«Η Άλγεβρα της Φούγκας» Τα μαθηματικα στο έργο του Γιοχαν Σεμπαστιαν Μπαχ

Το Μπαρόκ Περίπου 1600-1750 (μετά την αναγέννηση) Ξεκίνησε από τη Ρώμη και εξαπλώθηκε στην υπόλοιπη δυτική Ευρώπη. Καλλιτεχνικό ρεύμα που κυρίως προσπάθησε να επαναφέρει την αρχαία Ελληνική τέχνη.

Κύριοι εκπρόσωποι στη μουσική George Frideric Haendel

Johann Sebastian Bach

Jean-Baptiste Lully

Antonio Vivaldi

Henry Purcell

Την ίδια εποχή στις επιστήμες: Gottfried Wilhelm Leibniz Isaac Newton René Descartes Galileo Galilei Johannes Kepler Blaise Pascal Pierre de Fermat

Johann Sebastian Bach 1685 Άιζεναχ (Θουριγγία)-1750 Λειψία Το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του ήταν στη Λειψία. Γεννημένος απο οικογένεια μουσικών. Κυριες συνθέσεις του: Καντάτες Ορατόρια Κονσέρτα Πρελούδια και Φούγγες (ειπαν : Στειλτε μου εναν «μπαχ»)

Συμμετοχή στη σχολική χορωδία Άιζεναχ (1685-1695): Πρώτη μουσική εκπαίδευση στο βιολί και στο τσέμπαλο Συμμετοχή στη σχολική χορωδία «Eξ αιτίας των ισχυρών δεσμών και των τακτικών οικογενειακών συγκεντρώσεων, ο ίδιος και οι αδελφοί του ενσωματώθηκαν κατά ένα πολύ φυσιολογικό τρόπο στη μεγάλη οικογένεια των επαγγελματιών μουσικών, περίπου όπως τα παιδιά ενός τεχνίτη μαθαίνουν να εξοικειώνονται με τα εργαλεία. Οι περισσότερες μουσικές δραστηριότητες στο σπίτι, στις οποίες ο μικρός Σεμπάστιαν ήταν παρών, περιελάμβαναν διδασκαλία, μελέτη, πρόβες, προετοιμασία συναυλιών, τακτοποίηση και αντιγραφή για τις παρτιτούρες και, επίσης, κούρδισμα και επισκευή οργάνων!» Απο το βιβλιο του Cristoph Wolff “Johann Sebastian Bach: Η ζωή του, η μουσική του, η ιδιοφυία του” (8 παιδια στην οικογενεια, cristoph wolff:μεγαλυτερος συγχρονος ερευνητης της ζωης και του εργου του μπαχ, HARVARD και διευθυντης αρχειου μπαχ στη λιψεια)

Θάνατος των γονιών του και τριών απο τα αδέλφια του (πανώλη) Θάνατος των γονιών του και τριών απο τα αδέλφια του (πανώλη). Μετακομίζει με τον μεγαλύτερο αδερφό του (οργανίστα και μαθητή του Pachelbel) στο Όρντρουφ Μπήκε στη λατινική σχολή – συμμετοχή στη χορωδία – κερδίζει τα πρώτα του χρήματα Κλίση προς το εκκλησιαστικό όργανο και γενικότερα τα πληκτροφόρα όργανα. Λύνεμπουργκ (1700-1703):Συνεχίζει τις σπουδές (σχολή του Αγ. Μιχαήλ) και εξασκείται στο μεγάλο εκκλησιαστικό οργανο του Αγ. Μιχαήλ Ηρθε σε επαφή με τον κορυφαίο οργανίστα Johann Adam Reinken στο Αμβούργο Προσελήφθη ως βιολονίστας στη Βαιμάρη οπου και έζησε εναν χρόνο, πιθανόν να έπαιζε κυρίως εκκλησιαστικό όργανο και τσέμπαλο χάρις της δεξιοτεχνίας του Λύνεμπουργκ περπατωντας (280χμ) με τον συμφοιτητη και φιλο του Georg Erdmann Σπουδες κλασικων ανθρωπιστικων επιστημων περισσοτερο ταυτοχρονα μαθηματικα φυσικη αλλα δευτερευοντα Ραινεκεν: Τεραστιο εκκλησιαστικο οργανο.. Η τεχνικη του επηρεασε πολυ τον μπαχ

