Ανάλυση χρηματοδοτικών προβλημάτων στα έργα 1η εβδομάδα Ανάλυση χρηματοδοτικών προβλημάτων στα έργα Γενικές έννοιες Χρηματικό κεφάλαιο (συντελεστής παραγωγής) Επιτόκιο (επί τοις εκατό ανά έτος) Χρόνος Τόκος (αμοιβή του κεφαλαίου για την συμβολή στην παραγωγή) Co = το κεφάλαιο που καταθέτουμε στην Τράπεζα σε χρόνο ο. C1 = το κεφάλαιο που θα αναληφθεί σε χρόνο 1, τότε Τ(τόκος) = C1 – Co Προσδοκία Επιχειρηματία Η επένδυση να αποδώσει κέρδος μεγαλύτερο απλό τον τόκο στην Τράπεζα. Αυτό είναι το ευκαιριακό κόστος χρήματος. Στην χειρότερη περίπτωση ισούται με τον τόκο του αποταμιευτικού ταμιευτηρίου. Το ευκαιριακό κόστος εκφράζει την αξία του χρήματος σε συγκεκριμένη χρονική περίοδο. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας Νίκος Μπλάνας

T=C*r*t, όταν t = 1 χρόνος, τότε T=C*r και το επιτόκιο r = T/C Η ιδιότητα του χρήματος να αποφέρει κέρδος, δεν πρέπει να συγχέεται με την αγοραστική αξία του χρήματος. Οι τιμές των αγαθών αυξομειώνονται με τον χρόνο αποτέλεσμα πολλών παραγόντων. Οι αυξήσεις (και σπανιότερα οι μειώσεις) της τιμής των αγαθών έχουν ως αποτέλεσμα την μεταβολή της αγοραστικής αξίας του χρήματος. T=C*r*t, όταν t = 1 χρόνος, τότε T=C*r και το επιτόκιο r = T/C Κεφαλαιοποίηση ονομάζουμε την ενσωμάτωση του τόκου που προήλθε από ένα κεφάλαιο, στο κεφάλαιο που το παρήγαγε. Η κεφαλαιοποίηση μπορεί να είναι: απλή ( ο τόκος που παράγεται δεν κεφαλαιοποιείται και επομένως δεν είναι τοκοφόρος την επόμενη χρονική περίοδο σύνθετη (ή ανατοκισμός), όταν ο τόκος που παράγεται στο τέλος καθεμιάς των ίσων χρονικών περιόδων, ενσωματώνεται στο κεφάλαιο και είναι τοκοφόρος την επόμενη χρονική περίοδο. Συνεχής, όταν η κεφαλαιοποίηση γίνεται στο τέλος κάθε απειροστής χρονικής περιόδου. Δηλαδή η κεφαλαιοποίηση γίνεται συνεχώς. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Σύνθετη κεφαλαιοποίηση Υπολογισμός τελικής αξίας κεφαλαίου ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια κατασκευαστική εταιρία , προκειμένου να χρηματοδοτήσει την κατασκευή ενός έργου δανείζεται από μια τράπεζα ποσό 500.000 ευρώ για 2 χρόνια με ετήσιο επιτόκιο 12%. Να υπολογιστεί το χρέος της εταιρίας προς την τράπεζα στο τέλος του 2ου έτους. (Λύση: 627.200 ευρώ) ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Επομένως οι τόκοι είναι = C2 – Co = 627.200 – 500.000 = = 127.200 Λύση Στο πρώτο χρόνο T=C*r*t = 500.000 * 0,12 * 1 = 60.000 Στο δεύτερο χρόνο T’=C1*r*t = (500.000 + 60.000) * 0,12 * 1 = 67.200 Νέο κεφάλαιο C2= 500.000 + 60.000 + 67.200 = 627.200 Επομένως οι τόκοι είναι = C2 – Co = 627.200 – 500.000 = = 127.200 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

