του Διανυσματικού Λογισμού Ιστορικές καταβολές των διανυσμάτων και του Διανυσματικού Λογισμού Ν. Καστάνη Ακαδημαϊκό έτος, 2010-2011

Εισαγωγή-Προβληματισμός Πολλές φορές, για την εξοικείωση στον τεχνοκρατικό μηχανισμό ενός επιστημονικού θέματος, όπως π.χ. του Διανυσματικού Λογισμού, είναι αναγκαίες κάποιες διευκρινήσεις ή κάποια κατανόηση της εννοιολογικής και μεθοδολογικής προέλευσης του. Με τον τρόπο αυτό επιδιώκεται η δικαιολόγηση του κι όχι, μόνο, η τυφλή αποδοχή του ως υπερφυσικό δεδομένο ή ως ουρανοκατέβατη φαεινή ιδέα. Το ζητούμενο, λοιπόν, είναι η κατανόηση, έστω σ’ ένα βαθμό, της αναγκαιότητας, του λόγου ύπαρξης και της αξία του νέου μαθηματικού τρόπου σκέψης και της νέας μαθηματικής πρακτικής.

Στην προκειμένη περίπτωση το ενδιαφέρον εστιάζεται στην ψηλάφηση της προέλευσης και καθιέρωσης των διανυσμάτων και του Διανυσματικού λογισμού, για μια στοιχειώδη κατανόηση της ιστορία τους. Οι πρώτες, απλές, ερωτήσεις είναι: πότε και γιατί πρόβαλλαν τα διανύσματα; Και για να γίνει πιο προκλητικό ένα τέτοιο ενδιαφέρον, θα μπορούσαν να τεθούν τα εξής αβανταδόρικα ερωτήματα : - Οι Αρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι άνοιξαν μια λαμπρή σελίδα στα Μαθηματικά, ανάπτυξαν και χρησιμοποίησαν τα διανύσματα; - Ο Γαλιλαίος, που η συμβολή του στη επιστήμη ήταν αξιοσημείωτη, ασχολήθηκε με ανάλογα θέματα;

Η απάντηση και στα δύο, είναι: όχι. Και σίγουρα, δεν τους έλειπαν οι διανοητικές ικανότητες και η εξυπνάδα. Μάλλον, δεν ήταν ώριμες οι συνθήκες. Μ’ άλλα λόγια, δεν είχαν τεθεί προβλήματα που να είναι απαραίτητη η γνώση των διανυσμάτων και των διανυσματικών μεθόδων. Φαίνεται ότι μια τέτοια ανάγκη εκδηλώθηκε, επιτακτικά, μέσα στις προσπάθειες ανάπτυξης της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού στο 2ο μισό του 19ου αιώνα. Και ήταν επιτακτική η ανάγκη αυτή, γιατί η ανάπτυξη της εν λόγω θεωρίας ήταν στενά εξαρτώμενη από προσανατολιστικές καταστάσεις και χειρισμούς. Αλλά υπήρχε και ένας επίσης σημαντικός, “εξωτερικός”, λόγος: η ώθηση του ηλεκτρομαγνητισμού άνοιγε νέους ορίζοντες στην αντίστοιχη τεχνολογία, π.χ. στους ηλεκτροκινητήρες.

Ένα ισχυρό κίνητρο Ένας από τους πρωτοπόρους του ηλεκτρομαγνητισμού ήταν ο James Clerk Maxwell (1831-1879). James Clerk Maxwell

Οι διαθέσιμες μαθηματικές γνώσεις O Maxwell έδωσε, χωρίς αμφιβολία, μια ισχυρή ώθηση για την ανάπτυξη των διανυσμάτων στη Μαθηματική Φυσική. Στο βιβλίο του, όπως είδαμε, επισήμανε τη μέθοδο του Hamilton, ως ένα διαθέσιμο θεωρητικό υπόβαθρο για την προώθηση των διανυσμάτων στον Ηλεκτρομαγνητισμό. Αυτή η μέθοδος του Hamilton μοιάζει να σηματοδοτεί ένα είδος “προζύμης” για τα διανύσματα και το Διανυσματικό Λογισμό. Περί τίνος πρόκειται;

Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865) Περί ενός νέου είδους φανταστικών ποσοτήτων που σχετίζονται με μια θεωρία των τετράδων (1843)

