ΕΠΕΔΙΜ/ Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ/ Φεβρουάριος 2014 «Από τη Μαθηματική εκπαίδευση στη Μαθηματική παιδεία. Κοινωνικά και παιδαγωγικά ζητήματα» Τίτλος Διάλεξης ή αλλιώς 2,9 + 4,2 = 3,4 + 3,7 = Καθηγητής Φραγκίσκος Καλαβάσης Πανεπιστήμιο Αιγαίου

… δόθηκαν οι παρακάτω εσφαλμένες απαντήσεις *: A. 2,3 + 2,3 = 4,6 Β. 2,5 + 2,6 = 2,11 (2,3)² = 4,9 2,5 x 2,6 = 4, 30 C. 0,7 + 0,8 = 0,15D.0,3 + 0,5 = 0,8 0,7 x 0,8 = 0,560,3 x 0,5 = 0,15 Σε πολλά γραπτά υπήρχαν και οι τέσσερις απαντήσεις. –Με άριστα το 10, τι βαθμό θα βάζατε σε καθεμία από τις παραπάνω απαντήσεις; –Πού νομίζετε ότι οφείλεται καθεμία από τις απαντήσεις; –Με ποια διδακτική παρέμβαση θα βοηθούσατε το μαθητή στην κάθε περίπτωση; ΕΠΕΔΙΜ/ Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ/ Φεβρουάριος 2014 Καθηγητής Φ.Καλαβάσης, Πανεπιστήμιο Αιγαίου ομαδική εργασία 1 η /3

Σε πρόσφατη έρευνα * σε μαθητές χρονών δίνεται πως η τιμή ενός προϊόντος αυξάνεται 20% κάθε χρόνο σε σχέση με τον προηγούμενο και οι μαθητές καλούνται να αποφανθούν αν ο διπλασιασμός της τιμής θα γίνει: •Α. σε λιγότερο από 5 χρόνια •Β. σε 5 χρόνια ακριβώς •Γ. σε περισσότερο από 5 χρόνια. –Με άριστα το 10, τι βαθμό θα βάζατε σε καθεμία από τις παραπάνω απαντήσεις; –Πού νομίζετε ότι οφείλεται καθεμία από τις απαντήσεις; –Με ποια διδακτική παρέμβαση θα βοηθούσατε το μαθητή στην κάθε περίπτωση; * ΕΠΕΔΙΜ/ Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ/ Φεβρουάριος 2014 Καθηγητής Φ.Καλαβάσης, Πανεπιστήμιο Αιγαίου ομαδική εργασία 2η/3

Τοποθετείστε σε διάταξη τους παρακάτω αριθμούς : 4, ,3 - 4,06 Λανθασμένες απαντήσεις: •Α. 4,3 < 4,06 < 4,249 •Β. 4,249 < 4,06 < 4,3 •Γ. 4,06 < 4,3 < 4,249 –Με άριστα το 10, τι βαθμό θα βάζατε σε καθεμία από τις παραπάνω απαντήσεις; –Πού νομίζετε ότι οφείλεται καθεμία από τις απαντήσεις; –Με ποια διδακτική παρέμβαση θα βοηθούσατε το μαθητή στην κάθε περίπτωση; * IUFM des Versailles / Dr. Ben Kilani Imed ΕΠΕΔΙΜ/ Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ/ Φεβρουάριος 2014 Καθηγητής Φ.Καλαβάσης, Πανεπιστήμιο Αιγαίου ομαδική εργασία 3η/3

= ή αλλιώς 2,9 + 4,2 = 3,4 + 3,7 1.τα πειραματικά δεδομένα: κατάταξη, διάγνωση, παρέμβαση 2.οι διαφορές που κάνουν τη διαφορά 3.το μετακινούμενο αξιακό πλαίσιο 4.η ένωση των φαινομενικά ασύνδετων 5.η πολυπλοκότητα εκείνου που συμβαίνει 6.η διεπιστημονικότητα και ο αναστοχασμός στην εκπαίδευση

Τα πειραματικά δεδομένα: κατάταξη, διάγνωση, παρέμβαση πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα Τα μαθηματικά, η ιστορικότητα της γνώσης και της μάθησης στις εκφράσεις, στις κρυφές και φανερές συμβάσεις στους στόχους, στις προσδοκίες μας και στις προσδοκίες των άλλων από εμάς και …. από τα μαθηματικά οι διαδρομές της μάθησης … ο Μένων.. {εμπειρία, απορία, θεωρία}.. πώς γίνονται πορείες της διδασκαλίας ; ΟΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ

7 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ! πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα 1/n Βαθμολογία, ερμηνεία, παρέμβαση …διδακτικές αποφάσεις… ΟΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ !

λάδι σε νερό ζεστό / κρύο Υποκειμενικές: δε γίνονται αντιληπτές απ’ όλους με τον ίδιο τρόπο. (συμβάσεις) Επιλογές  λήψη αποφάσεων Πχ -Θα το μηδενίσω επειδή είναι τελείως λάθος -Θα το περάσω γιατί αν και λάθος έχει μια σωστή λογική -Δεν μπορεί να απαντάει στο ένα σωστά και στο άλλο λάθος, άρα… «ύποπτος αντιγραφής» 8 Αντικειμενικές (υπό προϋποθέσεις …) ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα 1/n ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ

9 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ οι taxi cab numbers πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα 1/n ΟΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ οι taxi cab numbers G.H.Hardy : ο αριθμός κυκλοφορίας του taxi ήταν 1729 ένας μάλλον αδιάφορος αριθμός, ελπίζω να μη είναι κακός οιωνός S. Ramanuyan :Όχι, είναι πολύ ενδιαφέρων αριθμός, είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους : 1729 = =

10 «σκεφτόμαστε πάντα μέσα σε μοντέλα» Paul Valery René Magritte "La Trahison des Images" ("The Treachery of Images") (1928-9) Είναι μια ένωση που υπαινίσσεται το θεμελιώδες μυστήριο του κόσμου. Η τέχνη για μένα δεν είναι αυτοσκοπός, αλλά ένα μέσο που θυμίζει το μυστήριο. (περί της παράθεσης φαινομενικά άσχετων αντικειμένων)

Ο χάρτης δεν είναι ποτέ η πραγματικότητα πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα 2/n η πραγματικότητα, οι περιγραφές της, … οι πραγματικότητες ! ! Ο χάρτης δεν είναι ποτέ η πραγματικότητα Παράδειγμα: Ποιες διαφορές απεικονίζει ένας γεωγραφικός χάρτης; Bateson G. (1972).  απεικονίζουμε μόνο τα πολιτικά-γεωγραφικά όρια που κάνουν τη διαφορά  επιλέγουμε τις «πιο σημαντικές» των διαφορών, … (υψόμετρο, βλάστηση…) 11 …. Συνδ(θ)έσεις …. Μαθαίνουμε εμβαθύνοντας τη σκέψη μας αλλά και μέσα από τη σκέψη των άλλων Etienne Klein

πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΤΙΣ ΑΠΟΡΙΕΣ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΥΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΥΝ Οι δακτύλιοι Borroméo δεσμός Brunn (1892) ή Milnor (1954) στη θεωρία των κόμβων και στον Lacan {Εμπειρία, απορία, θεωρία} Αλληλο-πλοκή - τροφοδότηση και - νοηματοδότηση Αν βγει η απορία, οι {εμπειρία, θεωρία} μένουν ασύνδετες, ασύμβατες αδιάφορες …μερικής σημασίας

Οι αναγνώστες/ στριες Λονδρέζικης εφημερίδας έπρεπε να εκλέξουν τα 6 πιο όμορφα πρόσωπα από 100 πορτρέτα, αλλά νικητής/τρια ήταν εκείνος/η που οι προτιμήσεις του/της ήταν πιο κοντά στις μέσες προτιμήσεις του συνόλου των αναγνωστών και αναγνωστριών. Ο Keynes ήθελε να δείξει πως οι χρηματιστηριακοί επενδυτές, όπως οι αναγνώστες, δεν πρέπει να επιλέγουν εκείνο που βρίσκουν προσωπικά πιο ελκυστικό, αλλά να οδηγούνται από τις προβλέψεις για τη συμπεριφορά των άλλων John Maynard Keynes (1936, The General Theory of Employment, Interest and Money) πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα 3/n «σκεφτόμαστε πάντα μέσα σε μοντέλα» Paul Valery «Ο διαγωνισμός ομορφιάς του Κέϋνς»

