Γενικό Λύκειο Κορώνης Μεσσηνίας SIERPINSKI CARPET- ΛΟΓΟΣ, ΓΕΝΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ, ΑΘΡΟΙΣΜΑ ν ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟΔΟΥ Γενικό Λύκειο Κορώνης Μεσσηνίας Ομάδα ανάπτυξης Ζώης Βλάχος, Μαθηματικός   ΚΟΡΩΝΗ, 22-03-2018

Στο σενάριο αυτό διαπραγματευτήκαμε την έννοια της γεωμετρικής προόδου μέσα από ένα αυτοόμοιο σχήμα (fractal), το χαλί του Sierpinski. Το χαλί του Sierpinski χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση του σταθερού λόγου και του γενικού τύπου μιας ακολουθίας γεωμετρικής προόδου, καθώς και για το άθροισμα των ν πρώτων όρων της τα αναμενόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Για την εργασία αυτή, αλλά και ως γενικότερη αντίληψη, ο ρόλος των εικασιών στην ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης είναι πολύ σημαντικός. Οι μαθητές κλήθηκαν να εικάσουν τους γενικούς τύπους που προκύπτουν από την επαναληπτική διαδικασία που διέπει τα fractals και να τους εφαρμόσουν για κάποιες τιμές, αλλά και για άπειρα βήματα. Μερικές από τις δυσκολίες που εμφάνισαν οι μαθητές έχουν να κάνουν με επιστημολογικά εμπόδια για την έννοια του απείρως μεγάλου και του απείρως μικρού, καθώς και εμπόδια που έχουν να κάνουν με την αποτυχία σύνδεσης γεωμετρίας και αριθμών. Η διαπίστωση από τους μαθητές ότι το κλασματικό εμβαδόν των μπλε τετραγώνων διαμορφώνεται σιγά-σιγά και τείνει να καθιερωθεί σε έναν γενικό τύπο, του οποίου όμως η ορθότητα προήλθε από την παρέμβαση του καθηγητή. Όμοια, αλλά με περισσότερη βοήθεια στην εύρεση της περιμέτρου της μπλε επιφάνειας. Η διαπίστωση ότι το εμβαδόν του σε άπειρα βήματα μηδενίζεται και ταυτόχρονα η περίμετρός του απειρίζεται, αυτό το οξύμωρο σχήμα που παρουσιάζεται, εντυπωσίασε και προσέφερε τροφή για περαιτέρω συζήτηση ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Περιγράψτε: Εύρεση εμβαδού μπλε τετραγώνων, εύρεση πλήθους μπλε και λευκών τετραγώνων και εύρεση περιμέτρου μπλε επιφάνειας Λογισμικό Geogebra Οι μαθητές σε ομάδες, χρησιμοποιώντας Νέες Τεχνολογίες, μπόρεσαν να εικάσουν τους γενικούς τύπους Γεωμετρικής Προόδου ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Διδακτικοί στόχοι Στόχοι σχετικοί με το γνωστικό αντικείμενο: Διερεύνηση ακολουθίας με σταθερό λόγο διαδοχικών όρων και εύρεση γενικών τύπων Γεωμετρικής Προόδου Στόχοι σχετικοί με δεξιότητες που αφορούν στο γνωστικό αντικείμενο: Ανάπτυξη εικασίας Στόχοι σχετικοί με τη χρήση της τεχνολογίας: Χρήση μαθηματικού λογισμικού Geogebra Στόχοι σχετικοί με τις κοινωνικές δεξιότητες (π.χ. διαπραγμάτευση, συνεργασία, διάλογος, ενσυναίσθηση, συμμετοχή σε ομάδα, ανάληψη ρόλων, κ.λπ.) : Εφαρμογή ομαδοσυνεργατικής μεθόδου ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Περιβάλλον – Πλαίσιο Αξιοποιήθηκαν οι 3 από τις 4 διδακτικές ώρες που προβλέπεται από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών στο κεφάλαιο των Προόδων, στην παράγραφο Γεωμετρική Πρόοδος. Τα φύλλα εργασίας δόθηκαν στο εργαστήριο της Πληροφορικής. Ηλικιακή ομάδα 18 μαθητές της Α Λυκείου φύλο/κατανομή 12 αγόρια και 6 κορίτσια Ελληνική εθνικότητα Αγροτική περιοχή με αρκετά μεγάλη τουριστική ανάπτυξη για κάποιους μήνες το καλοκαίρι. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Πρότερες γνώσεις Η σχέση που είχαν οι μαθητές με τα Fractals, αυτή έγινε αρχικά δια μέσου μιας άσκησης που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο Η σχέση που είχαν με το αντικείμενο της πληροφορικής και τους Η/Υ μπορεί να χαρακτηριστεί αρκετά ικανοποιητικό Διάρκεια εφαρμογής 1 εβδομάδα με 3 διδακτικές ώρες/εβδομάδα. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ #: [Εμβαδόν Μπλε Τετραγώνων] Διάρκεια: 1 διδακτική ώρα Είδος δραστηριότητας: Προσομοίωση Οργάνωση τάξης: εργασία σε ομάδες 3 ατόμων Ρόλος του διδάσκοντα: Διδακτικός, ενθαρρυντικός, υποστηρικτικός, συμβουλευτικός. Σύνδεση με τον διδακτικό στόχο: Διερεύνηση ακολουθίας με σταθερό λόγο διαδοχικών όρων και εύρεση γενικού τύπου γεωμετρικής προόδου. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Περιγραφή δραστηριότητας: 1.Ανοίξτε το συνοδευτικό αρχείο .ggb  του Geogebra με όνομα Sierpinski Carpet. 2.Θεωρείστε ότι το αρχικό μπλε τετράγωνο έχει εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα (E1=1) και κατόπιν μετακινείστε τον δρομέα για ν=2 .Το εμβαδόν των μπλε τετραγώνων γίνεται E2=8/9 . 3.Μετακινείστε τον δρομέα για ν=3. Το εμβαδόν των μπλε τετραγώνων τώρα είναι E3=64/81=(8/9)2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ 4.