Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER (ανάπτυξη σήματος σε άπειρες σειρές ημιτονοειδών σημάτων) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER (ανάπτυξη σήματος σε άπειρες σειρές ημιτονοειδών σημάτων) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

2 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER (ανάπτυξη σήματος σε άπειρες σειρές ημιτονοειδών σημάτων) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ (ορισμός, ιδιότητες, μετασχηματισμός fourier σημάτων ισχύος, θεώρημα δειγματοληψίας) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ (ορισμός, ιδιότητες)

3 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Σειρές Fourier Τα περισσότερα σήματα που είναι χρήσιμα στην πράξη μπορούν να αναπτυχθούν σε μια σειρά άπειρων όρων ημιτονοειδών σημάτων:

4 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Για τα εκθετικά σήματα ισχύει: Το εσωτερικό γινόμενο των σημάτων e imωt, e ilωt, είναι 0 για m διάφορο του l άρα τα σήματα είναι ορθογώνια και σχηματίζουν ένα σύνολο ορθογώνιων σημάτων. Το Πλεονέκτημα χρήσης τους είναι η άμεση σύνδεσή τους με τη έννοια της συχνότητας

5 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Το περιοδικό σήμα x(t) μπορεί να περιγραφεί από την περίοδό του Τ ο ή τη συχνότητά του f o και από τους (μιγαδικούς εν γένει )συντελεστές c m, δηλαδή περιγράφεται έτσι στο πεδίο της συχνότητας. Επίσης μειώνεται η πολυπλοκότητα της περιγραφής. Οι συντελεστές c m υπολογίζονται:

6 Περιορισμοί: Σήματα που δεν είναι ολοκληρώσιμα κατά απόλυτη τιμή και ή δεν περιέχουν περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών ή μεγίστων και ελαχίστων σε μια περίοδο δεν μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρές Fourier. ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

7 Τριγωνομετρικές σειρές Fourier ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

8

9

10 Ανάπτυγμα συνημιτόνου

11 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Μιγαδική μορφή

12 1.Οι συντελεστές c m είναι μιγαδικοί 2.Το άθροισμα επεκτείνεται από το μείον άπειρο έως το άπειρο 3.Για πραγματικά σήματα c -m =c m * ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Γενικά το σύνολο τιμών του c m ή τα ζεύγη (Α m, Φ m ) καλείται φάσμα του x(t) Το σύνολο των |c m | είναι γνωστό ώς φάσμα πλάτους του σήματος ενώ το σύνολο των τιμών Φ m είναι το φάσμα φάσης. Στην περίπτωση χάραξης του ζευγαριού (|c m |, Φ m ) ως συνάρτηση το m, προκύπτει Το διπλευρικό φάσμα. Στην περίπτωση χάραξης του ζευγαριού (Α m, Φ m ) ως συνάρτηση το m, προκύπτει το μονοπλευρικό φάσμα.

13 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

14

15

16

17

18 Για Τ-> άπειρο γίνεται απεριοδικός

19 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Στην πράξη χρεισιμοποιούμε συνήθως πεπερασμένο αριθμό όρων ημιτονοειδών Έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η διαφορά των ενεργειών του σήματος των πεπερασμένων όρων και του σήματος με τους άπειρους όρους.

20 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

21 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Όταν το σήμα είναι απεριοδικό τότε αναλαμβάνει ο μετασχηματισμός Fourier να αναπαραστήσει το σήμα με εκθετικά σήματα και να αποκαλύψει το φασματικό του περιεχόμενο Μετασχηματισμός Fourier Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier

22 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

23 Ο μετασχηματισμός Fourier παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παραδείγματα: Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier: a.Του ορθογώνιου παλμού πλάτους 1 και διάρκειας 2Τ 1 b.Του τριγωνικού παλμού πλάτους 1 και διάρκειας 2d c.Του εκθετικού σήματος e -at u(t)

24 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER a.Ορθογώνιος παλμός πλατους 1 και διάρκειας 2Τ 1

25 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER b. Τριγωνικός παλμός πλάτους 1 και διάρκειας 2d

26 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

27 c. To εκθετικό σήμα e -at u(t), a πραγματικός

28 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

29 Παράδειγμα αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier Να υπολογιστεί το σήμα x(t) του οποίου ο μετασχηματισμός Fourier έίναι ένας oρθογώνιος παλμός έυρους 2W και πλάτους 1.

30 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

31

32 Ιδιότητες μετ/σμού Fourier

33 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα Να βρεθεί ο μετ/σμός Fourier του σήματος z(t)=m(t)cos(ωt)

34 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

35

36

37 Περιορισμοί: Για να μετασχηματίζεται ένα σήμα κατά Fourier πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμο, δηλ: Μια πιο ασθενής συνθήκη είναι να είναι σήμα ενέργειας, δηλ: Όμως πολλά σήματα με μεγάλο ενδιαφέρον είναι σήματα ισχύος: cos(ωt), sin(ωt), u(t) Κλπ.

38 Σήματα Ισχύος Συνήθως εισάγουμε έναν παράγοντα σύγκλισης, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με το σήμα μας ώστε το γινόμενο να είναι ολοκληρώσιμο και υπολογίζεται ο μετ/μος Fourier του γινομένου. ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

39 Παράδειγμα

40 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

41

42 Nα βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t)=c για κάθε t

43 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

44 Nα βρεθεί ο μετ/μός Fourier του cos(ω o t)

45 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Nα βρεθεί ο μετ/μός Fourier του sin(ω o t)

46 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

47

48 Ιδανική δειγματοληψία

49 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

50

51 Για να μην υπάρχει Επικάλυψη πρέπει

52 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aliasing Δεν είναι δυνατή Η απομόνωση του Σήματος-παραμόρφωση

53 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου Συνεχής συνάρτηση του Ω Και εν γένει μιγαδική Χ(Ω)=|Χ(Ω)|e iφ(Ω)

54 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου

55 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Απόδειξη

56 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier:Διακριτός χρόνος-διακριτή συχνότητα

57 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

58 Τ=ΝΤ s

59 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΜΦ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΔΜΦ

60 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

61

62 Πολυπλοκότητα Ν 2 FFT (N είναι δύναμη του 2 άρα έχουμε Νlog 2 N)

63 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER


Κατέβασμα ppt "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER (ανάπτυξη σήματος σε άπειρες σειρές ημιτονοειδών σημάτων) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google