Ο Hamilton έχοντας υπ’ όψη του τη γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών, που πρότεινε, το 1831, ο Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ανάπτυξε την ιδέα ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, z=a+bi, μπορούν να αντιμετωπιστούν ως διατεταγμένα ζεύγη (a,b) και να συστηματοποιηθούν ως μια άλγεβρα διατεταγμένων ζευγών, ορίζοντας τις πράξεις τους ως εξής: (α,β) (6,3) Carl F. Gauss

Μετά απ’ αυτή την παρέμβαση, ο Hamilton σκέφτηκε να γενικεύσει την ιδέα των ζευγών σε τριάδες, αλλά δεν μπόρεσε να ορίσει τις πράξεις τους. Παρά την αποτυχία του αυτή, συνέχισε να προσπαθεί με τετράδες και πέτυχε να ορίσει τις πράξεις τους, ως εξής: Και πρότεινε την εξής αναπαράσταση για κάθε τετράδα (a,b,c,d): όπου αριθμητικό μέγεθος διανυσματικό μέγεθος

Ο Hamilton καλλιέργησε την ιδέα του για τις τετράδες, προσπαθώντας να την αναπτύξει σε μια καλά οργανωμένη θεωρία και προβάλλοντας μια ποικιλία εφαρμογών τους σε διάφορους τομείς των Μαθηματικών και της Φυσικής.

Ο Peter Tait,καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Belfast, που είχε φιλικές σχέσεις με τον Hamilton και αλληλογραφούσε με τον Maxwell, προώθησε τη θεωρία των τετράδων του Hamilton. Peter Guthrie Tait (1831-1901)

Αξίζει να αναφερθεί ότι η θεωρία των τετράδων προέκυψε από τα φιλοσοφικά ενδιαφέροντα του Hamilton. Δηλαδή προήλθε από μια εσωστρεφή τάση γενίκευσης, εμπνεόμενη από τη φιλοσοφία του Καντ. Δεν είχε εξωτερικά κίνητρα, π.χ. κάποιο πρόβλημα της πραγματικότητας έξω από τα Μαθηματικά. Το ίδιο συνέβη, τότε, και με τον Γερμανό, Hermann Grassmann (1809-1877), που εξέδωσε το 1844 “Την Επιστήμη των Εκτεταμένων Μεγεθών”. Hermann Grassmann

Σύμφωνα με τον Grassmann, τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη αφηρημένων μορφών, δηλ. ένα σύστημα συμβόλων. Έτσι τα γεωμετρικά στοιχεία αντιμετωπίζονται ως συμβολικές μορφές οι οποίες είναι δομημένες με εσωτερικές σχέσεις και πράξεις. Κεντρική θέση στο γεωμετρικό του σύστημα έχουν τα εκτεταμένα μεγέθη όπως π.χ. τα προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήμα. Κάθε εκτεταμένο μέγεθος μπορεί να αναπαρασταθεί ως αλγεβρικό άθροισμα μοναδιαίων μεγεθών, ως εξής: Τα εκτεταμένα μεγέθη μπορεί να είναι οποιουδήποτε βαθμού, δηλ οποιασδήποτε διάστασης, με τη σημερινή ορολογία. Αυτό σημαίνει ότι o Grassmann υπέθαλπε έναν λογισμό για Γεωμετρία με περισσότερες διαστάσεις. Το έργο του, γενικά, ήταν πολύ αφηρημένο και με αρκετά φιλοσοφικά στοιχεία. Ως συνέπεια ήταν δυσνόητο και δεν είχε μεγάλη απήχηση, για αρκετά χρόνια.

Και δεν είναι καθόλου τυχαίο ότι μια από τις πρώτες εφαρμογές της νέας του θεωρίας, που έκανε o Grassmann, ήταν στην Ηλεκτροδυναμική.

Mέχρι το 1870, οι ιδέες του Grassmann δεν βρήκαν ανταπόκριση στους μαθηματικούς, της περιόδου εκείνης. Γιατί; 1ο Η παρουσίαση της θεωρίας του ήταν δυσνόητη. Κι αυτό γιατί οι πρωτότυπες σκέψεις του ήταν διαποτισμένες με υπονοούμενες ιδέες της Γερμανικής Φιλοσοφίας και Θεολογίας, των αρχών του 19ου αιώνα. 2ο Ο Grassmann ήταν καθηγητής μέσης εκπαίδευσης και κατά συνέπεια δεν μπορούσε να υπερβεί εύκολα την υπεροψία του τότε ακαδημαϊκού κατεστημένου της Γερμανίας. 3ο Η ανάπτυξη της ηλεκτροδυναμικής και του ηλεκτρομαγνητισμού στη Γερμανία δεν ήταν μεγάλη, μέχρι τη δεκαετία του 1880. Κι αυτό, ίσως, να οφείλονταν στην επικράτηση των εμπειρικών μεθόδων κι όχι στην ευρύτερη αξιοποίηση της μαθηματικό-θεωρητικής σκέψης (όπως π.χ. έκανε ο Maxwell).