Ο «διαγωνισμός ομορφιάς» στη θεωρία παιγνίων και ως παιχνίδι σε τάξη μαθηματικών 1η/3 Κάθε μαθητής να σημειώσει έναν αριθμό μεταξύ 0 και 100. Νικητής, όποιος έχει σημειώσει τον πλησιέστερο στο ήμισυ της μέσης τιμής όλων των σημειωμένων αριθμών (p-beauty contest game, Moulin, Herve (1986). Game Theory for the Social Sciences (2nd ed.). New York: NYU Press.) Παράδειγμα από Nicolas Eber, Université Robert Schuman – Strasbourg 3 ( )

Το παιχνίδι συνήθως επαναλαμβάνεται έως 4 φορές Ο διαγωνισμός ομορφιάς ως παιχνίδι σε τάξη μαθηματικών 2η/3

Ο διαγωνισμός ομορφιάς περίοδοςμ/τ Τάξης Α μ/τ Τάξη Β μ/τ Τάξη Γ μ/τ Τάξη Δ 1η1η 23,733,224,227,0 2η2η 10,0912,110,211,1 3η3η 5,33,82,43,8 4η4η 8,113,00,47,2 Μοναδικό σημείο ισορροπίας Nash Να επιλέξουν όλοι 0 Ο διαγωνισμός ομορφιάς ως παιχνίδι σε τάξη μαθηματικών 3η/3

Διεπιστημονικές συμβολές και όρια μεταξύ εκπαίδευσης-παιδείας: σύνορα και διαπερατότητες ή …. τα μέρη, το όλον και οι αμοιβαίοι μετασχηματισμοί τους •Η θεωρία μοντελοποιεί μαθησιακές ή διδακτικές καταστάσεις, που είναι πιο πολύπλοκες από κάθε μοντέλο. •Η επίγνωση της διελκυστίνδας ανάμεσα στο μοντέλο και στο φαινόμενο επιτρέπει την επιστημολογική – διεπιστημονική πρόσβαση σε πιο πολύπλοκα μοντέλα. •Η νοημοσύνη αυτών των καταστάσεων –δεν περιορίζεται στη νοημοσύνη των πρωταγωνιστών ή των μερών –ούτε στη νοημοσύνη των μεταξύ τους αλληλεξαρτήσεων ή του όλου •Αλλά στη σύνδεση των παραπάνω μεταξύ τους στο πλαίσιο ενός συστήματος και στην αλληλεπίδραση του συστήματος με το περιβάλλον του

Το πλαίσιο των ενδογενών σχέσεων του μαθητή (Μ) επηρεάζεται από το πλαίσιο των σχέσεων που αναπτύσσει η Εκπαιδευτική Μονάδα (ΕΜ). Το πεντάγωνο είναι αυτό-όμοιο: Κάθε μετασχηματισμός του εξωτερικού επηρεάζει το εσωτερικό και αντίστροφα Μ - αυτό, έτερο εκτίμηση Μ - γνώση Μ – οικογένεια Μ - κοινωνία Μ- Σχολείο ΕΜ – εκπ. σύστημα ΕΜ – εσωτ.,εξωτ. σχέσεις Ταυτότητα ΕΜ - επιστημονική γνώση ΕΜ-κοινωνία ΕΜ-οικογένεια

–ένα έργο, όσο απλό κι αν φαίνεται, έχει ενσωματωμένα τα άρρητα σχήματα, τα αντιληπτικά πεδία και την ιστορικότητα του υποκειμένου. –Ο εκπαιδευτικός μετασχηματισμός (educational transposition) δεν είναι μόνο εννοιο-εκφραστικός αλλά και μετασχηματισμός συνθηκών (λειτουργιών και σχέσεων) Από τη Μαθηματική εκπαίδευση στη Μαθηματική παιδεία. Κοινωνικά και παιδαγωγικά ζητήματα πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα

Διεπιστημονικές συμβολές και όρια μεταξύ εκπαίδευσης-παιδείας: το αναγκαίο, το αδύνατον και η σημασία της διδασκαλίας : •0,3 x 0,5 = 0,15 αλλά 0,3 x 0,2 = 0,6 •Πχ 1. ένας καλός οδηγός, ένα καλό αυτοκίνητο, ένα γλιστερό περιβάλλον (…) •Πχ 2. οι οδηγίες του υδραυλικού του εργοστασίου (Vergnaud)

Η παιδεία της εκπαίδευσης Μεταβλητότητα (συνέχειες, ασυνέχειες) των εσωτερικών λειτουργιών και των εξωτερικών σχέσεων, περιεχομένων, εκφράσεων, σημασιών, ιεραρχήσεων, … •ανατροπή του επιστημολογικού τοπίου (έννοιες, διαδρομές, πεδίο προβλημάτων, συμβάσεις) •των αξιών και των ταυτοτήτων, των μαθησιακών προφιλ (πολιτισμικές, οργανωσιακές, εκπαιδευτικές συνθήκες) •η πολυπλοκότητα και η σημασία της περιγραφής της (διαφορές που κάνουν τη διαφορά, νοηματοδοτήσεις διδακτικές αποφάσεις,) τα πάντα ρει πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα τα πάντα ρει

Η εκπαίδευση έχει σήμερα να διαχειριστεί μια νέα σύνθεση •ένα νέο επιστημολογικό τοπίο με περισσότερες συνδέσεις και λιγότερους διαχωρισμούς μεταξύ των επιστημών, •μια διαφορετική επικοινωνιακή ποιότητα και ποσότητα • με έντονα τεχνολογικά και ψηφιακά χαρακτηριστικά •μια ποικιλία μαθητικών πληθυσμών και γνωστικών προφίλ με έντονο πολιτισμικό και ψυχολογικό χρώμα •ένα αλληλοεπηρεαζόμενο τοπικό, ευρωπαϊκό και παγκοσμιοποιημένο περιβάλλον αναφοράς και ταυτότητας του σύγχρονου πολίτη. Από τη Μαθηματική εκπαίδευση στη Μαθηματική παιδεία. Κοινωνικά και παιδαγωγικά ζητήματα πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα

Αυτό όμως απαιτεί: από το σχολείο να κοιτάξει έξω από τα τείχη του από τον κάθε εκπαιδευτικό να κοιτάξει έξω από την ασφάλεια του γνωστικού του πεδίου, και να έχει συνεχώς υπόψη του ότι ο μαθητής δεν έρχεται στο σχολείο «μαθηματικά και εκπαιδευτικά παρθένος» (tabula rasa), αλλά με δεδομένες, βιωμένες αντιλήψεις… «παιδί» ούτε ο ίδιος ο εκπαιδευτικός «εκπαιδευτικά και μαθηματικά παρθένος», αλλά με στερεότυπα, βιώματα και αντιλήψεις για …. «διαφορές που …κάνουν τη διαφορά» Πανεπιστήμιο Κύπρου – Σεμινάριο στη ΔτΜ – Διάλεξη 1 η Νέες Διαστάσεις 3/3 Από τη Μαθηματική εκπαίδευση στη Μαθηματική παιδεία. Κοινωνικά και παιδαγωγικά ζητήματα πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα: …. τα μέρη, το όλον, τα μέσα, τα έξω ….

24 the school unit must observe herself as it builds, both inside and outside, “wonderland” bridges with social networks René Magritte Not to be Reproduced (La reproduction interdite, 1937) πολύπλοκες σχέσεις σε πολλαπλά επίπεδα: …. τα μέρη, το όλον, τα μέσα, τα έξω …. Η σχολική μονάδα να κοιτάει τον εαυτό της να διακρίνει τις διαφορές να αναστοχάζεται και να μετασχηματίζεται μαζί τους

ΕΠΕΔΙΜ/ Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ/ Φεβρουάριος 2014 «Από τη Μαθηματική εκπαίδευση στη Μαθηματική παιδεία. Κοινωνικά και παιδαγωγικά ζητήματα» οπότε … πώς, πότε και για ποιούς είναι όπως 2,9 + 4,2 = 3,4 + 3,7 ? Σας ευχαριστώ ! = Καθηγητής Φραγκίσκος Καλαβάσης Πανεπιστήμιο Αιγαίου