«Τοκάτα και φούγκα σε ρε ελάσσονα» Άρνσταντ (1703-1707): Τον καλούν ομόφωνα (δήμαρχος, κατασκευαστής, εκκλησία και κομης) ως εμπειρογνώμονα που θα τεστάριζε το ολοκαίνουργο εκκλησιαστικό όργανο της εκκλησίας του Αγ. Βονιφατίου Δοιορίστηκε εκεί αλλα ήρθε κόντρα με το συμβόλαιο του διότι απουσίασε τέσσερεις μήνες για να ακούσει τον Buxtehude (ταξίδι 400 χμ με επιστροφή) αντί της άδειας ενος μηνός που είχε πάρει Ο πραγματικός λόγος όμως, ήταν: «...έχει εφαρμόσει μέχρι τώρα πολλές περίεργες παραλλαγές, και ανακατεύει πολλούς παράξενους τόνους μέσα στη μουσική του, φέρνοντας σε αμηχανία το εκκλησίασμα...» Γράφει την διάσημη «Τοκάτα και φούγκα σε ρε ελάσσονα» Εκει γραφτηκε η τοκατα και φουγκα στη ρε ελασσονα (η γνωστη) ΘΑ ΑΚΟΥΣΤΕΙ

Παντρεύεται τη Maria Barbara Bach, δεύτερη ξαδέλφη του Το 1707 υποβάλλει αίτηση για τη θέση του οργανίστα στο Μυλχάουζεν (γίνεται δεκτός μετά απο ακρόαση) Παντρεύεται τη Maria Barbara Bach, δεύτερη ξαδέλφη του Πείθει την εκκλησία να αναβαθμίσει το όργανο και παρουσιάζει την περίφημη καντάτα Gott ist mein König (BWV 71) για να το εγκαινιάσει Θα ακουσουμε αποσπασματα 2 χορωδιες 4 οργανικα συνολα στερεοφωνικος ηχος

Βαϊμάρη (1708-1717) Διακεκριμένος Aυλικός Oργανίστας Το 1714 γινεται διευθυντής ορχήστρας (Concertmeister - δεύτερος σημαντικότερος τίτλος στη μουσική ιεραρχία) Γράφει τα περισσότερα έργα για το εκκλησιαστικό όργανο

Καίτεν (1717-1723) Διευθυντής Ορχήστρας (Capellmeister - ανώτατη βαθμίδα) Σουίτες για ορχήστρα Βραδεμβούργια κονσέρτα 1ο βιβλίο απο το «Καλώς συγκερασμένο κλειδοκύμβαλο» Θάνατος της γυναίκας του το 1720 Το 1721 παντρεύεται τη δεύτερη γυναίκα του: Άννα Μαγδαληνή Μπάχ

Ορατόριο Χριστουγέννων Κατά Ιωάννη πάθη Κατά Ματθαίον πάθη Λειψία (1723-1750) Κάντορας της Σχολής του Αγ. Θωμά και Διευθυντής Εκκλησιαστικής Μουσικής σε 4 εκκλησίες (Peterskirche, Neue Kirche, Nikolaikirche, και Thomaskirche) Ορατόριο Χριστουγέννων Κατά Ιωάννη πάθη Κατά Ματθαίον πάθη 2ο βιβλίο απο το «Καλώς συγκερασμένο κλειδοκύμβαλο» Καντάτες Μουσική Προσφορά και Τέχνη της Φούγκας Στον Αγ. Πέτρο (Peterskirche), στη Νέα Εκκλησία (Neue Kirche), στον Αγ. Νικόλαο (Nikolaikirche) και στον Αγ. Θωμά (Thomaskirche).