Αν μετακινήσετε τον δρομέα για ν=4, μπορείτε να βρείτε το E4; 5.Μήπως θα μπορούσατε να γράψετε το E4 σαν δύναμη του 8/9; 6.Ποιος είναι ο λόγος λ=E4/E3; Ποιος ο λόγος λ=E3/E2; Ποιος ο λόγος λ=E2/E1; Τι παρατηρείτε; Σχόλιο: Τον αριθμό λ=8/9 τον ονομάζουμε λόγο της προόδου και για την ακολουθία αυτή ισχύει Eν+1=Eν8/9 ή Eν+1/Eν=8/9. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ 7.Μήπως θα μπορούσατε να εικάσετε ποιος είναι ο γενικός τύπος με τον οποίο μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν για οποιαδήποτε τιμή του ν; 8.Ποιο νομίζετε ότι θα είναι το εμβαδόν του «διάτρητου» τετραγώνου μετά από άπειρες επαναλήψεις; (Η απάντηση είναι προαιρετική). ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Τα αποτελέσματα της δραστηριότητας θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν ενθαρρυντικά. Οι μαθητές στα 2 πρώτα βήματα μετρούσαν τα νέα τετράγωνα που προέκυπταν, στη συνέχεια όμως κατανόησαν τη λογική που διέπει το εν λόγω σχήμα και απαντούσαν στην πλειοψηφία τους αυτόματα στα τελευταία ερωτήματα. Οι πιο «καλοί» μαθητές έδωσαν απευθείας την απάντηση για το γενικό τύπο. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Περιγραφή δραστηριότητας: 1.Ανοίξτε το συνοδευτικό αρχείο .ggb  του Geogebra με όνομα Sierpinski Carpet. Να θεωρήσετε ότι η πλευρά του τετραγώνου έχει μήκος 1 μονάδα και να συμπληρώσετε στον πίνακα που ακολουθεί την περίμετρο του μπλε τετραγώνου. Πόσα μπλε τετράγωνα έχουμε και πόσα άσπρα; 2.Μπορείτε να γράψετε σαν δύναμη του 8 το πλήθος των μπλε τετραγώνων; Να υπολογίσετε το άθροισμα των μπλε και άσπρων τετραγώνων και να συμπληρώσετε τον πίνακα. 3.Να μετακινήστε τον δρομέα για ν=2. Πόσα μπλε τετράγωνα έχουμε τώρα και πόσα άσπρα; Να γράψετε σαν δύναμη του 8 τα μπλε τετράγωνα και τα άσπρα τετράγωνα και να συμπληρώσετε τον πίνακα. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ 4.Να βρείτε το άθροισμά τους και να το συμπληρώσετε στην 4η στήλη (πλήθος μπλε και άσπρων τετραγώνων). Ποια είναι η νέα περίμετρος της μπλε επιφάνειας; (δείτε ότι η περίμετρος υπολογίζεται από τα νέα άσπρα τετράγωνα που δημιουργούνται). 5.Να μετακινήστε τον δρομέα για ν=3. Πόσα νέα μπλε και πόσα νέα άσπρα τετράγωνα εμφανίστηκαν; Να γράψτε σαν δύναμη του 8 τα νέα μπλε τετράγωνα και τα νέα άσπρα τετράγωνα και να συμπληρώσετε τον πίνακα. Ποια είναι τώρα η νέα περίμετρος της μπλε επιφάνειας; 6.Μπορείτε να βρείτε έναν γενικότερο κανόνα για το πλήθος των μπλε, το πλήθος των άσπρων; Να γράψτε τους τύπους στην τελευταία γραμμή του πίνακα. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ 7.Να μετακινήστε τον δρομέα για ν=4 και να επαναλάβετε τα προηγούμενα βήματα. 8.Να παραγοντοποιήστε κατάλληλα το άθροισμα που βρίσκετε για την περίμετρο. Αρχικά να θεωρήσετε κοινό παράγοντα το 4 και κατόπιν, μέσα στην αγκύλη το 1/3, όπως στο παράδειγμα, ώστε για ν=4 να γίνει ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ 9. Να επαναλάβετε τη διαδικασία μετακινώντας το δρομέα για ν=5. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ 10. Χρησιμοποιώντας τους γενικούς τύπους που γράψατε στον πίνακα μπορείτε να βρείτε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη 6η , 7η, 10η επανάληψη; 11. Μπορείτε να φανταστείτε πόσο μεγάλο γίνεται το πλήθος των τετραγώνων, όταν η διαδικασία επαναληφθεί άπειρες φορές και πόση είναι η περίμετρος του αρχικού τετραγώνου μετά την άπειρη "διάτρηση" του από τα τετράγωνα που θα έχουν αφαιρεθεί από μέσα του; Σχόλιο: Η απάντηση στην τελευταία ερώτηση είναι προαιρετική. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Εξίσου ενθαρρυντικά. Οι μαθητές έχοντας την πρότερη εμπειρία με την επαναληπτική διαδικασία των fractals στην πρώτη δραστηριότητα κατάφεραν να προσεγγίσουν αρκετά πιο εύκολα το γενικό τύπο που τους ζητήθηκε. Μια μικρή δυσκολία που παρουσιάστηκε είχε να κάνει με την παραγοντοποίηση που έπρεπε να γίνει ώστε να προσεγγιστεί η περίμετρος του τετραγώνου και να εμφανιστεί το άθροισμα των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου. Η παρέμβαση όμως που γίνονταν μέσα στο φύλλο εργασίας και με τη βοήθειά μου ήταν καταλυτική η αποσαφήνιση της μεθόδου που ακολουθήθηκε. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ανοιχτησ εκπαιδευτικησ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Σε περίπτωση που επιθυμείτε να συμπεριλάβετε μία εικόνα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μορφοποίηση.

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - ΑΝΤΙΚΤΥΠΟΣ Στο πρώτο φύλλο εργασίας οι μαθητές στο 1ο βήμα έπρεπε να συνδεθούν με το αποθετήριο έργων του Geogebra Tube. Η πρώτη εικόνα που αντίκρισαν είναι ένα τετράγωνο μπλε χρώματος και έναν δρομέα ο οποίος μετακινείται ως το νούμερο 6 (βήμα 6). Στο 1ο βήμα θεωρούμε ότι το αρχικό μπλε τετράγωνο έχει εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα E1=1 και κατόπιν οι μαθητές μετακινούν το δρομέα για ν=2. Η πρώτη διαπίστωση που έκαναν ήταν η διαίρεση του τετραγώνου σε 9 μέρη εκ των οποίων το μεσαίο έχει λευκό χρώμα, οπότε εύκολα εξακρίβωσαν ότι το κλασματικό εμβαδόν των μπλε τετραγώνων γίνεται E2=8/9. Στην προτροπή να μετακινήσουν το δρομέα στην επόμενη θέση και να διαπιστώσουν ότι το μπλε μέρος έχει ξαναδιαιρεθεί, όπως πριν, σε 9 μέρη το καθένα με το μεσαίο να γίνεται λευκό και να διαπιστώσουν ότι ο κλασματικό εμβαδόν των μπλε τετραγώνων τώρα είναι E3=64/81=(8/9)2, κάποιοι από τους μαθητές άρχισαν να μετρούν είτε ένα-ένα είτε με πολλαπλασιασμό τα νέα μπλε τετράγωνα που δημιουργήθηκαν και συμφώνησαν όλοι οι μαθητές με τα δεδομένα που τους δίνονταν στο φύλλο εργασίας για το Ε3. Η μετατροπή του κλάσματος 64/81 σε (8/9)2 μέσα στο φύλλο εργασίας βοήθησε στο γεγονός να εξάγουν το αποτέλεσμα εύκολα των επόμενων ερωτήσεων (βήματα 4 και 5) από όλες τις ομάδες των μαθητών ότι το κλασματικό εμβαδόν θα γίνει (8/9)3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - ΑΝΤΙΚΤΥΠΟΣ