Ένας από τους πρώτους που πρόβαλε και απλοποίησε τη σκέψη του Grassmann ήταν ο Hermann Hankel (1839-1873), που έγινε καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Erlangen και του Tübingen. Hermann Hankel

Την ίδια περίοδο στη Βρετανία, οι τετράδες του Hamilton είχαν μια σημαντική και στην προώθηση και την αξιοποίησή τους από τον Tait και τον Maxwell. Παρ’ όλα αυτά ο Maxwell είχε σοβαρότατες αντιθέσεις με τις τετράδες του Hamilton. Κι αυτό γιατί παρουσίαζαν εγγενείς αδυναμίες στο λειτουργικό τους ρόλο μέσα στην ηλεκτροδυναμική θεωρία. Για παράδειγμα, το τετράγωνο μιας τετράδας ήταν αρνητικό και αυτό είχε σα συνέπεια η κινητική ενέργεια, με την αναπαράσταση των τετράδων, να γίνεται αρνητική. Έτσι η ανάγκη τροποποίησης της θεωρίας των τετράδων, ως θεωρητικό εργαλείο της ηλεκτροδυναμικής, ήταν επιτακτική.

Ένα τέτοιο βήμα έκανε, το 1878, ο William Clifford, καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Λονδίνου. Επηρεασμένος από τον Hankel, προσπάθησε να συνδυάσει τις τετράδες του Hamilton με τις ιδέες του Grassmann. William Clifford (1845 -1879)

Στις αρχές της δεκαετίας του 1880, ο Εγγλέζος Oliver Heaviside κι ο Αμερικάνος Josiah Gibbs έδωσαν τη νέα μορφή στο Διανυσματικό Λογισμό, αναπροσαρμόζοντας τις ιδέες του Hamilton και του Grassmann. Oliver Heaviside (1850-1925)

Η επιστημονική δραστηριότητα και του Josiah Willard Gibbs (1839-1903) Η επιστημονική δραστηριότητα και του Heaviside και του Gibbs ήταν στο χώρο των ηλεκτρολόγων-μηχανολόγων, που τότε ήταν σ’ άνθηση.

Με την έκδοση του εγχειριδίου Vector Analysis, το 1901, από τους Αμερικάνους Gibbs και Wilson, άρχισε να καθιερώνεται ο μαθηματικός αυτός κλάδος, διεθνώς.

Η οριστική καθιέρωση του Διανυσματικού Λογισμού έγινε κατά τη μετάβαση στον 20ο αιώνα, όταν σημαντικές προσωπικότητες των Μαθηματικών και της Φυσικής, όπως π.χ. ο Guiseppe Peano (1858-1932) τον υποστήριξε και τον ώθησε. Και ο Felix Klein (1849-1925) τον αποδέχθηκε, αλλά δεν ήταν και πολύ ενθουσιώδης με τον συγκεκριμένο κλάδο. Guiseppe Peano Felix Klein

Ποια η τύχη του Διανυσματικού Λογισμού στην Ελλάδα; Στην Ανωτέρα Άλγεβρα (1879) του Ιωάννη Χατζιδάκη, καθηγητή τότε στη Σχολή Ευελπίδων, υπάρχουν κάποια στοιχεία των τετράδων του Hamilton και κάποια ίχνη των iδεών του Grassmann. Ιωάννης Ν. Χατζιδάκης (1844-1921)

Το 1883, ο Κυπάρισσος Στέφανος, ένας σημαντικός καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών της Αθήνας στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα, δημοσίευσε, στο περίφημο Γερμανικό περιοδικό Mathematische Annalen,μια εργασία για Τις τετράδες του Hamilton. Κυπάρισσος Στέφανος (1857-1917)

Δυστυχώς αυτές οι νύξεις στις τετράδες του Hamilton δεν αναπτύχθηκαν, διδακτικά και ερευνητικά, στο Τμήμα Μαθηματικών της Αθήνας. Άρχισε η διδασκαλία του Διανυσματικού Λογισμού, το 1948!!! Νείλος Σακελλαρίου (1882-1955)

Ο Νικόλαος Γεννηματάς δίδαξε, στο ΕΜΠ, Διανυσματική Ανάλυση, από το 1918. Νικόλαος Β. Γεννηματάς (1875-1931)

Ο Όθων Πυλαρινός (1903-1990), που ήταν επιστημονικός συνεργάτης του Γεννηματά, δίδαξε, όταν το1932 έγινε καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών της Θεσσαλονίκης, Θεωρητική Μηχανική χρησιμοποιώντας Διανυσματικό Λογισμό. Όθων Πυλαρινός

Ο Γεώργιος Καζαντζίδης ως επιστημονικός συνεργάτης στη Θεωρητική Μηχανική, δίδαξε Διανυσματικό Λογισμό στο Τμήμα Μαθηματικών και στο Τμήμα Φυσικής του ΑΠΘ, από το 1957 μέχρι το 1966. Γεώργιος Καζαντζίδης (1911-2001)

Από το 1967 και εξής ο Διανυσματικός Λογισμός έγινε οργανικό μέρος τους Προγράμματος του Τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ. Ιωάννης Αναστασιάδης (1912-1988) Γεώργιος Γεωργανόπουλος

Φαίνεται ότι τα Ελληνικά Τμήματα Μαθηματικών είχαν μια υποτονικότητα στο ζήτημα της ενσωμάτωσης αυτού του νέου κλάδου των Μαθηματικών. Ποια ήταν η ερευνητική στάση των Ελλήνων μαθηματικών στο θέμα αυτό; Έγιναν σχετικές δημοσιεύσεις στο Δελτίο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας; Μήπως οι μηχανολόγοι και οι φυσικοί ήταν πιο ένθερμοι με τον Διανυσματικό Λογισμό; Διαφαίνονται διαφορετικές νοοτροπίες; Ποια η ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού στην Ελληνική Φυσική (Ηλεκτροδυναμική ή Θεωρητική Μηχανική);

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950) τι στάση είχε; Eίχε μια αδράνεια η Γαλλική επιστήμη στην αρχική φάση της ανάπτυξης αυτού του κλάδου; Γιατί; Για παράδειγμα, ποια ήταν η στάση του Poincare; Jules Henri Poincaré (1854–1912)

Επιμύθιο ο επίλογος ενός μύθου, που συμπυκνώνει ως δίδαγμα το περιεχόμενο της διήγησης.

Μαρία Παντέκη (1955–2008)

Στο μάθημα που παρακολουθήσατε, πρωταρχική έμφαση δόθηκε στην πραγματική αναγκαιότητα για την ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού, η οποία ωθήθηκε από την ηλεκτροδυναμική ή τον ηλεκτρομαγνητισμό με πρωταγωνιστή τον Maxwell κι όχι στις μεταφυσικές επινοήσεις κάποιων “εμπνευσμένων” σοφών, με ισχυρά ερείσματα στο επιστημονικό κατεστημένο. Επισημάνθηκε ότι η ανάδυση των σχετικών ιδεών δεν ήταν μια αποκλειστικότητα ενός “εμπνευσμένου” ακαδημαϊκού, αλλά κι ενός εκπαιδευτικού με περιορισμένη έως μηδενική απήχηση στους πανεπιστημιακούς κύκλους. Αναφέρθηκε ότι οι νέες αυτές ιδέες είχαν μια “γερή δόση” φιλοσοφικού στοχασμού και δεν ήταν απλά μια γενίκευση καθιερωμένων γνώσεων.

Υπογραμμίστηκε ότι μετά το στάδιο των πρώτων εκφάνσεων και εφαρμογών των ιδεών του Διανυσματικού Λογισμού, υπήρξε μια περίοδος αναγνώρισης, συνύφανσης και αναδόμησης τους. Θίχθηκε η εκπαιδευτική νομιμοποίηση της αναμορφωμένης πλέον θεωρίας του κλάδου αυτού και στη συνέχεια η ευρύτερη νομιμοποίηση του στην αρχή του 20ου αιώνα. Τέλος, έγιναν κάποιες νύξεις ή τέθηκαν κάποια ερωτήματα για την ευρύτερη αποδοχή ή “δυστοκία” σε διάφορα πολιτισμικά πλαίσια ή σε κάποιες προσωπικότητες, όπως αυτό της ελληνικής πραγματικότητας ή του Poincare. Έγινε, δηλαδή, μια απόπειρα να μην παρουσιαστεί το θέμα ως μια γραμμική εξέλιξη “φαεινών ιδεών” επιφανών επιστημόνων και να φωτιστούν κάποιες πολιτισμικές παράμετροι του.

Βασική Βιβλιογραφία

Hans-Joachim Petsche