«Δημιουργώντας, με αριθμούς και πράξεις…» Ερευνητική εργασία σχολικού έτους 2012 – 2013 Β΄ Αρσάκειο Γενικό Λύκειο Ψυχικού

Ομάδες μαθητών – Υπεύθυνοι καθηγητές Ομάδες μαθητών – Υπεύθυνοι καθηγητές Ομάδα Α Ομάδα Γ Ανδρονίδη Μυρτώ Κωνσταντάρα Αθηνά Καριανάκη Γεωργία Πιαδίτη Βάσω Κοντονίκα Καλλισώ Πουπάκη Σοφία Κρέπιας Αλέξης Ρέτσα Αντιγόνη Λεβέντη Αριάννα Περιστέρη Αγγελική Μακράκη Νατάσα Σαραντοπούλου Αθηνά Ομάδα Β Ομάδα Δ Μπαλτά Μαριάννα Μαρούλης Σπύρος Μπαρούτης Κώστας Χασάνης Ιάσονας Ορφανουδάκης Σπύρος Μαρούλης Κων/νος Πανταζής Νίκος Μαραλέτος Νίκος Παντελάρος Γιώργος Αναστασάκης Άγγελος Σαλτέλλης Άγγελος Υπεύθυνοι Καθηγητές : Μεταλληνού Αγγέλα Βραχνός Χρήστος

Περιεχόμενα Σχεδιάζοντας με αριθμούς : Λίγα λόγια για το geogebra. Μια μικρή «ανακάλυψη» όσον αφορά τις νέες τεχνολογίες στην Εκπαίδευση. Τα δικά μας σχέδια με το geogebra. Μαθηματικά και μουσική : Πυθαγόρειοι και μουσική. Γεώργιος Κερτσόπουλος. Ιάννης Ξενάκης. Το φαινόμενο Mozart.

Λίγα Λόγια για το GeoGebra (geometry + algebra) Μαθηματικό λογισμικό, που επιτρέπει δυναμικές αναπαραστάσεις διαφόρων εννοιών. Το GeoGebra δημιουργήθηκε από τον Markus Hohenwanter το 2001. Παρέχει πολλές δυνατότητες. Αποτελεί ελεύθερο λογισμικό ανοικτού κώδικα.

Εξελίσσεται και βελτιώνεται συνεχώς. Δεν υπάρχουν διαφορετικές εκδόσεις για κάθε υπολογιστή. Είναι γραμμένο στη γλώσσα Java. Έχει κερδίσει πολυάριθμα βραβεία και έχει μεταφραστεί σε περισσότερες από 25 γλώσσες.

Waldorf Schools Σε περισσότερα από 160 σχολεία της Αμερικής, τα μαθήματα γίνονται χωρίς τη χρήση νέων τεχνολογιών. H πλειοψηφία των μαθητών που φοιτούν σε αυτά τα σχολεία έχουν συγγενείς οι οποίοι εργάζονται σε κολοσσούς επιχειρήσεις της πληροφορικής. Ειδικοί στο χώρο, υποστηρίζουν ότι δεν έχει αποδειχθεί ότι η χρήση σύγχρονων τεχνολογιών λειτουργεί καταλυτικά στη βελτίωση της απόδοσης των μαθητών στα σχολεία. Αντιθέτως στα σχολεία του Σίλικον Βάλεϊ, το ποσοστό των μαθητών που φοιτούν σε αυτά τα σχολεία και καταφέρνουν να εισέλθουν και να συνεχίσουν τις σπουδές τους σε σχόλες τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, αγγίζει το 94%. Τα μόνα εργαλεία που χρησιμοποιούν οι μαθητές είναι επομένως το χαρτί, το μολύβι και το παραδοσιακό χάρτινο βιβλίο.

Η άποψή μας …: ισορροπία!

Το μικρό σπίτι στο … λιβάδι! Όσο απλό και αν σας φαίνεται Τόσο πολύπλοκο είναι!!! Το συγκεκριμένο σχήμα αποτελείται από σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, κύκλους, παραβολές, ελλείψεις και υπερβολές (καθώς και τμήματα αυτών)!