Κάποιοι βέβαια μαθητές προσπάθησαν να μετρήσουν ένα-ένα τα νέα τετράγωνα που δημιουργήθηκαν αλλά αμέσως απογοητεύθηκαν από το μεγάλο πλήθος τους και με την προτροπή των συμμαθητών της ομάδας τους υπολόγισαν με τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού τον αριθμητή και τον παρανομαστή του κλάσματος. Στο σημείο αυτό δόθηκε από εμένα η ελευθερία να χρησιμοποιήσουν την αριθμομηχανή του Η/Υ για τον ευκολότερο υπολογισμό των δυνάμεων. Κατόπιν, για την εύρεση του γενικού τύπου του κλασματικού εμβαδού των μπλε τετραγώνων, αφού αφέθηκε λίγος χρόνος ώστε οι μαθητές να παρατηρήσουν από τα προηγούμενα βήματα τη σχέση που έχουν τα βήματα της πρώτης στήλης με τις δυνάμεις, κάποιος μαθητής προέτρεξε δίνοντας λάθος απάντηση. Χαρακτηριστικά είπε: «ο γενικός τύπος που ψάχνουμε είναι (8/9)ν» φτάνοντας πολύ κοντά στην αναμενόμενη απάντηση. Μετά την συμβουλή μου, όμως, να προσέξουν λίγο περισσότερο στη σχέση που έχουν το ν (βήμα) με το δείκτη του εμβαδού (Εν) σε κάθε βήμα, αρκετοί μαθητές σήκωσαν το χέρι τους να πουν τη γνώμη τους και ο πρώτος που απάντησε έδωσε και τη σωστή απάντηση. Οι υπόλοιποι μαθητές συμφώνησαν μαζί του.

Στο τέλος του πρώτου φύλλου εργασίας γράψαμε στον πίνακα και οι μαθητές στο τετράδιό τους τα παρακάτω συμπεράσματα:

Το 2ο φύλλο εργασίας ζητούσε την εύρεση της ακολουθίας, του λόγου και του γενικού τύπου της γεωμετρικής προόδου του πλήθους των μπλε και λευκών τετραγώνων και της περιμέτρου της μπλε επιφάνειας. Χάρη στη διαίρεση που πραγματοποιεί εύκολα στο υπάρχον τετράγωνο το μαθηματικό λογισμικό μετακινώντας το δρομέα σε κάθε βήμα και με τη βοήθεια που παρείχε το φύλλο εργασίας μέχρι και το 4ο βήμα, το σύνολο των μαθητών κατάφεραν να βρουν το πλήθος των συνολικών τετραγώνων σε κάθε βήμα. Ένας μαθητής από κάθε τμήμα ανέλαβε να αναφέρει την ακολουθία που δημιουργείται, το λόγο της και το γενικό της τύπο.