Η συνεισφορά του Mendelssohn 1809-1847 Ήταν αυτός που έφερε στην επιφάνεια τα μέχρι τοτε άγνωστα χειρόγραφα του Bach Μέχρι τότε ο Bach ήταν ξεχασμένος και άγνωστος Επίσης στην εποχή του ο Bach ήταν περισσότερο γνωστός ως δεξιοτέχνης του οργάνου και οχι ως συνθέτης

Συνοπτικά το έργο του Μπάχ αποτελείται απο: Φωνητικά έργα BWV 1-224 : Καντάτες (επίσης 249a, 249b) BWV 225-231 : Μοτέτα BWV 232-243α : Έργα Εκκλησιαστικού Τυπικού (στη Λατινική γλώσσα) BWV 244-249 : Πάθη και Ορατόρια BWV 250-438 : Κοράλ BWV 439-524 : Ύμνοι, Άριες, Quodlibet

Έργα για το Εκκλησιαστικό όργανο BWV 525-530: Τρίο Σονάτες BWV 531-582: Πρελούδια/Τοκάτες/Φαντασίες, Πασακάλια και Φούγκα BWV 583-591: Τρίος και διάφορα άλλα BWV 592-598: Κοντσέρτα BWV 599-644: Κοράλ Πρελούδια Ι («Το Μικρό Βιβλίο για το Εκκλησιαστικό Όργανο») («Orgelbüchlein») BWV 645-650: Κοράλ Πρελούδια ΙI («Schübler») BWV 651-668: Κοράλ Πρελούδια ΙII («Τής Λειψίας/18 Μεγάλα Πρελούδια») BWV 669-689: Κοράλ Πρελούδια ΙV («Γερμανική Λειτουργία για το Εκκλησιαστικό Όργανο») BWV 690-713: Κοράλ Πρελούδια V («Kirnberger») BWV 714-764: Διάφορα Πρελούδια και Ύμνοι BWV 765-771: Παρτίτες και Κοράλ Παραλλαγές

Έργα για Πληκτροφόρα BWV 772-801: Inventions & Sinfonias BWV 802-805: 4 Ντουέτα BWV 806-811: Αγγλικές Σουίτες BWV 812-817: Γαλλικές Σουίτες BWV 818-824: Διάφορες Σουίτες BWV 825-830: Παρτίτες (δημοσιευμένες ως «Clavier-Übung I») BWV 831 : Γαλλική Ουβερτούρα (από το «Clavier-Übung ΙI») BWV 832-845: Μέρη από Σουίτες BWV 846-870: «Το Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο» Βιβλίο Ι BWV 871-893: «Το Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο» Βιβλίο ΙΙ BWV 894-923: Πρελούδια και Φούγκες, Τοκάτες, Φαντασίες BWV 924-932: Μικρά Πρελούδια BWV 933-938: 6 Μικρά Πρελούδια BWV 939-943: 5 Πρελούδια από τη συλλογή του Πέτερ Κέλνερ BWV 944-962: Φούγκες και Φουγκέτες BWV 963-970: Σονάτες και Μέρη από Σονάτες BWV 971 : Ιταλικό Κοντσέρτο (από το «Clavier-Übung ΙI») BWV 972-987: Μεταγραφές κοντσέρτων άλλων συνθετών BWV 988 : Παραλλαγές Goldberg BWV 989-994: Διάφορα

Έργα για όργανα χωρίς συνοδεία (solo) BWV 995-1000 : Έργα για Λαούτο (επίσης 1006a) BWV 1001-1006: Σονάτες και Παρτίτες για Βιολί BWV 1007-1012: Σουίτες για Βιολοντσέλο BWV 1013 : Παρτίτα για φλάουτο Έργα για όργανα και υποχρεωτικό (obligato) πληκτροφόρο BWV 1014-1026: Έργα για Βιολί και πληκτροφόρο BWV 1027-1029: Σονάτες και Τρίο για Βιόλα Ντα Γκάμπα και πληκτροφόρο BWV 1030-1035: Σονάτες και Φλάουτο και πληκτροφόρο BWV 1036-1040: Τρίο Σονάτες για διάφορους συνδυασμούς οργάνων και πληκτροφόρο

