάν έχει επιτευχθεί σύγκλιση προχωρούμε στο επόμενο χρονικό βήμα. Εάν όχι επιστρέφουμε στο 1ο βήμα. Ενημερώνουμε τη γεωμετρία του ρευστού και τις ταχύτητες στο κοινό σύνορο για το νέο υπολογισμό της ροής. Στην περίπτωση μεγάλων μετατοπίσεων, ενημερώνουμε το πλέγμα ΠΣ για το πεδίο ορισμού του αίματος και επανερχόμαστε στο 1ο βήμα.

Αορτή Η αορτή είναι ένα μεγάλο αγγείο που ξεκινά από την καρδιά και διασχίζει το μέσο της κοιλιάς και τελικά διακλαδίζεται σε δυο αρτηρίες παρέχοντας αίμα στα πόδια. Η δομή της αορτής φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: Η ροή στην ανιούσα αορτή είναι σύνθετα παλμική και τρισδιάστατη.

Αορτή Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων για την αορτή Η ροή διακριτοποιείται σε 3D 8κομβα πεπερασμένα στοιχεία με τον υπολογισμό των ταχυτήτων σε όλους τους κόμβους, και της πίεσης στο κέντρο. Το αίμα θεωρείται Νευτώνειο ρευστό. Η πυκνότητα του αίματος ρ=1.05 [g/cm3] και το κινηματικό ιξώδες ν=0.035 [cm2/s]. Το τοίχωμα διακριτοποιείται σε 4κομβα στοιχεία και το υλικό θεωρείται γραμμικά ελαστικό και ισότροπο. Οι συνοριακές συνθήκες για το αίμα είναι: προκαθορισμένο προφίλ ταχύτητας στην είσοδο που προσομοιώνει το καρδιακό κύκλο και μηδενική επιφανειακή τριβή στην έξοδο.

Πεδίο ταχυτήτων για αρχική συστολική ροή Αορτή Αποτελέσματα Πεδίο ταχυτήτων για αρχική συστολική ροή Όπως αναμένεται, οι περιοχές μακριά από τις διακλαδώσεις έχουν χαμηλές ταχύτητες, σχετικές με εκείνες της ανιούσας αορτής καθώς και άλλων σημείων της αορτής. Ακόμη, οι ταχύτητες είναι μεγαλύτερες στην περίπτωση παραμορφώσιμου τοιχώματος λόγω της ελαστικότητας του τοιχώματος.

Αορτή Οι διατμητικές τάσεις στο τοίχωμα στην αρχική συστολική ροή για συμπαγή τοιχώματα (αριστερά) και παραμορφώσιμα τοιχώματα (δεξιά). Τα αποτελέσματα δείχνουν γενικά χαμηλότερες διατμητικές τάσεις για το μοντέλο με παραμορφώσιμα τοιχώματα. Αυτό οφείλεται μάλλον στις περισσότερο συνεχείς αλλαγές στις ταχύτητες κοντά στα τοιχώματα υπό παλμικές συνθήκες στο μοντέλο με παραμορφώσιμο τοίχωμα. Οι μέγιστες διατμητικές τάσεις για την αρχική συστολική ροή παρατηρούνται στις αορτικές διακλαδώσεις. Τα αποτελέσματα στις ταχύτητες διαφέρουν περίπου 2% ενώ στις διατμητικές τάσεις 22% για τα δυο μοντέλα.