ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

http://www.learner.org/courses/mathilluminated/interactives/ http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session7/part_b/index.html Line symmetry http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session7/part_a/bisector.html Quilts http://www.learner.org/teacherslab/math/geometry/shape/quilts/index.html

Τι κοινό έχουν οι πεταλούδες και οι νιφάδες του χιονιού; Γιατί κάποια σχέδιαείναι πιο ελκυστικά απο κάποια άλλα;

Συμμετρία καθρέπτη/Αντανάκλαση Η διαδικασία αντανάκλασης αφήνει το αρχικό σχήμα ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ

Στροφή Ο αστερίας είναι συμμετρικός κάτω απο συγκεκριμένη γωνία στροφής. Ποιά;

Μια μαργαρίτα με 30 πέταλα;

Ένα σχήμα μπορεί να έχει διαφόρων τύπων συμμετρίες Ένα σχήμα μπορεί να έχει διαφόρων τύπων συμμετρίες. Η διερεύνηση αυτού του θέματος μας οδηγεί στη θεωρία Ομάδων (Group Theory), μια απο τις πιο σημαντικές θεωρίες στα Μαθηματικά. Θα τη διερευνήσουμε μέσα απο τις συμμετρίες του ισόπλευρου τριγώνου.

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει 6 γεωμετρικές συμμετρίες Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει 6 γεωμετρικές συμμετρίες. Προκύπτουν απο μετασχηματισμούς που το αφήνουν αναλλοίωτο. Ποιές; Μόνον 6;Σκεφτείτε τους συνδυασμούς.

3 στροφές: 120, 240, 360 R120 R120+F

Οι 6 συμμετρίες του τριγώνου

Θυμόμαστε: Οι συμμετρίες (απλές ή συνδυασμός συμμετριών) είναι μετασχηματισμοί που αφήνουν το σχήμα αναλλοίωτο

Διερευνήστε τι συμβαίνει με τα τετράγωνα

Οι οκτώ συμμετρίες του τετραγώνου R2 (180), R3(270)

Οι συμμετρίες (:κινήσεις που αφήνουν το τρίγωνο αναλλοίωτο) ενός ισόπλευρου τριγώνου σχηματίζουν Ομάδα. Η Ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων που υπόκεινται σε κάποιους κανόνες όταν συνδυάζονται μέσα απο μια πράξη, που ονομάζουμε «πολλαπλασιασμό». Η «δύναμη» της θεωρίας Ομάδων είναι ότι μας επιτρέπει να κάνουμε πράξεις με πράγματα που δεν είναι αριθμοί. Στην περίπτωση του τριγώνου η «πράξη που κάναμε ήταν η ενέργεια «ακολουθούμενη απο...» Αυτό βρίσκεται σε πλήρη αντιστοιχία με την αριθμητική, όπου πχ συνδυάζονας δυο ακεραίους μέσω πρόσθεσης, παίρνουμε πάλι ακέραιο.

Ιδιότητες της Ομάδας R1 –L -M L -R1 -N Έχει ουδέτερο στοιχείο:Όταν συνδυάζεται με ένα στοιχείο δεν το αλλάζει Κάθε μέλος έχει ένα αντίστροφο. Όταν συνδυάζεται με ένα στοιχείο, δίνει το ουδέτερο στοιχείο. Είναι «κλειστή» ως προς την πράξη της: Ότανσυνδυάζονται δυο στοιχεία, δίνουν στοιχείο της Ομάδας.πχ για το τρίγωνο, ο συνδυασμός δυο συμμετριών, έδινε πάντα συμμετρία Έχει την προσεταιριστική ιδιότητα Δεν ισχύει πάντα η αντιμεταθετικότητα (Αν ισχύει έχουμε Abelian groups) Πχ R1 –L -M L -R1 -N

Μια γνωστή Ομάδα είναι οι ακέραιοι με την πράξη της πρόσθεσης.

Μπορούμε να «απελευθερώσουμε» τη σκέψη μας και να αρχίσουμε να σκεφτόμαστε τη Συμμετρία όχι ως ιδιότητα, αλλά ως «κίνηση» που αφήνει ένα στοιχείο το ίδιο όπως πριν απο την κίνηση.

Βρείτε τις ομάδες Συμμετρίας στα παρακάτω μοτίβα