Κοντσέρτα και Ορχηστρικές Σουίτες BWV 1041-1045: Κοντσέρτα για Βιολί/2 Βιολιά/ Βιολί και Φλάουτο BWV 1046-1051: Βρανδεμβούργια Κοντσέρτα BWV 1066-1071: Σουίτες για Ορχήστρα Αντιστικτικά έργα BWV 1072-1078 : Κανόνες BWV 1079 : «Η Μουσική Προσφορά» («Musicalisches Opfer») BWV 1080 : «Η Τέχνη της Φούγκας» («Die Kunste Der Fuge») Διάφορα BWV 1081-1089: Χορωδιακά/άριες/κ.α. BWV 1090-1120: Κοράλ «Neumeister» (από πρόσφατη ανακάλυψη του 1985 στη μουσική βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου Γιέηλ) BWV 1121-1126: Ύμνοι για το Εκκλησιαστικό Όργανο BWV 1127 : Στροφική Άρια (ανακάλυψη Ιούνιος 2005) BWV 1128 : Κοράλ Φαντασία για το Εκκλησιαστικό Όργανο (ανακάλυψη Μάρτιος 2008)

Πώς γράφει κάποιος μουσική; (στις μέρες μας) Κάθεται στο πιάνο / παίρνει την κιθάρα ή οτιδήποτε άλλο Ξεκινάει αυτοσχεδιασμό Άν κάτι του αρέσει το κρατάει Βελτιώνει τα «καλά» μέρη Τα συνδέει

Πώς γράφει κάποιος μουσική; (παλία:κλασσική/μπαρόκ) Κάθεται στο τραπέζι (προαιρετικό βήμα) Παίρνει ενα χαρτί με πεντάγραμμα Γράφει τα θέματα που έχει σκεφτεί ή εμπνευστεί προηγουμένως Αναπτύσσει σε κάποια προκαθορισμένη φόρμα με συγκεκριμένους κανόνες Γνωστό παράδειγμα η 9η συμφωνία του Beethoven που την έγραψε ώντας κουφός

Συγκεκριμένα ο Bach Ήταν ένας βαθιά θρησκευόμενος άνθρωπος Έγραφε μουσική για να υμνίσει το Θεό Για αυτόν η σύνθεση σαν διαδικασία ηταν κάτι απόλυτα στοχαστικό που παραμέριζε τα εμπειρικά δεδομένα

Με αυτόν τον τρόπο μπορουμε να θεωρήσουμε τη διαδικασία παραγωγής μουσικής παρόμοια με την διαδικασία που ακολουθεί ενας μαθηματικός για την παραγωγή θεωρημάτων και προτάσεων.

Το εργαλείο; Η Άλγεβρα Στη γλώσσα της μουσικής το εργαλείο αυτό είναι η Αντίστιξη Όπως η Άλγεβρα υπακούει στους κανόνες της λογικής, Η Αντίστιξη υπακούει πλήρως στους κανόνες της συνήχησης Μιλωντας για αλγεβρα και αντιστιξη εννοουμε ενα πλήρες εργαλειο δομημενο στους πληρεις κανονες της λογικης και της συνηχησης αντοιστιχα.

Λογική – Άλγεβρα Η λογική ασχολείται με τη μελέτη διαδικασιών και κανόνων, με τους οποίους μπορούμε να οδηγηθούμε με ορθό τρόπο από υποθέσεις σε συμπεράσματα Η Άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά δομή, σχέση, και ποσότητα. Στοιχειώδης άλγεβρα είναι ο κλάδος που ασχολείται με την επίλυση των αριθμητικών εξισώσεων.

Συνήχηση Είναι η συνύπαρξη των διαφόρων συχνοτήτων. Καλή συνήχηση έχουμε όταν οι διάφορες συχνότητες έχουν όσο περισσότερες κοινές αρμονικές. Κακή συνήχηση όταν οι συχνότητες έχουν λιγότερες κοινές αρμονικές.

