ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ (ορισμός, ιδιότητες, μετασχηματισμός fourier σημάτων ισχύος, θεώρημα δειγματοληψίας) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ (ορισμός, ιδιότητες)

Τα περισσότερα σήματα που είναι χρήσιμα στην πράξη μπορούν να αναπτυχθούν σε μια σειρά άπειρων όρων ημιτονοειδών σημάτων:

Για τα εκθετικά σήματα ισχύει: Το εσωτερικό γινόμενο των σημάτων eimωt, eilωt, είναι 0 για m διάφορο του l άρα τα σήματα είναι ορθογώνια και σχηματίζουν ένα σύνολο ορθογώνιων σημάτων. Το Πλεονέκτημα χρήσης τους είναι η άμεση σύνδεσή τους με τη έννοια της συχνότητας

Το περιοδικό σήμα x(t) μπορεί να περιγραφεί από την περίοδό του Το ή τη συχνότητά του fo και από τους (μιγαδικούς εν γένει )συντελεστές cm, δηλαδή περιγράφεται έτσι στο πεδίο της συχνότητας. Επίσης μειώνεται η πολυπλοκότητα της περιγραφής. Οι συντελεστές cm υπολογίζονται:

Περιορισμοί: Σήματα που δεν είναι ολοκληρώσιμα κατά απόλυτη τιμή και ή δεν περιέχουν περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών ή μεγίστων και ελαχίστων σε μια περίοδο δεν μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρές Fourier.

Ανάπτυγμα συνημιτόνου

Μιγαδική μορφή

Οι συντελεστές cm είναι μιγαδικοί Το άθροισμα επεκτείνεται από το μείον άπειρο έως το άπειρο Για πραγματικά σήματα c-m=cm* Γενικά το σύνολο τιμών του cm ή τα ζεύγη (Αm, Φm) καλείται φάσμα του x(t) Το σύνολο των |cm| είναι γνωστό ώς φάσμα πλάτους του σήματος ενώ το σύνολο των τιμών Φm είναι το φάσμα φάσης. Στην περίπτωση χάραξης του ζευγαριού (|cm|, Φm) ως συνάρτηση το m, προκύπτει Το διπλευρικό φάσμα. Στην περίπτωση χάραξης του ζευγαριού (Αm, Φm) ως συνάρτηση το m, προκύπτει το μονοπλευρικό φάσμα.

Για Τ-> άπειρο γίνεται απεριοδικός

Στην πράξη χρεισιμοποιούμε συνήθως πεπερασμένο αριθμό όρων ημιτονοειδών Έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η διαφορά των ενεργειών του σήματος των πεπερασμένων όρων και του σήματος με τους άπειρους όρους.

Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier

Παραδείγματα: Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier: Του ορθογώνιου παλμού πλάτους 1 και διάρκειας 2Τ1 Του τριγωνικού παλμού πλάτους 1 και διάρκειας 2d Του εκθετικού σήματος e-atu(t)

Ορθογώνιος παλμός πλατους 1 και διάρκειας 2Τ1

b. Τριγωνικός παλμός πλάτους 1 και διάρκειας 2d

c. To εκθετικό σήμα e-atu(t), a πραγματικός

Να υπολογιστεί το σήμα x(t) του οποίου ο μετασχηματισμός Fourier έίναι ένας oρθογώνιος παλμός έυρους 2W και πλάτους 1.

Παράδειγμα Να βρεθεί ο μετ/σμός Fourier του σήματος z(t)=m(t)cos(ωt)

Περιορισμοί: Για να μετασχηματίζεται ένα σήμα κατά Fourier πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμο, δηλ: Μια πιο ασθενής συνθήκη είναι να είναι σήμα ενέργειας, δηλ: Όμως πολλά σήματα με μεγάλο ενδιαφέρον είναι σήματα ισχύος: cos(ωt), sin(ωt), u(t) Κλπ.

Σήματα Ισχύος Συνήθως εισάγουμε έναν παράγοντα σύγκλισης, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με το σήμα μας ώστε το γινόμενο να είναι ολοκληρώσιμο και υπολογίζεται ο μετ/μος Fourier του γινομένου.

Παράδειγμα

Nα βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t)=c για κάθε t

Nα βρεθεί ο μετ/μός Fourier του cos(ωot)

Nα βρεθεί ο μετ/μός Fourier του sin(ωot)

Ιδανική δειγματοληψία

Για να μην υπάρχει Επικάλυψη πρέπει

Aliasing Δεν είναι δυνατή Η απομόνωση του Σήματος-παραμόρφωση

Συνεχής συνάρτηση του Ω Και εν γένει μιγαδική Χ(Ω)=|Χ(Ω)|eiφ(Ω)

Απόδειξη

Τ=ΝΤs

ΔΜΦ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΔΜΦ

Πολυπλοκότητα Ν2 FFT (N είναι δύναμη του 2 άρα έχουμε Νlog2N)

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια