Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Κατεύθυνση : Θετικές Επιστήμες και Νέες Τεχνολογίες. Μάθημα : Σύγχρονα θέματα διδακτικής των Μαθηματικών. Εξάμηνο : Γ ’ Καθηγητής : κος Λεμονίδης Χαράλαμπος Φοιτήτρια : Αντωνιάδου Ελένη, ΑΕΜ 437 Ακαδημαϊκό έτος

« Ιστορική έρευνα των νοερών υπολογισμών »

Περιεχόμενα Αριθμητικοί υπολογισμοί. ◦ Είδη υπολογισμών.  Γραπτοί υπολογισμοί.  Νοεροί υπολογισμοί.  Αξία νοερών υπολογισμών. Σταθμοί νεοελληνικής εκπαίδευσης - νοερών υπολογισμών. ◦ Ανάλυση σταθμών. Γενικά συμπεράσματα. Βιβλιογραφία.

Αριθμητικοί υπολογισμοί Οι αριθμητικοί υπολογισμοί είναι οι αριθμητικές πράξεις που πραγματοποιούνται προκειμένου να φτάσουμε σε κάποιον αριθμό - αποτέλεσμα. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί διακρίνονται σε : Γραπτούς ή αλγορίθμους. Νοερούς. Υπολογισμούς με ηλεκτρονικές συσκευές. ( Αποστολόπουλος, 1995 ̇ Λεμονίδης, 2013)

Είδη υπολογισμών Γραπτοί υπολογισμοί είναι αυτοί που εκτελούνται γραπτά, με χαρτί και μολύβι. Κατά την εκτέλεση τους : συνήθως ακολουθούνται προδιαγεγραμμένα βήματα - αριθμητικές πράξεις, οι μαθητές καλούνται να απομνημονεύσουν. Κυριάρχησαν στην εκπαίδευση κατά τον προηγούμενο αιώνα, αλλά έντονη είναι η παρουσία τους και σήμερα.  Προηγούμενος αιώνας : επαναστατικό πνευματικό εργαλείο  δίνει την ευχέρεια σε κάθε άνθρωπο να υλοποιεί αριθμητικούς υπολογισμούς.  Σήμερα : αναχρονιστικό εργαλείο, προωθεί την απομνημόνευση συγκεκριμένων τύπων και κανόνων, εκτοπίζεται από την χρήση ηλεκτρονικών μέσων υπολογισμού.

Είδη υπολογισμών Νοεροί υπολογισμοί. Για την απόδοση του όρου χρησιμοποιούνται διάφοροι άλλοι όροι στην βιβλιογραφία ̇ « Αριθμητική με το Νου », « Νοητική Αριθμητική », « Νοερός Λογαριασμός » ( Αποστολόπουλος, 1995) ή, παλαιότερα, « λογαριασμοί από μνήμης », « προφορικοί λογαριασμοί » ( Σαφαρίκας, 1965), και, στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία, mental computation ή calculation, mental arithmetic, mental maths ( Λεμονίδης, 2013). Σε κάθε περίπτωση, αναφέρονται σε υπολογισμ ούς που : πραγματοποιούνται με το νου, συνήθως χωρίς την χρήση εποπτικών μέσων και χωρίς την αναγκαία ακολουθία αυστηρών βημάτων. Παρά την κυριαρχία των αλγορίθμων, στην ιστορία της εκπαίδευσης γίνεται συχνή αναφορά σε αυτούς, λόγω της αναγνώρισης των ωφελειών που παρέχουν στον άνθρωπο.

Αξία νοερών υπολογισμών Από τα βασικότερα πλεονεκτήματα χρήσης τους είναι τα εξής : Πρακτική ωφέλεια ( πάντα διαθέσιμοι και χρήσιμοι ). Αναγκαίο ένα εύχρηστο και οικονομικό εργαλείο υπολογισμού και όχι ευρηματικότητα και δημιουργική ανάπτυξη στρατηγικών ( Αποστολόπουλος, 1995). Άσκηση πνεύματος (« ευλυγισία, ταχύτητα, ασφάλεια » ( Σαφαρίκας, 1965:3)). Ανάπτυξη νοητικών ικανοτήτων. Συμβολή στην εκμάθηση μαθηματικών με ευχάριστο και διασκεδαστικό τρόπο ( αίσθηση αριθμού, γραπτοί αλγόριθμοι, λύση προβλημάτων, κατ ’ εκτίμηση υπολογισμοί ). ( Σαφαρίκας, 1965 ̇ Αποστολόπουλος,1995 ̇ Λεμονίδης, 2013)