Αντίστιξη Χρησιμοποιώντας τους κανόνες καλής συνήχησης παράγονται κυρίως εμπειρικά διάφοροι κανόνες για τη συνύπαρξη και τη δομή των διάφορων μελωδιών. Έτσι αντίστιξη καλείται:

Η ταυτόχρονη συνήχηση πολλών διαφορετικών μελωδιών, οι οποίες συνδυάζονται με βάση ένα αυστηρό συνήθως πρόγραμμα κανόνων διαφορετικό από εποχή σε εποχή. Στην πολυφωνική - αντιστικτική γραφή κάθε μία από τις συνηχούσες μελωδίες διατηρεί τη μελωδική ή ρυθμική αυτοτέλειά της χωρίς να κυριαρχεί αλλά ούτε και να υποβιβάζεται από τις υπόλοιπες. Η αντίστιξη άρχισε να αναπτύσσεται στο Μεσαίωνα στην εκκλησιαστική μουσική, γνώρισε μεγάλη άνθηση στα χρόνια της Αναγέννησης (με τον Τζιοβάννι Πιερλουίτζι ντα Παλεστρίνα) και κορυφώθηκε το 17ο αιώνα στην εποχή του μπαρόκ (με τον Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ). (Σχολικό βιβλίο Μουσικής Β΄ γυμνασίου ΟΕΔΒ)

Τελικά έτσι όπως ένας μαθηματικός αποδεικνύει ένα θεώρημα, με έναν κάπως παρόμοιο τρόπο, ο Μπάχ έγραφε φούγκες.

Απο τις σπουδές του Μπάχ φαίνεται οτι δεν είχε κάποια στενη σχέση με τα μαθηματικά, αλλά ήταν περισσότερο λόγιος. Οι φούγκες είναι ένα τεράστιο μέρος του έργου του και ταυτόχρονα ήταν εκτός της κύριας επαγγελματικής του ενασχόλησης

Λίγα Λόγια για τη Συμμετρία

Συμμετρία ως προς άξονα Τ(x,y)→(-x,y)

Συμμετρία ως προς σημείο Τ(x,y)→(-x,-y)

Τέτοιες συμμετρίες εμφανίζονται πολύ συχνά στη μουσική του Μπάχ

π.χ.:

Λίγα Λόγια για τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς

Μετασχηματισμοί θέσης χ’ = χ+α y’ = y+β

Συμμετρία ως προς χ χ’ = -χ y’ = y

Συμμετρία ως προς y χ’ = χ y’ = -y

Μεγέθυνση - Σμίκρυνση χ’ = κχ y’ = κy

Μουσική Προσφορά Φρειδερίκος Β΄ της Πρωσίας Regis Iussu Cantio Et Reliqua Arte Resoluta Με εντολή του βασιλιά το τραγούδι και τα υπόλοιπα στοιχεία έχουν εκπονηθεί σύμφωνα με την τέχνη του κανόνα

Καθως και τα λογια του ιδιου του μπαχ στην πρωτοτυπη παρτιτουρα.. (πιθανη αναφορα στον Euler?) ακαδημια βερολινου κλπ? Και τι σχεση ειχε τελοσπαντων αυτος ο κυριος παραπανω με αυτην Επισης εδω για τη μουσικη προσφορα θα πω μια ιστορια μαζι με αποσπασματα απο καποιο περιοδικο/εφημεριδα της εποχης Καθως και τα λογια του ιδιου του μπαχ στην πρωτοτυπη παρτιτουρα..

Μουσική Προσφορά (1747) Τελικά περιλάμβανε Μία τρίφωνη φούγκα (Ricercar a 3) Μία εξάφωνη φούγκα (Ricercar a 6) Μία τετραμερής σονάτα γιά βιολί, φλάουτο και μπάσο κοντίνουο Και δέκα κανόνες διαφόρων ειδών

Μουσικοί Γρίφοι Οι περισσότεροι απο τους παραπάνω κανόνες (αν όχι όλοι) είναι γραμένοι (στην πρωτότυπη έκδοση) σε μορφή γρίφου δηλαδή, ο/οι εκτελεστής/ές πρέπει να αποκωδικοποιήσουν το μουσικό κείμενο για να παίξουν τη μουσική.

Κανόνας ατελείωτης τονικής αλλοίωσης Ένας απο τους κανόνες της μουσικής προσφοράς. Είναι γραμμένος και αυτός σε μορφή γρίφου (χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς θέσης) Έχει την ιδιότητα να επαναλαμβάνεται συνεχώς αλλά ταυτόχρονα να αλλάζει και η τονικότητα του.

Αρχικά η τονικότητα είναι η Ντο ελάσσονα, στη συνέχεια η Ρε ελάσσονα, Μι, Φα#, Σολ#, Λα# (Σιb) και τέλος πίσω στη Ντο. Τελικά η αναπαραγωγή σταματά όταν έχουμε φτάσει για δεύτερη φορά στη Ντο και στην ουσία όλες οι φωνές βρίσκοντα μια οκτάβα πιό ψηλά (διπλάσια συχνότητα). Παρ’ ολα αυτά υπάρχουν καποια τεχνάσματα ώστε να μην βρεθεί το κομάτι μια οκτάβα ψηλότερα αλλά να επανέλθει στην αρχική τονικότητα

Gödel Escher Bach Ο Douglas Hofstadter αναφέρει τον συγκεκριμένο κανόνα στο βιβλίο του και έργο ζωής του παραθέτωντας:

And in particular, the Strange Loop is one of the most recurrent themes in Escher’s work. Look, for example, at the lithograph Waterfall, and compare its six-step endlessly failing loop with the six-step endlessly rising loop of the “Canon per Tonos”. The similarity of vision is remarkable. Bach and Escher one single theme in two different “keys”: music and art. […]

[…] In the examples we have seen of Strange Loops by Bach and Escher, there is a conflict between the finite and the infinite, and hence a strong sense of paradox. […] so this discovery by K. Gödel, of a Strange Loop in mathematical systems has its origins in simple and ancient intuitions. In its absolutely barest form, Gödel’s discovery involves the translation of an ancient paradox in philosophy into mathematical terms. That paradox is the so-called Epimenides paradox, or liar paradox. Epimenides was a Cretan who made one immoral statement: “All Cretans are liars.”

Χρυσή Τομή Το πρόβλημα: Να χωρισθεί ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε σημείο Κ έτσι ώστε Αποδεικνύεται οτι αυτός ο λόγος είναι η λύση της εξίσωσης: χ²-χ-1=0 δηλαδη:

Σειρά Fibonacci Ορίζεται μόνο αναδρομικά Πρώτοι όροι: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Καθώς και Δηλαδή ο λόγος δύο διαδοχικών όρων προσεγγίζει το λόγο της χρυσής τομής (όσο μεγαλύτεροι όροι τοσο καλύτερη ακρίβεια)

Και ο χρυσός λόγος αλλά και η σειρά Fibonacci εμφανίζονται στη φύση και προσδίδουν ενα «αίσθημα αρμονίας» Για αυτόν τον λόγο έχουν χρησιμοποιηθεί σε έναν αρκετά μεγάλο βαθμό στην τέχνη Έτσι και στον Μπάχ βλέπουμε, το πλήθος των μουσικών μέτρων της έκθεσης δια το πλήθος των υπόλοιπων μέτρων, να προσεγγίζει το φ. (φούγκα νο.15 σε Σολ μειζονα BWV 860)

Fractals Υπάρχει ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης δομής fractal στην τρίτη σουίτα για τσέλο του Μπάχ

Βέβαια δεν είναι αποδεδειγμένο οτι ο Μπάχ είχε κάποια επίγνωση πάνω στο θέμα των fractals και το συγκεκριμένο γεγονός μπορεί να αποδωθεί απλά στο μουσικό ύφος της εποχής του μπαρόκ. Κάτι παρόμοιο μπορούμε να πούμε και για το επόμενο παράδειγμα...