Όταν μεγαλώσω, θέλω να οδηγήσω μια…: Το συγκεκριμένο σχήμα, που μπορεί να μας φαίνεται πολύπλοκο, αποτελείται από δύο κύκλους και τρία γράμματα! Απλά χωρίσαμε το μικρό κύκλο σε τέσσερεις κυκλικούς τομείς και προσθέσαμε και λίγο χρώμα!

Ας δούμε λίγο… τηλεόραση!

Η τηλεόραση υλοποιήθηκε με την παρακάτω διαδικασία : Κατ΄ αρχάς σχεδιάσαμε τα παρακάτω ευθύγραμμα τμήματα : y = 0 , x E [-4,4] y = 5 , x E [-4,4] y = 1 , x E [-3,3] x = 4 , y E [0,5] x = -4 , y E [0,5] x = 3 , y E [1,4] x = -3 , y E [1,4] Επιπλέον τοποθετήσαμε και κάποια σημεία. Ενδεικτικά αναφέρουμε τρία από αυτά : (x,y) = (1.5 , 0.5) (x,y) = (2 , 0.5) (x,y) = (2.5 , 0.5)

Να ήρθε και το γουρουνάκι! Η εικόνα αυτή προέκυψε από: κύκλους, τμήματα αυτών. παραβολές, τμήματα αυτών. ευθύγραμμα τμήματα και σημεία.

Ναι, πλησιάζει το καλοκαίρι !!! Η εικόνα αυτή προέκυψε από: γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων της μορφής: f(x) = ημ(x+κ)+ρ ευθύγραμμα τμήματα. ένα κύκλο.

Το καραβάκι κουνάει λίγο γιατί ήρθαν τα…: Κύματα! Η εικόνα αυτή προέκυψε από γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων της μορφής : f(x)=ημ(x+κ)+ρ

Ας χαζέψουμε ένα ωραίο …: Πάτωμα! Χρησιμοποιήσαμε μόνο τη συνάρτηση και οριζόντιες μετατοπίσεις αυτής!

Μην τρομάξετε : Μια κατσαρίδα!

Η εικόνα αυτή προέκυψε από: γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων της μορφής : f(x)=x-x Ευθύγραμμα τμήματα και σημεία. Τετράγωνα.

Ναι, είμαι ο Μορίς!

Η εικόνα αυτή προέκυψε από: κύκλους και τμήματα αυτών. παραβολές και τμήματα αυτών. ευθύγραμμα τμήματα και σημεία. Επιπλέον χρησιμοποιήσαμε συναρτήσεις της μορφής f(x)=[(x2+α)/x2]+β.

Πυθαγόρειοι και Μουσική

Συσχέτιση μαθηματικών και μουσικής από τον Πυθαγόρα με τη βοήθεια του μονόχορδου οργάνου (Πυθαγόρειος κανών). Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων με μεγάλη μαθηματική ακρίβεια υπήρξε σημαντικός για την εξέλιξη τόσο της μουσικής όσο και των μαθηματικών. Κάθε μουσική συμφωνία σχετιζόταν με απλούς μαθηματικούς λόγους. Δύο νότες είναι σύμφωνες αν ακούγονται ευχάριστα όταν παίζονται ταυτόχρονα.

O Πυθαγόρας επινόησε το οκτάχορδο, ενώνοντας δύο Δωρικά τετράχορδα. Κατά τον Πυθαγόρειο Νικόμαχο τον Γερασηνό, οι 7 φθόγγοι της κλίμακας αντιστοιχούν στα 7 τότε γνωστά ουράνια σώματα: Δίας, Άρης, Ήλιος, Ερμής, Αφροδίτη, Κρόνος, Σελήνη. Η κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου και αυτό αποδείχτηκε με το μονόχορδο. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα.

Διάστημα «Διάστημα» ονομάζεται στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα η σχέση μεταξύ δύο αριθμών, δηλαδή o λόγος, όπως επίσης το «τμήμα ευθείας», δηλαδή η απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Έχει δύο συνοριακά σημεία (πέρατα, όρους), τα οποία δίνονταν ως αριθμοί.