Περιορισμένη έμφαση διαχρονικά Παρά της αναγνωρισμένης αξίας των νοερών υπολογισμών, διαχρονικά, δε δίνεται βαρύτητα σε αυτούς στην εκπαίδευση σε Ελλάδα και εξωτερικό. Η έρευνα ανάλογων εκπαιδευτικών ζητημάτων :  Εξωτερικό : ΄ 70,  Ελλάδα : ΄ 90, αν και προβληματισμοί τέθηκαν πολύ νωρίτερα. ( Αποστολόπουλος,1995)

Σταθμοί ελληνικής εκπαίδευσης - νοερών υπολογισμών Διατάγματα για οδηγίες προς εκπαιδευτικούς, οδηγός αλληλοδιδακτικής μεθόδου Κοκκώνη. 1 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών :  πρώτο ΑΠ για το Δημοτικό Σχολείο, 1894  πρώτο νομοθετικά κατοχυρωμένο ΑΠ. 2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά ( ). 1913, , 1977  ΑΠ,  curricula και 1928  διαγωνισμός Μαθηματικής Εταιρείας Ελλάδας ΔΕΠΠΣ 2003 και ΑΠ, βιβλία 2006.

Ανάλυση σταθμών : : Έμφαση στους νοερούς ( αξία και χρησιμότητα )  γραπτή και άγραφη μορφή αριθμητικής / πρακτική και θεωρητική.  Οι γραπτοί υπολογισμοί, μόνοι τους και χωρίς επεξήγηση  άχρηστοι και επίπονοι. Ωστόσο : παράγουν βέβαια αποτελέσματα και αξιοποιούνται σε ποικίλες και πολύπλοκες καταστάσεις.  Οι νοεροί υπολογισμοί  γυμνάζουν κριτική σκέψη, άμιλλα, κοινωνική ζωή.  Αναγκαιότητα διδασκαλίας των 2 ειδών.

Ανάλυση σταθμών : 1 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών ΑΠ 1894 ( Παπαμάρκος ): διαχωρισμός αριθμητικής στην « από στόματος λογιστική » και « γραπτή λογιστική » ( Λεμονίδης,2013:175). Νοεροί υπολογισμοί : προφορική αρίθμηση, ανάλυση και σύνθεση αριθμών, καθημερινά προβλήματα. Συμβάλλουν στην διατύπωση νοημάτων στον προφορικό λόγο καθαρά, καθώς και στην απόκτηση λογικής εμπειρίας, χρήσιμης για την καθημερινή ζωή.

Ανάλυση σταθμών : 1 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών Συμπερασματικά, από την ίδρυση του νεοελληνικού κράτους μέχρι και την 1 η περίοδο των Παραδοσιακών Μαθηματικών : Αναγνωρίζεται η μορφωτική και πρακτική αξία των νοερών υπολογισμών και επιχειρείται η αξιοποίηση τους στην εκπαίδευση. Ωστόσο, υπάρχει ελλιπής επιμόρφωση των εκπαιδευτικών σε θέματα, αλλά και περιεχόμενο διδασκαλίας. Έτσι, οι εργασίες των μαθητών πάντοτε γραπτές, αναφορά σε « αφηρημένους αριθμούς » και απουσία ενασχόλησης με προβλήματα καθημερινής ζωής.  Ο Κοκκώνης, στην Β ’ έκδοση του οδηγού της αλληλοδιδακτικής, εφιστά την προσοχή των εκπαιδευτικών στους νοερούς, η διδασκαλία των οποίων πρέπει να προηγείται.

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά :  Στα τρία ΑΠ (1913, , 1977), γίνεται σύντομη αναφορά στους νοερούς υπολογισμούς. Πχ : 1913: λύση προβλημάτων γραπτά και προφορικά, προφορική εύρεση του ½, ¼ κλπ διαφόρων αριθμών και 1969: άσκηση στην από μνήμης επίλυση προβλημάτων και ασκήσεων, στην κατά προσέγγιση εύρεση από μνήμης του αποτελέσματος μιας άσκησης κ. ά.  Στο πρόγραμμα ΄ 13 περιορίζονται οι νοεροί υπολογισμοί.  Στο πρόγραμμα του ΄ 69 πρώτη αναφορά σε προσεγγιστικούς υπολογισμούς.