Στο τέλος του δεύτερου φύλλου εργασίας γράψαμε στον πίνακα και οι μαθητές στο τετράδιό τους τα παρακάτω συμπεράσματα:

Και

Η κατασκευή του συγκεκριμένου σχήματος προβλημάτισε τους μαθητές από τα πρώτα του βήματα. Η συνεχής διάτρισή του και η επαναληπτική διαδικασία που το διέπει, το κάνει να φαντάζει κάτι το ιδιαίτερο και μοναδικό. Έτσι, η διαπίστωση ότι το εμβαδόν του σε άπειρα βήματα μηδενίζεται και ταυτόχρονα η περίμετρός του απειρίζεται, αυτό το οξύμωρο σχήμα που παρουσιάζεται, εντυπωσίασε και προσέφερε τροφή για περαιτέρω συζήτηση. ΑΠΡΟΣΜΕΝΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΕ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΑ Στα κυριότερα σημεία που έγινε αισθητή η παρέμβασή μου ήταν στην προτροπή μου να μετακινήσουν το δρομέα στην επόμενη θέση και να διαπιστώσουν ότι το μπλε μέρος έχει ξαναδιαιρεθεί, όπως πριν, σε 9 μέρη το καθένα με το μεσαίο να γίνεται λευκό και να διαπιστώσουν ότι το εμβαδόν των μπλε τετραγώνων στο 2ο βήμα είναι E2=64/81=(8/9)2. Όταν κάποιοι από τους μαθητές άρχισαν να μετρούν ένα-ένα τα νέα μπλε τετράγωνα που δημιουργήθηκαν, τότε με τη δική μου παρέμβαση, οι μαθητές άρχισαν να «ανακαλύπτουν» τη λογική της επανάληψης. Το ίδιο επαναλήφθηκε σε όλες τις περιπτώσεις όπου εμφανίζονταν η γεωμετρική πρόοδος, ενώ κατά την εύρεση του γενικού τύπου της περιμέτρου, η παρέμβασή μου ήταν καταλυτική, καθώς οι μαθητές ήταν αρκετά δύσκολο να φτάσουν μέχρι την τελική μορφή του γενικού της τύπου. Εκεί έπρεπε να επιστρατεύσω το καθαρά μαθηματικό κομμάτι, ώστε οι μαθητές να οδηγηθούν στο αναμενόμενο αποτέλεσμα. ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΕ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΑ

ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΑΛΛΕΣ ΑΝΟΙΧΤΕΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Η συγκεκριμένη πρακτική συγκεντρώνει καινοτόμες μεθόδους τόσο στο μαθηματικό της μέρος όσο και στον τρόπο εμπλοκής των μαθητών με ΤΠΕ. Παρουσιάζει ένα ενδιαφέρον τομέα των Μαθηματικών, τα fractal σχήματα, με ένα αναπτυσσόμενο λογισμικό, το Geogebra. Η εκπαιδευτική αυτή πρακτική συμπληρώνει την αντίστοιχη που υπάρχει στην πλατφόρμα Αίσωπος, η οποία ασχολείται με το τρίγωνο Sierpinski. Αυτή μπορούμε να τη βρούμε στον παρακάτω ιστότοπο: http://aesop.iep.edu.gr/senaria?search_api_views_fulltext=%CE%93%CE%B 5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA% CE%AE&sort_by=field_ekp_vathm&sort_order=ASC ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΑΛΛΕΣ ΑΝΟΙΧΤΕΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ

ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΥΛΙΚΟ ΠΟΥ ΑΞΙΟΠΟΙΗΘΗΚΕ Πρόσθετο υλικό που αξιοποιήθηκε Αναφορά σε άλλο υλικό που αξιοποιήθηκε. Βιβλία Σχολικό βιβλίο Άλγεβρας Α Λυκείου Websites Ψηφιακή πλατφόρμα Αίσωπος, http://aesop.iep.edu.gr/senaria?search_api_views_fulltext=%CE%93%CE%B5%CF %89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE&sort_by=fi eld_ekp_vathm&sort_order=ASC Geogebra tube, http://tube.geogebra.org/m/1699095 Λογισμικό Geogebra ΠΡΟΣΘΕΤΟ ΥΛΙΚΟ ΠΟΥ ΑΞΙΟΠΟΙΗΘΗΚΕ