Τετρακτύς Ιερό σύμβολο των Πυθαγορείων. Αποτελείται από τους δέκα πρώτους αριθμούς(1-10) τοποθετημένους σε τέσσερις σειρές. Με την μελέτη των εννοιών των αριθμών που υπάρχουν στην Τετρακτύν και των σχέσεων τους οι Πυθαγόρειοι υποστηρίζουν ότι κάποιος φθάνει στην απόκτηση της σοφίας.

Μουσική των σφαιρών Πίστη σε ένα σύμπαν διατεταγμένο με τις ίδιες μαθηματικές αναλογίες που παράγουν μουσικές αρμονίες. Ο κόσμος έχει δημιουργηθεί με τη χρήση ενός «διαστημικού» μονοχόρδου. Η κοσμική κλίμακα δεν είναι πραγματική μουσική, αλλά το θεμέλιο της επιστήμης των αρμονικών.

Πλάτωνας : το σύμπαν θεωρείται ένα σύνολο από ομόκεντρους κύκλους – πλανητικές τροχιές –, που στην επιφάνεια του καθενός κάθεται μια Σειρήνα που τραγουδάει και μαζί σχηματίζουν έναν αρμονικό ήχο (μουσική των σφαιρών). Μετά τον Πλάτωνα: Κυριολεκτική απόδοση: οι θνητοί την ακούνε από τη γέννησή τους, αλλά δεν την αντιλαμβάνονται.

Κατασκευή Πυθαγόρειας Κλίμακας Η απλή σχέση των συχνοτήτων δύο νοτών που σχηματίζουν οκτάβα (2:1) είναι η βάση για την κατασκευή οποιασδήποτε μουσικής κλίμακας. Κάθε ένα από τα “μικρότερα” διαστήματα είναι μια δεύτερη μικρή, ή ημιτόνιο, (λόγος: 256/243). Εμφανίζονται και άλλα διαστήματα μεταξύ των νοτών, (π.χ. τρίτη μεγάλη, έκτη μεγάλη, κ.λπ.), με τους αντίστοιχους λόγους μεταξύ των νοτών από τις οποίες αποτελούνται.

Τεντωμένη χορδή ταλαντώνεται σχηματίζοντας μια νότα με συχνότητα t Το διάστημα μεταξύ της νέας και της αρχικής νότας δίνεται από το λόγο των συχνοτήτων τους, 2t:t ή 2:1, μια οκτάβα Αν ταλαντωθεί με τριπλάσια συχνότητα από την αρχική, παράγει τη νότα με συχνότητα 3t Το διάστημα ανάμεσα στις νότες με συχνότητα 3t και 2t είναι 3:2 Η νότα μια οκτάβα κάτω από την 3t είναι η 3/2t και το διάστημα μεταξύ της t και της 3/2t είναι 3/2 Κάθε νέα νότα απέχει ένα νέο διάστημα από την κοντινότερη σε αυτήν, και αυτό το διάστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή επιπλέον καινούργιων νοτών.

Εναλλακτικός τρόπος δημιουργίας της κλίμακας : δημιουργία μιας αλληλουχίας από συνεχόμενες πέμπτες καθαρές, ξεκινώντας από την αρχική νότα. Το ημιτόνιο είναι στην πραγματικότητα μικρότερο από το μισό του τόνου (αφού (256/243)2 < 9/8). Αυτό οδηγεί σε σημαντικά προβλήματα όταν χρησιμοποιείται πυθαγόρειο κούρδισμα. Εάν περιοριστούμε σε οκτάβες και πέμπτες καθαρές, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο οι αριθμοί 2, 3 και οι δυνάμεις τους στους υπολογισμούς των λόγων. Κάθε νότα στην Πυθαγόρεια κλίμακα μπορεί να γραφτεί απλά ως 2p·3q, (p, q ακέραιοι).

Ντο Ρε Μι Φα Σολ Λα Σι Ντο΄ 1 32/23 34/26 22/3 3/2 33/24 35/27 2

Πυθαγόρειο κόμμα Οι κανόνες με τους οποίους έχει κατασκευαστεί η Πυθαγόρεια κλίμακα οδηγούν σε άπειρο αριθμό νέων νοτών. Έτσι οδηγούμαστε σε προβλήματα σε περίπτωση που θέλουμε να κατασκευάσουμε μια κλίμακα –ειδικά μια που να είναι ενσωματωμένη σε όργανα, όπως το πιάνο, όπου είναι με τη μορφή πλήκτρων– που να επιτρέπει τη μετάβαση σε διαφορετικές τονικότητες.

Γιώργος Κερτσόπουλος

Βιογραφία Ο Γιώργος Κερτσόπουλος: Γεννήθηκε το 1952 στην Ελλάδα. Μετανάστευσε με την οικογένεια του στον Καναδά σε μικρή ηλικία. Είναι : Καθηγητής κλασικής και φλαμένκο κιθάρας. Ερευνητής της μουσικής και κατασκευαστής μουσικών οργάνων και χορδών. Συγγραφέας (Πρώτος τόμος : Χωροχρονική θεωρία).

Αισθητική Κερτσόπουλου Το σύνολο του ερευνητικού, εφευρετικού και κατασκευαστικού πονήματος του Γιώργου Κερτσόπουλου. Αναγέννηση των διαφορετικών μορφών της κιθάρας, των χορδών και του κουρδίσματος της, διαμέσου των αιώνων. Το έργο αυτό παρουσιάζει πλήθος δημιουργιών και εφευρέσεων πάνω στην κιθάρα. Συμπαθητικά συνηχητικά συστήματα και φόρμες, πρόσθετες ακουστικές οπές, επιφάνειες και υλικά, πνευστά, κινητά ή μη, πετάλια, ανάπτυξη νέων υλικών (μεταλλονάυλον, μεταλλόνημα) και μεικτά ή διαφορετικά χορδίσματα.

Κατασκευές, ανάπτυξη Πρώτη κατασκευή «Guitarra Battente» Τριπλο-διπλο-μονόχορδη κιθάρα(: Μόντρεαλ 1978, 18χορδης μέγιστης χωρητικότητας (6 τριπλές χορδές), μεικτού κουρδίσματος "Σκαφτής ταστιέρας, με οπίσθιο αφαιρούμενο pedal και μηχανισμό αλλαγής τάσης χορδών" (Αθήνα 1984) "Κιθάρα με ποδοπεντάλ πεπιεσμένου αέρα" (Αθήνα 1988) "Ζευγόλαιμη οκταβική, κινητού pedal πλάτης" (Αθήνα 1996) "Παραλληλόγραμμη κινητού pedal πλάτης, μεταβλητής χροιάς" (Αθήνα 1996) "Χορδές από νάυλον, μεταλλονάυλον και μεταλλόνημα με δυνατότητα μικροκουρδισμάτων και μεταβλητής χροιάς" 1994, το ένθετο "Επίκαιρα της "Κυριακάτικης Ελευθεροτυπίας", δημοσίευσε τετρασέλιδο άρθρο που αφορούσε στην "Αισθητική Κερτσόπουλου Το πρώτο μέρος του έργου του περί της "Αισθητικής Κερτσόπουλου" βρίσκεται δημοσιευμένο από τον ίδιο, στην ιστοσελίδα του Guitar International,διαδικτυακού περιοδικού συνεργαζόμενου με το έντυπο Guitar Magazine Η "Αισθητική Κερτσόπουλου" αποτελεί το αντικείμενο μουσικολογικής μελέτης σε άρθρο της Διονυσίας Μπλαζάκη, στις 10 Μαΐου 2007. Η Διονυσία Μπλαζάκη είναι καθηγήτρια μουσικής, υποψήφια διδάκτωρ Μουσικολογίας στον τομέα «Αισθητική της Μουσικής». Το αμερικάνικο διαδικτυακό περιοδικό The Contrapuntist έχει αφιερώσει ανάρτηση στην "Αισθητική Κερτσόπουλου" και στις μελέτες του. Το σύγγραμα του Χαράλαμπου Χ. Σπυρίδη, "Μουσική ακουστική" (Υπηρεσία Δημοσιευμάτων Α.Π.Θ., 1991, σελ. 274-275) ενθέτει σχέδιο και αναφορική επεξήγηση από τη "Φυσική της κιθάρας" του Γιώργου Κερτσόπουλου. Το λήμμα "Κερτσόπουλος Γιώργος" βρίσκεται στο εξάτομο έργο του Τάκη Καλογερόπουλου "Το Λεξικό της Ελληνικής Μουσικής, (Εκδ. Γιαλλελής 1998, Τ. 3 Καν-Μαν, σελ. 155, ISBN 960-7555-06-6)

