Κεφάλαιο 11 Συναρτήσεις παραγωγής (Production functions)

Αφηρημένο υπόδειγμα παραγωγής “Η βασική δραστηριότητα μιας επιχείρησης είναι να μετατρέπει τις εισροές σε εκροές” Αφηρημένο υπόδειγμα παραγωγής

Εκροή q: Μονάδες παραγόμενου προϊόντος ανά χρονική περίοδο Εισροές K: Χρήση μηχανημάτων L: Ώρες εργασίες M: Πρώτες ύλες …: Άλλες εισροές

Ορισμός Συνάρτηση παραγωγής: Η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης για ένα συγκεκριμένο αγαθό, q, δείχνει την μέγιστη ποσότητα του αγαθού που μπορεί να παραχθεί χρησιμοποιώντας τους εναλλακτικούς συνδυασμούς κεφαλαίου (K) και εργασίας (L)

Οριακό φυσικό προϊόν (Marginal physical product) Το οριακό φυσικό προϊόν μιας εκροής είναι το επιπρόσθετο προϊόν που μπορεί να παραχθεί αν απασχολή-σουμε μία επιπλέον μονάδα της εισροής αυτής, ενώ οι υπόλοιπες εισροές παραμένουν σταθερές

Φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα (Diminishing marginal productivity)

Thomas Robert Malthus, 1766-1834

LONDON, PRINTED FOR J. JOHNSON, IN ST. PAUL'S CHURCH-YARD, An Essay on the Principle of Population, as it Affects the Future Improvement of Society with Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet, and Other Writers. LONDON, PRINTED FOR J. JOHNSON, IN ST. PAUL'S CHURCH-YARD, 1798

Νόμος των φθινουσών αποδόσεων ή Νόμος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας Όταν η τεχνολογία της παραγωγής και οι υπόλοιπες εκροές παραμένουν σταθερές και η ποσότητα της μεταβλητής εισροής συνεχίζει να αυξάνει, η οριακή φυσική παραγωγικότητα της μεταβλητής εισροής στο τέλος θα φθίνει

Put one man only on a square mile of prairie, and he will get a rich return. Two laborers on the same ground will get less per man; and, if you enlarge the force to ten, the last man will perhaps get wages only John Bates Clark “Distribution as Determined by a Law of Rent”, Quarterly Journal of Economics, vol. 5, (1890-91)

Μέση φυσική παραγωγικότητα εργασίας Μέση φυσική παραγωγικότητα εργασίας Μέσο προϊόν εργασίας

Παράδειγμα Για

Οριακό προϊόν

Το q είναι μέγιστο όταν MPL είναι μηδενικό, δηλ. Όταν

Μέσο προϊόν APL

Το μέγιστο μέσο προϊόν επιτυγχάνεται όταν

Παρατηρείστε ότι το μέσο προϊόν είναι μέγιστο στο σημείο όπου ισούται με το οριακό προϊόν

Δηλ., για L=30 APL=MPL=900.000

Αυτό ισχύει γενικά Απόδειξη Αυτό ισχύει γενικά Απόδειξη

Οι χάρτες των καμπυλών ίσου προϊόντος και ο τεχνικός λόγος υποκατάστασης

Μια καμπύλη ίσου προϊόντος (iso-quant) απεικονίζει τους συνδυασμούς των εισροών (K, L) που μπορούν να παράγουν μια δεδομένη ποσότητα εκροής (q0)

Ορισμός Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (Marginal rate of technical substitution) Ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (RTS) δείχνει το επίπεδο στο οποίο η εργασία μπορεί να υποκαταστήσει το κεφάλαιο ενώ το προϊόν παραμένει σταθερό κατά μήκος μιας καμπύλης ίσου προϊόντος

Πάνω στην καμπύλη ίσου προϊόντος ισχύει ότι dq=0, συνεπώς

Το όφελος από μια οριακή αύξηση του L αντισταθμίζεται επακριβώς από την απώλεια σε προϊόν λόγω μιας παρόμοιας μείωσης του Κ

Φθίνων οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης

Οι προϋποθέσεις πληρούνται για στην πραγματικότητα όμως ο RTS είναι φθίνων για

Αν όλες οι εισροές διπλασιασθούν, θα διπλασιασθεί το προϊόν; Αποδόσεις κλίμακος Αν όλες οι εισροές διπλασιασθούν, θα διπλασιασθεί το προϊόν;

An Inquiry into the Nature and Causes of the Adam Smith, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations 1776, I.I.5 “This great increase of the quantity of work which, in consequence of the division of labour, the same number of people are capable of performing, is owing to three different circumstances; first to the increase of dexterity in every particular workman; secondly, to the saving of the time which is commonly lost in passing from one species of work to another; and lastly, to the invention of a great number of machines which facilitate and abridge labour, and enable one man to do the work of many.”

Αποδόσεις κλίμακος Σταθερές Φθίνουσες Αύξουσες

Σταθερές αποδόσεις κλίμακος κλάδου Αν όλες οι επιχειρήσεις παράγουν στο άριστο επίπεδο, αυξάνοντας τον αριθμό των επιχειρήσεων ο κλάδος έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακος

Σταθερές αποδόσεις κλίμακος στην συνάρτηση παραγωγής Αν συμβαίνει αυτό ο RTS εξαρτάται μόνο από τον λόγο K/L και όχι από την κλίμακα παραγωγής

Περίπτωση n εισροών k=1 Σταθερές k<1 Φθίνουσες k>1 Αύξουσες

Ελαστικότητα (τεχνικής) υποκατάστασης Elasticity of (technical) substitution σ H ελαστικότητα (τεχνικής) υποκατά-στασης (σ) μετράει την αναλογική μεταβολή του Κ/L σε σχέση με την αναλογική μεταβολή του RTS κατά μήκος μιας καμπύλης ίσου προϊόντος

Μερικές κοινές συναρτήσεις παραγωγής Γραμμική συνάρτηση παραγωγής Σταθερές αναλογίες Cobb-Douglas CES Σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης

Περίπτωση 1: Γραμμική συνάρτηση παραγωγής

Γραμμική σ.π. & αποδόσεις κλίμακος Γραμμική σ.π. & αποδόσεις κλίμακος

Περίπτωση 2: Σταθερές αποδόσεις (Leontief)

Wassily Leontief 1906-1999                                                                                            

Σταθερές αναλογίες & σταθερές αποδόσεις κλίμακος Σταθερές αναλογίες & σταθερές αποδόσεις κλίμακος

Περίπτωση 3: Συνάρτηση Cobb-Douglas

Περίπτωση 3: Συνάρτηση Cobb-Douglas

Cobb-Douglas & σταθερές αποδόσεις κλίμακος

Cobb-Douglas & RTS

Περίπτωση 4: Σ.Π. Σταθερής ελαστικότητας CES K.J. Arrow, H.B. Chenery, B.S. Minhas and R.M. Solow (1961), "Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency", Review of Economics and Statistics, Vol. 43, pp.225-50.

CES

CES γενική μορφή

Αποδόσεις κλίμακος

Περίπτωση 1: ρ=1 Περίπτωση 2: ρ= Περίπτωση 3: ρ=0