Το Καλώς Συγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο Αποτελείται απο δύο βιβλία εκ των οποίων το κάθε ένα περιέχει 24 πρελούδια και φούγκες σε όλες τις τονικότητες. Ήταν ένα είδος επίδειξης του (τότε) νέου συγκερασμένου μουσικού συστήματος, που επέτρεπε στον συνθέτη να χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε απο τις 24 τονικότητες Κάνοντας τη μουσική ενα πιο «πλήρες σώμα»

Αποκλειστική χρήση μοτίβων

Έχουμε ενα επαναλαμβανόμενο μοτίβο το οποίο αλλάζει μόνο αρμονικά οπότε έχουμε απλά μια διαδικασία «μια μηχανή» η οποία μας αντιστοιχίζει την απλή αντίστιξη (τη διαδοχή των συγχωρδιών) ακολουθώντας το μοτίβο.

Η Τέχνη της Φούγκας Το τελευταίο έργο του Μπάχ Είναι κατι σαν «εγχειρίδιο φούγκας» Αποτελείται απο περίπου 14 φούγκες και κάποιους κανόνες Χρησιμοποιεί ενα θέμα το οποίο σε κάθε φούγκα τροποποιείται (γίνεται πιο περίπλοκο) κρατώντας τα βασικά του στοιχεία

Το αρχικό θέμα (της 1ης φούγκας): Το θέμα της 3ης φούγκας: ΑΞΟΝΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Καθώς οι φούγκες προχωράνε η πολυπλοκότητα αυξάνει Τα θέματα γίνονται πιο περίπλοκα Η αντίστιξη είναι πιο περίπλοκη Οι φούγκες γίνονται πολλαπλές (διθεματικές, τριθεματικές)

Η ημιτελής 14η φούγκα Τελευταία φούγκα του έργου Θεωρητικά είναι η πιο περίπλοκη (τετραθεματική) Αποτελείται απο 3 μέρη (για κάποιους 4 καθώς το 4ο μέρος δεν ολοκληρώθηκε ποτέ) Τα 3 πρώτα μέρη έχουν ξεχωριστά θέματα το καθένα (όλα παραλαγές του αρχικού)

Ενώ, το τελευταίο μέρος είναι το τετραθεματικό που συνδυάζονται τα τρία προηγούμενα θέματα, μαζί με το αρχικό θέμα του έργου. Στο τρίτο μέρος εισάγεται το θεμα B-A-C-H Υποστηρίζουν οτι η συγκεκριμενη φούγκα δεν ολοκληρώθηκε εσκεμένα απο το συνθέτη σαν ένα είδος γρίφου. Ο Λύτης χρησιμοποιώντας «δεδομένα» από το υπόλοιπο έργο θα μπορέσει να την ολοκληρώσει. (κάποιες τέτοιες απόπειρες έχουν γίνει)

Gödel – Escher – Bach Σε αυτό το σημείο ο συγγραφέας κάνει μια αναφορά στο θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel η οποία έχει έναν πιό φιλοσοφικό χαρακτήρα. Πληρότητα μαθηματικών Πληρότητα μουσικής

Συνοψίζοντας Εικάζουμε οτι ο Μπάχ είχε μια μαθηματικά δομημένη σκέψη και «μαθηματική λογική σύνθεσης» Κατάφερε όμως να συμπεριλάβει στην τέχνη του μια αισθητική ομορφιά την οποία δύσκολα την βλέπουμε σε κάποιον που έχει κάνει τέχνη χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Αυτή και η ιδιοφυία του...

Βιβλιογραφία Douglas R. Hofstadter. Gödel – Escher – Bach: An Eternal Golden Braid Γ.Ν. Δρόσος. Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπάχ: η ζωή, το έργο, η εποχή του Σχολικά βιβλία: Λογικής (Γ΄ λυκείου) Μουσικής (Β΄ γυμνασίου) http://el.wikipedia.org/wiki/Γιόχαν_Σεμπάστιαν_Μπαχ

Ευχαριστίες Τους: Ηλία Ανδριανό και Μιχάλη Πατσαλιά για την έμπρακτη στήρηξη (και πίεση για την ολοκλήρωση της διάλεξης) Τον Νίκο Τσώλη για τις ιδέες του Τον Δάσκαλό μου Ανδρέα Μέρτζελο για τις μουσικές γνώσεις που μου έχει προσφέρει