Η γεωμετρική πρόοδος και το μαθηματικό μοντέλο της κλασικής κιθάρας Jose Ramirez III ( ιδιόχειρη επιστολή του στις 8 Απριλίου 1983 στη Μαδρίτη) "Το έργο που πραγματοποιήθηκε από τον Γ. Κερτσόπουλο, επάνω στις μαθηματικές διαμορφώσεις της σχηματοποίησης της κιθάρας, αξίζει το σεβασμό και το θαυμασμό μου, όχι μόνο για την επιστημονική του προσέγγιση αλλά και από το γεγονός ότι αποτελεί μια σοβαρή σπουδή η οποία φωτίζει όλα εκείνα τα λεπτά σημεία τα οποία απαντώνται στη φόρμα του οργάνου, και τα οποία δεν είχαν σαφώς διαλευκανθεί από την παράδοση."

José Ramírez III (1922–1995) : Ήταν υπεύθυνος για σημαντικές αλλαγές στη βιομηχανία και στην παραγωγή κλασικής κιθάρας. Μεγάλωσε σε οικογένεια η οποία ασχολούνταν με τη κατασκευή κλασικής κιθάρας. Εξάσκησε το επάγγελμά του δουλεύοντας στην επιχείρηση του παππού του. Μετά το θάνατο του παππού του εργάσθηκε παρέα με τον πατέρα του. Ο Ramirez συνεργάσθηκε με τους μεγαλύτερους ερμηνευτές, οι οποίοι αποδέχτηκαν τις καινοτομίες του.

Επιτυχίες Κερτσόπουλου Έχει πραγματοποιήσει ρεσιτάλ στην Ευρώπη, την Αμερική και τον Καναδά. Το 1978 συνεργάστηκε με τη Φιλαρμονική Ορχήστρα της Νέας Υόρκης, ενώ το 1972 κατέκτησε το 1ο βραβείο του Διεθνούς Διαγωνισμού Κιθάρας που διεξήχθη στο Μιλάνο. Εκείνο που χαρακτηρίζει την αισθητική προσέγγιση στην ερμηνεία του Κερτσόπουλου στην κιθάρα, πέραν της ακαδημαϊκής κατάκτησης και συναυλιακής εμπειρίας, είναι η σπουδή του στην ιστορική μορφολογία του οργάνου και του ρεπερτορίου του.

Ιάννης Ξενάκης

ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ 29 Μαΐου 1922 – 4 Φεβρουαρίου 2001. 29 Μαΐου 1922 – 4 Φεβρουαρίου 2001. Γιος του Κλεάρχου Ξενάκη και της Φωτεινής Παύλου. 1932 : Κοργιαλένιο σχολή  πρώτα μαθήματα μουσικής και γνωριμία με τη μουσική μεγάλων συνθετών. 1940 : σπουδές του στην Πολυτεχνική σχολή παράλληλα με σπουδές αρμονίας και αντίστιξης. 1944 : τραυματισμός από βόμβα  Παραμόρφωση προσώπου και καταστροφή αριστερού ματιού.