Σε ό, τι αφορά στον τρόπο διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών την περίοδο αυτή, ενδιαφέρον παρουσιάζει το εγχειρίδιο του Σαφαρίκα (1965) με τίτλο « Μέθοδος λογαριασμών από μνήμης » που συγκεντρώνει δραστηριότητες και στρατηγικές. Ειδικότερα, αναφέρεται πως : Παρά την αναγνωρισμένη αξία τους για το πνεύμα των μαθητών, οι εκπαιδευτικοί δεν έχουν οδηγό για τη διδασκαλία τους. Εκτός από την άσκηση, σημαντική είναι και η « μέθοδος εργασίας » για την εκμάθηση τους. Δεν υπάρχει διαχωριστική γραμμή ανάμεσα σε γραπτούς και νοερούς. Ωστόσο « πρέπει να προηγηθεί επίπονη εργασία στους γραπτούς λογαριασμούς » καθώς « η διδασκαλία και η άσκηση στους λογαριασμούς από μνήμης είναι το τελευταίο στάδιο της διδασκαλίας » ( σελ 4).

Έτσι, στις μεθόδους : Αρχικά δίνεται έμφαση στην εξάσκηση σε λογαριασμούς στην πρώτη και έπειτα στην δεύτερη δεκάδα (  ευχέρεια για μεγάλους αριθμούς ). Οι υπολογισμοί να γίνονται « γρήγορα » και να μάθουν οι μαθητές την υπέρβαση της δεκάδας. Σταδιακά διδάσκονται γραπτά, στον πίνακα, στρατηγικές νοερών ( υπέρβαση δεκάδας, συσσώρευσης, διαχωρισμού ). Αφού γίνει εξάσκηση με γραπτή πρόσθεση μονοψήφιου και διψήφιου και 2 διψήφιων αριθμών, προτείνονται ασκήσεις των παρακάτω ειδών : « Προσθέτουμε πρώτα τις δεκάδες κι έπειτα τις μονάδες 7+2 και έχουμε Προσθέτουμε 1 μονάδα στο 49 και έχουμε 50 και γίνεται 50+30=80, 80+4» ( σελ 11) κλπ. Για τους δεκαδικούς, αρχική έμφαση σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς για « αποφυγή χοντρών σφαλμάτων ». Πχ «8, Εδώ μπορούμε να πούμε 50+8,05 πλην 3…» ( σελ 17-18). Για τους πολλαπλασιασμούς, το 2 πλάσιο και το μισό των δεκάδων  έννοια του πολλαπλασιασμού. Έπειτα, για νοερούς, « απαραίτητο να μάθουν οι μαθητές τον πυθαγόρειο πίνακα και απ ’ έξω προπαίδεια ως το 20 και τετράγωνα ως το 25» ( σελ 32). Για τον πολλαπλασιασμό δεκαδικών, εξάσκηση πρώτα σε προσεγγιστικούς υπολογισμούς και διαιρέσεις, πχ « πολλαπλασιασμός επί 0,1, διαιρούμε δια 10» ( σελ 44). Διαιρέσεις : « απαραίτητο να γνωρίζουν τους κανόνες διαιρετότητας » ( σελ 50). Για τα κλάσματα, θεωρείται αναγκαίο να εξασκηθούν οι μαθητές σε απλοποίηση, ισοδυναμία, ετερώνυμα - ομώνυμα, σύγκριση κλπ.

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά : Στο αναθεωρημένο πρόγραμμα του ΄ 73 οι νοεροί αναφέρονται περισσότερες φορές συγκριτικά με τα υπόλοιπα. Επιπλέον, υπάρχουν μεθοδολογικές οδηγίες : εποπτικό υλικό  νοεροί υπολογισμοί  γραπτή εκτέλεση ασκήσεων. Δεν αναφέρονται σε κλάσματα, δεκαδικούς, πηλίκα. Στο πρόγραμμα του ΄ 77 δεν υπάρχει αναφορά στους νοερούς υπολογισμούς στην διδακτέα ύλη. Στις μεθοδολογικές οδηγίες : από εποπτικό υλικό  γραπτά, για εκμάθηση κανόνα και επίλυση εύκολων προβλημάτων με το νου.

