ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 6ο Μαθηματικά χρηματοδότησης Αξιολόγηση επενδύσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: υπολογίζετε ίσες πληρωμές, χρησιμοποιείτε την έννοια του IRR (Internal Rate of Return) και της καθαράς παρούσας αξίας (Net Present Value), αξιολογείτε μια επένδυση τόσο με IRR όσο και με NPV.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να υπολογιστεί το ποσό που πρέπει να επενδυθεί τώρα έτσι ώστε, να μας αποφέρει ετήσιο εισόδημα 10.000€ στο τέλος κάθε χρόνου, με ετήσιο επιτόκιο 7%, για 10 έτη.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Επίλυση Η πρώτη πληρωμή γίνεται στο τέλος του 1ου έτους και θα είναι: Επομένως αν επιθυμούμε να αποκομίσουμε 10000€ σε ένα έτος θα πρέπει να επενδύσουμε 9345.79€ σήμερα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Για τέλος του 2ου έτους θα είναι: Αυτό το ποσό θα πρέπει να επενδύσουμε στην αρχή της επένδυσης (σήμερα), αν θέλουμε να αποκομίσουμε στο τέλος της 2ετίας 10.000€

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Επομένως στο σύνολο της 10ετίας θα ισχύει: Το παραπάνω είναι το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της γεωμετρικής σειράς με α=10000(1.07)-1 και ρ=(1.07)-1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Σ=α 𝜌 𝜈 −1 𝜌−1 =10000 1.07 −1 1.07 −10 −1 1.07 −1 −1 =9345.79 0.50835−1 −0.06542 =70236.28

ΜΑΘΗΜΑ 6ο Μαθηματικά χρηματοδότησης Αξιολόγηση επενδύσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: υπολογίζετε ίσες πληρωμές, χρησιμοποιείτε την έννοια του IRR (Internal Rate of Return) και της καθαράς παρούσας αξίας (Net Present Value), αξιολογείτε μια επένδυση τόσο με IRR όσο και με NPV.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Να υπολογιστεί ο εσωτερικός συντελεστής επιστροφής (απόδοσης) (IRR) για ένα έργο που απαιτεί αρχική επένδυση 20.000€ και παράγει έσοδα 8.000€ στο τέλος του πρώτου έτους και 15.000€ στο τέλος του δευτέρου έτους.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Επίλυση Γνωρίζουμε ότι: Άρα για την απόδοση του πρώτου έτους θα πρέπει να έχει επενδυθεί στην αρχή (σήμερα) ποσό ίσο με:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Αντίστοιχα για την απόδοση του δεύτερου έτους θα πρέπει να έχει επενδυθεί στην αρχή (σήμερα) ποσό: Επομένως συνολικά θα έχουμε:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Θέτουμε x=1+r/100

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 20x2- 8x-15=0 Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Επομένως 𝑥= − −8 ± 1264 2 20 ή 1+ 𝑟 100 = 8± 1264 40

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 1+r/100=(8±35.55)/40 1+r/100=(8+35.55)/40=43.55/40=1.09 ή r=100(1.09-1)=100X0.09=9 ή r=100(-0.69-1) απορρίπτεται

ΜΑΘΗΜΑ 6ο Μαθηματικά χρηματοδότησης Αξιολόγηση επενδύσεων ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: υπολογίζετε ίσες πληρωμές, χρησιμοποιείτε την έννοια του IRR (Internal Rate of Return) και της καθαράς παρούσας αξίας (Net Present Value), αξιολογείτε μια επένδυση τόσο με IRR όσο και με NPV.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για ένα έργο οι δαπάνες (αρνητικό πρόσημο) και τα αναμενόμενα έσοδα δίνονται από τον πίνακα που ακολουθεί: Να υπολογιστεί η ΚΠΑ του έργου με προεξοφλητικό επιτόκιο 8% και ετήσιο ανατοκισμό. ΕΤΟΣ ΡΟΗ (σε .000€) -400 1 120 2 130 3 140 4 150

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για το πρώτο έτος έχουμε παρούσα αξία απόδοσης 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 =120.000 1+ 8 100 −1 =120000 1.08 −1 =111111 Για το δεύτερο έτος έχουμε παρούσα αξία απόδοσης 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 =130.000 1+ 8 100 −2 =130000 1.08 −2 =111454 Για το τρίτο έτος έχουμε παρούσα αξία απόδοσης 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 =140.000 1+ 8 100 −3 =140000 1.08 −3 =111137

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για το τέταρτο έτος έχουμε παρούσα αξία απόδοσης 𝑃=𝑆 1+ 𝑟 100 −𝑡 =150.000 1+ 8 100 −4 =150000 1.08 −4 =110254 Οπότε η Καθαρά Παρούσα Αξία θα είναι: NPV = (111.111+111.454+111.137+110.254) – 40.0000 NPV=443.956 – 400.000 = 43.956

ΓΕΝΙΚΑ NPV >0 ΕΠΕΝΔΥΟΥΜΕ NPV <0 ΔΕΝ ΕΠΕΝΔΥΟΥΜΕ Γενικά NVP θα μειώνεται όταν: Η αρχική δαπάνη αυξάνεται Το προεξοφλητικό επιτόκιο αυξάνεται

Χρήση του IRR Ως βάση ο τύπος 𝑆=𝑃 1+ 𝑟 100 𝑡 𝑆=𝑃 1+ 𝑟 100 𝑡 Με σταθερό προεξοφλητικό επιτόκιο r θα ισχύει: 400=120 1+ 𝑟 100 −1 +130 1+ 𝑟 100 −2 +140 1+ 𝑟 100 −3 +150 1+ 𝑟 100 −4 Αν θέσουμε την παράσταση στην παρένθεση ίση με x 40=12𝑥+13 𝑥 2 +14 𝑥 3 +15 𝑥 4

Χρήση του IRR 0,08 npv 0,12 0,1265 0,15 -400 1 120 0,925926 111,11 0,892857 107,14 0,887705 106,52 0,869565 104,35 2 130 0,857339 111,45 0,797194 103,64 0,788021 102,44 0,756144 98,30 3 140 0,793832 111,14 0,71178 99,65 0,69953 97,93 0,657516 92,05 4 150 0,73503 110,25 0,635518 95,33 0,620977 93,15 0,571753 85,76 43,96 5,76 0,05 -19,54

Χρήση του IRR (γραφικά)