1947 : διαφυγή με ψεύτικα χαρτιά από την Ελλάδα, όντας καταδικασμένος σε θάνατο και άφιξη αρχικά στην Ιταλία και ύστερα στο Παρίσι. Εκεί εργάσθηκε ως αρχιτέκτονας. Συνεργασία με τον γάλλο αρχιτέκτονα Λε Κορμπιζιέ. Προτροπή Ολιβιέ Μεσιάν να ασχοληθεί με τη σύνθεση με βάση τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. 1950 : γνωριμία με την Φρανσουάζ, την οποία και παντρεύτηκε το 1953. 1960 -1997 : αφιερώθηκε αποκλειστικά στη σύνθεση. Πέθανε στις 4 Φεβρουαρίου 2001.

Μουσικό έργο Χαρακτηρίστηκε ως «νεοπυθαγόρειος», γιατί συσχέτισε τη μουσική και την αρχιτεκτονική με τα μαθηματικά και τη φυσική μέσω της χρησιμοποίησης μοντέλων από τη θεωρία των συνόλων, τη θεωρία των πιθανοτήτων και τη θερμοδυναμική. Ένας από τους ιδρυτές της λεγόμενης «στοχαστικής μουσικής». Αλγοριθμική σύνθεση : Τεχνική της χρήσης αλγορίθμων για την σύνθεση μουσικής. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές είναι σε θέση να συνθέσουν μουσική, εφ’ όσον προγραμματιστούν κατάλληλα. Κατά κανόνα όμως, μουσική παράγεται μέσω υπολογιστών όταν οι αλγόριθμοι έχουν την ικανότητα να παίρνουν πρωτοβουλίες κατά την διαδικασία της σύνθεσης. Οι πρώτες του συνθέσεις μέσω των ηλεκτρονικών υπολογιστών ήταν οι : "ST/48-1,240162", "Amorsima-Morsima", και η "Atres".

Το φαινόμενο Mozart «ΑΝΤΛΩΝΤΑΣ ΔΥΝΑΜΗ ΑΠΟ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΡΑΠΕΙΑ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΤΗΝ ΕΝΔΥΝΑΜΩΣΗ ΤΟΥ ΝΟΥ ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗ ΤΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΥ ΠΝΕΥΜΑΤΟΣ»

Βασίζεται σε μια θεωρία η οποία υποστηρίζει πως η ακρόαση μουσικών κομματιών του Mozart μπορεί να βελτιώσει το IQ και την πνευματική ανάπτυξη των νηπίων. Αν και δεν είναι ακόμα επιστημονικά αποδεδειγμένο, άλλα μουσικά κομμάτια μεγάλων μουσικοσυνθετών δεν παρουσιάζουν παρόμοιες ιδιότητες.

Σχέση νευρώνων με αρμονία: Ο Vernon Mountcastle (1978), κατασκεύασε το πρώτο μοντέλο της νευρικής δομής του εγκεφαλικού φλοιού. Απεικονίζει τους νευρώνες που πυροδοτούνται με κάθε νοητική λειτουργία σε νότες. Οι ήχοι που βγήκαν από τα ηχεία των υπολογιστών δεν ήταν ασυνάρτητοι, αλλά αποτελούσαν αρμονική μουσική.

Η Θεωρια του Dr. Alfred Tomatis : Η βασική ιδιότητα του αυτιού δεν είναι η παθητική ακοή, αλλά η επεξεργασία των ήχων. Αυτό που κάνει η θεραπευτική μέθοδος της ακουστικοψυχοφωνολογίας του, είναι να δίνει ενέργεια στους ανθρώπους ώστε να αντιμετωπίσουν ασθένειες. Ένα καλό ακουόγραμμα δε σημαίνει ότι αντιλαμβανόμαστε και αποκωδικοποιούμε σωστά τα «μηνύματα» που λαμβάνουμε από το περιβάλλον μας.

Πείραμα του Gordon Shaw και του Frances Rauscher: Μελέτησαν τις επιδράσεις της μουσικής. Τα αποτελέσματα του ΙQ τεστ έδειξαν ότι υπήρχε μια προσωρινή ενίσχυση της ετεροχρονικής σκέψης.

Ερωτήσεις – Παρατηρήσεις – Σχόλια Σας ευχαριστούμε πολύ για το χρόνο σας!