C1=Co + Co*r*t όπου t=1 άρα C1=Co + Co*r*1 = Co * (1+r) C1 = Co* (1+r) Στο τέλος της 2ης περιόδου (2ο έτος): C2=C1 + C1*r*t όπου t=1 άρα C2=C1 + C1*r = C1 * (1+r) = = Co* (1+r) * (1+r) = Co* (1+r)2 C2 = Co* (1+r)2 εξίσωση σύνθετης κεφαλαιοποίησης = Cn = Co * (1+r)n (1+r)n = συντελεστής ανατοκισμού Cο = Cn / (1+r)n Αν n’ = n + k/λ, όπου k/λ είναι κλάσμα περιόδου ( 0<k/λ<1 ) Cn’ = Co * (1+r)n’= Co * (1+r)n * (1+r)k/λ ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Για τον υπολογισμό του συντελεστή ανατοκισμού (1+r)n οι σπουδαστές θα Στην συνέχεια δίνονται προς επίλυση 3 ασκήσεις για την εμπέδωση της διδαχθείσας θεωρίας. Για τον υπολογισμό του συντελεστή ανατοκισμού (1+r)n οι σπουδαστές θα πρέπει να ανατρέξουν και να εξοικειωθούν με χρήση χρηματοοικονομικών πινάκων αναγωγής – (ανατοκισμού) ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Πίνακας μελλοντικής αξίας (ανατοκισμός) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Άσκηση 2: να υπολογισθεί η τελική αξία κεφαλαίου Cο = 10 Άσκηση 2: να υπολογισθεί η τελική αξία κεφαλαίου Cο = 10.000 ευρώ στο τέλος 5 ετών, όταν το ετήσιο επιτόκιο είναι r=5%. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Πίνακας μελλοντικής αξίας 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Χρησιμοποιώ την εξίσωση της σύνθετης Λύση – άσκησης 2 Χρησιμοποιώ την εξίσωση της σύνθετης Κεφαλαιοποίησης: Cn = Co * (1+r)n για χρονικό διάστημα 5 ετών και με επιτόκιο 6%. Από τον προηγούμενο πίνακα υπολογισμού του συντελεστή ανατοκισμού για t=5 και επιτόκιο 6%, προκύπτει η τιμή 1,3382. Επομένως η εξίσωση της σύνθετης κεφαλαιοποίησης γίνεται: Cn = 10.000 * (1+0,06)5 =10.000 * 1,3382 = = 13.382 ευρώ ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Άσκηση 3: να υπολογισθεί η τελική αξία κεφαλαίου Cο = 10 Άσκηση 3: να υπολογισθεί η τελική αξία κεφαλαίου Cο = 10.000 ευρώ στο τέλος 5 ετών, όταν το εξαμηνιαίο επιτόκιο είναι r=6%. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Επομένως η εξίσωση της σύνθετης κεφαλαιοποίησης γίνεται: Λύση-άσκησης 3 Χρησιμοποιώ την εξίσωση της σύνθετης Κεφαλαιοποίησης: Cn = Co * (1+r)n για χρονικό διάστημα 10 εξαμήνων (5 έτη * 2 εξάμηνα/έτος) και με εξαμηνιαίο επιτόκιο 6%. Προσέχω επομένως, το επιτόκιο και οι χρονικές περίοδοι ανατοκισμού να αναφέρονται στην ίδια μονάδα χρόνου. Όταν σε μία άσκηση δεν προσδιορίζεται αν το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο, τρίμηνο ή κάτι άλλο, τότε θεωρούμε ότι είναι ετήσιο. Από τον πίνακα υπολογισμού του συντελεστή ανατοκισμού (επόμενη σελίδα) για t=10 και επιτόκιο 6%, προκύπτει η τιμή 1,7908 Επομένως η εξίσωση της σύνθετης κεφαλαιοποίησης γίνεται: Cn = 10.000 * (1+0,06)10 =10.000 * 1,7908 = = 17.908 ευρώ ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Πίνακας μελλοντικής αξίας 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Άσκηση 4: να υπολογισθεί η τελική αξία κεφαλαίου Cο = 10 Άσκηση 4: να υπολογισθεί η τελική αξία κεφαλαίου Cο = 10.000 ευρώ στο τέλος 6.5 ετών, όταν το ετήσιο επιτόκιο είναι r=6%. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Λύση-άσκησης 4 Σύμφωνα με την προηγούμενη θεωρία, αν n’ = n + k/λ, όπου k/λ είναι κλάσμα περιόδου ( 0<k/λ<1 ) τότε ο τύπος της σύνθετης κεφαλαιοποίησης γίνεται: Cn’ = Co * (1+r)n’= Co * (1+r)n * (1+r)k/λ Cn’ = 10.000 * (1+0,06)6.5= 10.000 * (1+0,06)6 * (1+0,06)1/2 και επομένως με την χρήση των πινάκων έχω: Cn’ =10.000 * 1,418 * 1,029 = 14.591 ευρώ ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Οι σπουδαστές θα πρέπει να εξοικειωθούν με την χρήση των πινάκων ανατοκισμού και προεξόφλησης. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Υπολογισμός παρούσας αξίας κεφαλαίου Η αξία του κεφαλαίου δεν είναι σταθερή στο χρόνο και κάθε εξίσωση που περιλαμβάνει το επιτόκιο είναι εξίσωση αξίας, γιατί απεικονίζει ισοδυναμία μεταξύ δύο χρηματικών ποσών σε μια κοινή ημερομηνία, η οποία ονομάζεται ημερομηνία αξιολόγησης. Ct = Co * (1+r)t λύνω ως προς Co και έχω Co = Ct *….1….. (1+r)t ….1….. συντελεστής παρούσας αξίας Άξονας του χρόνου ______0______1______2______ t Co Ct Άξονας του χρόνου ____ 0______1______2______t Co Ct ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Γενικά για την μεταφορά ενός ποσού στο μέλλον το Το χρηματικό ποσό Co ονομάζεται προεξοφλητέα αξία του Ct ή παρούσα αξία ή ανηγμένη αξία. Ο συντελεστής ….1….. (1+r)t ονομάζεται συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής σε παρούσα αξία και το επιτόκιο r, επιτόκιο προεξόφλησης ή αναγωγής. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Γενικά για την μεταφορά ενός ποσού στο μέλλον το πολλαπλασιάζουμε με τον συντελεστή ανατοκισμού (1+r)t, ενώ για τη μεταφορά ενός ποσού στο παρελθόν το πολλαπλασιάζουμε με τον συντελεστή ….1….. (1+r)t ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Ασκήσεις Ασκηση Νο1 Ζητείται να υπολογισθεί το κεφάλαιο Co το οποίο θα πρέπει να κατατεθεί σήμερα προς ετήσιο επιτόκιο r=10%, ώστε να σχηματισθεί κεφάλαιο C5 = 20.000 ευρώ στο τέλος των 5 ετών. Cο = 20.000 * ….1….. (1+0,10)t όπου t= 5 = 20.000 * 0,6209 = 12.418 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