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά Παράλληλα, κατά το 1928, σε διαγωνισμό της Μαθηματικής Εταιρείας Ελλάδος διαφαίνονται οι βασικοί προβληματισμοί περί της διδασκαλίας και της μάθησης των νοερών υπολογισμών. Συγκεκριμένα : Τονίζεται η αναγκαιότητα θέσης στόχων στην πρακτική αριθμητική σχετικών με τον « από μνήμης υπολογισμό ». Επιχειρείται η διατύπωση οδηγιών και αρχών διδασκαλίας των νοερών. Ειδικότερα : προτείνεται, μετά τη διδασκαλία μιας ενότητας οι μαθητές να ασκηθούν στον « από μνήμης υπολογισμό », αρχικά με απλούς αριθμούς και πράξεις, που γίνονται όλο και συνθετότεροι. Τα παραπάνω στο πλαίσιο ενασχόλησης με πρακτικά προβλήματα. ( Αποστολόπουλος, 1995)

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά Τα Απ , επηρεάζονται από το κίνημα Μοντέρνων Μαθηματικών και διατυπώνονται με βάση τη θεωρία για τα curricula ( στόχοι, οδηγίες ). Παρουσιάζονται μαθητοκεντρικά, έμφαση δίνουν στον στρουκτουραλισμό ( σύνολα, αυστηρή ανάλυση εννοιών, αδιαφορία για τρόπο σκέψης - ιδέες μαθητών ) ενώ υπάρχουν βιβλία μαθητή και αντίστοιχα δασκάλου. Υπάρχει διαρκής αναφορά στους νοερούς υπολογισμούς. Ως στόχος αναφέρεται η άσκηση στην νοερή εκτέλεση των 4 πράξεων.

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά Προτείνεται η αρχική έμφαση στην νοερή εκτίμηση των αποτελεσμάτων των πράξεων και στη συνέχεια ο γραπτός έλεγχος αυτών. Δεν υπάρχει αναφορά στους νοερούς υπολογισμούς των ρητών αριθμών. Στόχο αποτελεί η εξάσκηση σε έτοιμες μαθηματικές ιδιότητες, μέσω της ταυτόχρονης αξιοποίησης : νοερών υπολογισμών και γραπτών αλγορίθμων.

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά Συμπερασματικά, κατά την 2 η περίοδο των Παραδοσιακών Μαθηματικών η έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς είναι περιορισμένη. Συγκεκριμένα : Υπάρχει σύντομη αναφορά σε αυτούς, αν και διαρκής, χωρίς ιδιαίτερη βαρύτητα. Δεν γίνεται διαχωρισμός μεταξύ νοερών και γραπτών υπολογισμών. Με τα ΑΠ να παρέχονται με την μορφή λίστας περιεχομένων, δεν υπάρχουν σαφείς κατευθύνσεις για τον τρόπο διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών ( έμφαση στο « τι » και όχι στο « πως »). Το αναθεωρημένο ΑΠ του ΄ 73, περιέχει περισσότερα στοιχεία νοερών υπολογισμών. Στο ΑΠ του ΄ 77 παρατηρείται μια οπισθοχώρηση μια και δεν υπάρχει καμιά σαφής αναφορά στους νοερούς υπολογισμούς.

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά Μάλιστα, η έρευνα του Αποστολόπουλου (1995) σε σχολικά βιβλία Γ ’ και Δ ’ τάξης και ελληνικών ΑΠ ΄ 69, ΄ 77, ΄ και στα αντίστοιχα της Γερμανίας και Κύπρου, αναδεικνύει τα εξής : Η θέση των νοερών είναι περιθωριακή, παρά τις όποιες προσπάθειες τονισμού τους ( αναντιστοιχία ΑΠ και σχολικών εγχειριδίων ). Η σχέση μεταξύ αλγορίθμων και νοερών είναι 4:1. Η παραπάνω σχέση χειροτερεύει υπέρ των αλγορίθμων, όταν πρόκειται για πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Επιπλέον, η σχέση γίνεται 6:1 μεταβαίνοντας από την Γ ’ στην Δ ’ τάξη. Η παραπάνω αναλογία παραμένει σταθερή στις 2 τάξεις στο πρόγραμμα του ΄ 77. Γερμανία και Κύπρος  η παραπάνω σχέση βελτιώνεται.

Ανάλυση σταθμών :2 η περίοδος Παραδοσιακών Μαθηματικών και Μοντέρνα Μαθηματικά Αντίθετα, κατά την περίοδο των Μοντέρνων Μαθηματικών, παρατηρείται εξέλιξη στην διδασκαλία των νοερών υπολογισμών. Συγκεκριμένα, Υπάρχει σαφής και διαρκής αναφορά στην εξάσκηση των μαθητών σε αυτό το είδος υπολογισμού. Δίνεται έμφαση στους κατ ’ εκτίμηση νοερούς υπολογισμούς. Ωστόσο, παρατηρείται ταυτόχρονη εξάσκηση στα 2 είδη των υπολογισμών και οι νοεροί θεωρούνται ως ένας τρόπος καλύτερης εκμάθησης δοσμένων μαθηματικών ιδιοτήτων.

Ανάλυση σταθμών : Κατά την περίοδο αυτή παρατηρείται πως στα βιβλία της Α ’ και Γ ’ τάξης του Δημοτικού Σχολείου, σε κάθε κεφάλαιο υπάρχει ένα πλαίσιο που αναφέρεται στην εξάσκηση των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς. Επιπλέον, στα βιβλία του δασκάλου υπάρχουν προτάσεις για τον τρόπο διδασκαλίας αυτών. Δεν υπάρχει αναφορά στην εξάσκηση στους νοερούς υπολογισμούς ρητών αριθμών. Τέλος, δεν δίνεται έμφαση σε αυτό το είδος υπολογισμών στις μεγάλες τάξεις του Δημοτικού και στο Γυμνάσιο. Εκεί, έντονη έμφαση στους αλγόριθμους.

Παράλληλα, και σε άλλες χώρες της Ευρώπης και της Αμερικής δίνεται η ίδια έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς. Πχ : Αγγλία : National Numeracy Strategy- άμεση διδασκαλία στρατηγικών. Αμερική : Εθνικό Συμβούλιο των Καθηγητών των Μαθηματικών - έμφαση σε νοερούς και κατ ’ εκτίμηση υπολογισμούς, αριθμομηχανές. Ολλανδία : Dutch Specimen of a National Program of Mathematics. Αυστραλία : National Statement on Mathematics for Australian Schools.

Γενικά συμπεράσματα Ίδρυση νεοελληνικού κράτους Αναγνώριση εκπαιδευτικής αξίας νοερών υπολογισμών, αλλά απουσία ( επιμορφωμένων ) εκπαιδευτικών. Σταδιακά, προσπάθειες εισαγωγής τους στην εκπαίδευση, με σημαντικές ‘13, ‘ 73. Το ‘77, παραγκωνισμός νοερών. Κίνημα μοντέρνων Μαθηματικών  τους επανατοποθετεί στο προσκήνιο. Η έμφαση οφείλεται και στην διάδοση ηλεκτρονικών αριθμομηχανών ( ιδεολογικός εκσυγχρονισμός ) Υπάρχει αναντιστοιχία εκπαιδευτικών προθέσεων και πράξης. Παραδοσιακά, και σήμερα δεν μεθοδεύεται η διδασκαλία ρητών αριθμών στα πλαίσια των νοερών. Παρόλα αυτά : Παρά τις αξιόλογες προσπάθειες, απαιτείται ακόμα πολλή δουλειά.

Βιβλιογραφία Σαφαρίκας, Α. (1965). Μέθοδος λογαριασμών από μνήμης. Ηράκλειο Κρήτης : Τυπογραφείο Σ. Ε. Χαλκιαδάκη. Λεμονίδης, Χ. (2013). Μαθηματικά της φύσης & της ζωής - λογαράζω με το τζιμίδι μ ’. Θεσσαλονίκη : Ζυγός. Αποστολόπουλος, Α. (1995). Οι νοεροί αριθμητικοί υπολογισμοί και οι στρατηγικές τους. Πάτρα.