πίνακας συντελεστών παρούσας αξίας ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Ασκηση Νο2 Εάν η αξία ενός χρηματικού ποσού στο τέλος του 10ου έτους είναι C10=30.000 ευρώ, να υπολογισθεί η αξία του στο τέλος των 5 ετών, με ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης r=8%. 0___1___2 3 4 5 6 7 8 9 10 _t Co C5=? C10=30.000 C5 = 30.000 * ….1….. (1+0,08)t όπου t= 10-5 = 5 = 30.000 * 0,6806 = 20.418 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

πίνακας συντελεστών παρούσας αξίας ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Ασκήσεις προς λύση Ασκηση 5: Ποια η παρούσα αξία 1.000 ευρώ τα οποία πρόκειται να εισπραχθούν σε 5 χρόνια αν το επιτόκιο είναι α) 2% και β) 10%. (Λύση: 905,731 και 620,921). Ασκηση 6: Επιχειρηματίας ιδρύει μια νέα επιχείρηση και καταθέτει σήμερα 100.000 ευρώ. Δεν αποσύρει τα ετήσια κέρδη του και πωλεί την επιχείρηση μετά 10 χρόνια αντί 310.584,8 ευρώ. Πόσο τοις εκατό απέδωσε το κεφάλαιο? (Λύση: 12%). Ασκηση 7: Ο ΑΚΛ επιθυμεί να καταθέσει σε λογαριασμό ταμιευτηρίου ένα ποσό χρημάτων (στην αρχή του πρώτου έτους ) ώστε στο τέλος του 6ου έτους να έχουν συγκεντρωθεί 50.000 ευρώ. Πόσα χρήματα θα πρέπει να καταθέσει αν το επιτόκιο είναι 6% και ο ανατοκισμός γίνεται κάθε εξάμηνο για τα τρία πρώτα χρόνια και 8% με ανατοκισμό κάθε τρίμηνο για τα επόμενα τρία χρόνια. (Λύση: 33.018). ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Λύσεις ασκήσεων Ασκηση 5: Ποια η παρούσα αξία 1.000 ευρώ τα οποία πρόκειται να εισπραχθούν σε 5 χρόνια αν το επιτόκιο είναι α) 2% και β) 10%. α) Co = Ct *….1….. (1+r)t Cο = 1.000 * ….1….. (1+0,02)5 όπου t= 5 = 1.000 * 0,9057 = 905.731 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

β) Co = Ct *….1….. (1+r)t Cο = 1.000 * ….1….. (1+0,10)5 όπου t= 5 = 1.000 * 0,6209 = 620,921 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Ασκηση 6: Επιχειρηματίας ιδρύει μια νέα επιχείρηση και καταθέτει σήμερα 100.000 ευρώ. Δεν αποσύρει τα ετήσια κέρδη του και πωλεί την επιχείρηση μετά 10 χρόνια αντί 310.584,8 ευρώ. Πόσο τοις εκατό απέδωσε το κεφάλαιο? Cn = Co * (1+r)n 310.584.8 = 100.000 * (1+r)10 (1+r)10 = 310.584.8 (1+r)10 = 3.105848 100.000 Από τους πίνακες της συνάρτησης (1+r)n ψάχνω στην οριζόντια στήλη για t=10 να προσδιορίσω την τιμή 3,105848. Παρατηρώ ότι αυτή αντιστοιχεί στην στήλη με επιτόκιο r=0,12, άρα r=12%. Η απόδοση του κεφαλαίου είναι 12%. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

Ασκηση 7: Ο ΑΚΛ επιθυμεί να καταθέσει σε λογαριασμό ταμιευτηρίου ένα ποσό χρημάτων (στην αρχή του πρώτου έτους ) ώστε στο τέλος του 6ου έτους να έχουν συγκεντρωθεί 50.000 ευρώ. Πόσα χρήματα θα πρέπει να καταθέσει αν το επιτόκιο είναι 6% και ο ανατοκισμός γίνεται κάθε εξάμηνο για τα τρία πρώτα χρόνια και 8% με ανατοκισμό κάθε τρίμηνο για τα επόμενα τρία χρόνια. 0___1___2 3 4 5 6 _t Co=? C3=? C6=50.000 Η άσκηση έχει 2 φάσεις. Στην 1η φάση θα υπολογίσουμε το κεφάλαιο στο 3ο έτος, γνωρίζοντας ότι στο 6ο έτος το κεφάλαιο είναι 50.000 ευρώ. Θα πρέπει δηλαδή να υπολογίσουμε την παρούσα αξία στο 3ο έτος. Ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο για 3 χρόνια, επομένως το χρονικό διάστημα είναι t=(4 τρίμηνο το έτος)*3 χρόνια = 4*3 = 12 τρίμηνα. Το επιτόκιο r=8% ανά έτος, άρα το διαιρώ με 4 και βρίσκω το επιτόκιο ανά τρίμηνο = 2%. Έχω επομένως επιτόκιο και χρόνο στην ίδια μονάδα χρόνου που είναι το τρίμηνο. ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

0___1___2 3 4 5 6 _t Co=? C3=? C6=50.000 Co = Ct *….1….. C3 = 50.000 * 0,7885 C3 = 39.425 (1+0,02)12 1% 2% 1 0,9901 0,9804 2 0,9803 0,9612 3 0,9706 0,9423 4 0,9610 0,9238 5 0,9515 0,9057 6 0,9420 0,8880 7 0,9327 0,8706 8 0,9235 0,8535 9 0,9143 0,8368 10 0,9053 0,8203 11 0,8963 0,8043 12 0,8874 0,7885 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας

0___1___2 3 4 5 6 _t Co=? C3=39.425 C6=50.000 Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσω το κεφάλαιο σε χρόνο μηδέν όταν γνωρίζω ότι το κεφάλαιο στο 3ο χρόνο είναι 39.425 ευρώ. Στην περίπτωση μας το χρονικό διάστημα είναι 6 εξάμηνα και το εξαμηνιαίο επιτόκιο είναι 3%. Co = Ct *….1….. Cο = 39.425 * 0,8375 (1+0,03)6 Cο = 33.018 1% 2% 3% 1 0,9901 0,9804 0,9709 2 0,9803 0,9612 0,9426 3 0,9706 0,9423 0,9151 4 0,9610 0,9238 0,8885 5 0,9515 0,9057 0,8626 6 0,9420 0,8880 0,8375 ΔΔΕ 3η Νίκος Μπλάνας