Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας-Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας Διδακτική των μαθηματικών Διδάσκων: Λεμονίδης Χ. Εξάμηνο: Δ΄ Ομαδική εργασία των: Ζυγά Μαρία & Χριστόπουλος Ιωάννης

Δυναμική Γεωμετρία και η συμβολή του Papert

Γεωμετρία Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.

Η σημερινή επιστήμη αποδέχεται την ευκλείδεια γεωμετρία θεωρώντας την ως τη πιο βασική και εφαρμόσιμη μορφή της. Επιπλέον, υπάρχουν και δύο προαναφερθείσες μη ευκλείδειες γεωμετρίες, οι οποίες ονομάζονται και απόλυτες γεωμετρείες και μπορούν να απεικονιστούν στην ευκλείδεια, αλλά έχουν αναπτυχθεί και άλλες. Παράδειγμα μιας άλλης γεωμετρίας είναι ο τετραδιάστατος κατά τα άλλα ευκλείδειος χώρος.

Γεωμετρία και εκπαιδευτικό λογισμικό ''Η ικανότητα των υπολογιστών στην παρουσίαση γραφικών καθώς και αριθμητικών πράξεων δημιουργούν ένα νέο μαθησιακό περιβάλλον στα Μαθηματικά, στο οποίο οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν με τα γεωμετρικά σχήματα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Η εξερευνητική αυτή εμπειρία υπόσχεται την εδραίωση ισχυρής γεωμετρικής αντίληψης και ικανότητας δημιουργίας υποθέσεων, που αποτελούν βασικά στοιχεία της λύσης προβλημάτων κάθε κλάδου των Μαθηματικών.'' [ J. Fey, 1984 ] Με αυτού του είδους τα λογισμικά μπορούμε να επέμβουμε στη “πριν την απόδειξη” φάση γιατί επιτρέπουν στους μαθητές να εξερευνήσουν τις σχέσεις των σχημάτων, να κάνουν εικασίες για τις ιδιότητές τους και να πειραματιστούν πάνω στις εικασίες που έκαναν.

Τα δυναμικά λογισμικά Γεωμετρίας παρέχουν με ακρίβεια μία κατασκευή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, κάθε διαμόρφωση που μπορεί να προκύψει από την εφαρμογή διαφόρων μετασχηματισμών (ισομετρίες και μη-ισομετρίες) σε μία Ευκλείδεια κατασκευή ή έναν γεωμετρικό τόπο ενός (ή ενός συνόλου αντικειμένων) που προκύπτει όταν ένα μέρος της κατασκευής κινείται κατά μήκος μίας διαδρομής.

''Logo'' Η γλώσσα προγραμματισμού «LOGO» σχεδιάστηκε στα τέλη της δεκαετίας του ΄60, για εκπαιδευτικούς κυρίως σκοπούς, στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο Μασαχουσέτης, από ομάδα ερευνητών στην Τεχνητή Νοημοσύνη με επικεφαλή τον Seymour Papert. Το όνομά  της οφείλεται στην Ελληνική λέξη «λόγος» (λογικό). Βασίζεται σε δύο κύρια επιχειρήματα: α) Η εμπειρία με την LOGO οδηγεί στην απόκτηση γνωστικών δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων, δεξιότητες που μπορούν να μεταφερθούν και σε άλλα μαθήματα, β) Η LOGO συνιστά έναν ιδανικό χώρο για τη μάθηση μαθηματικών εννοιών όπως «μεταβλητή», «αναδρομικότητα», κ.λπ. 

Ο Papert συνέβαλε καθοριστικά στο σχεδιασμό του μικρόκοσμου της χελώνας ο οποίος σε συνδυασμό με την υπολογιστική γλώσσα Logo, θεωρήθηκε ως «ένα αντικείμενο με το οποίο μπορεί κάποιος να σκέφτεται» και το οποίο εμπεριέχει έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας. Χρησιμοποιήθηκε όμως στη συνέχεια και για τη δημιουργία πολλών άλλων μικρόκοσμων, καλύπτοντας και άλλες μαθηματικές έννοιες αλλά και διαφορετικές επιστημονικές περιοχές (Papert, 1980).

Η Logo οδηγεί στην ανάπτυξη της γενικής σκέψης των μαθητών, στην αύξηση της ικανότητάς τους να λύνουν προβλήματα και στην προσφορά βοήθειας για την κατανόηση βασικών μαθηματικών εννοιών. [Papert, 1980] Διαπιστώθηκε ότι η καλύτερη αναλογία παιδιών ανά υπολογιστή είναι τρία παιδιά σε ένα υπολογιστή. Επίσης, σε έρευνα που πραγματοποιήθηκε στην Ελλάδα παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές που έχουν διδαχθεί τη γλώσσα Logo έχουν μεγαλύτερη «μαθηματική ικανότητα», σε σχέση με αυτούς που δεν την έχουν διδαχθεί, ανεξάρτητα από το φύλο του παιδιού. Ακόμα, τα αποτελέσματα ερευνών έδειξαν, ότι τα νήπια που χρησιμοποιούν κατάλληλο εκπαιδευτικό λογισμικό μπορούν να βελτιώσουν τις οπτικές τους δεξιότητες.

Μικρόκοσμοι Η έννοια του μικρόκοσμου χρησιμοποιήθηκε αρχικά από τον Papert (1980) ο οποίος υποστήριξε ότι ένας “μικρόκοσμος” συνιστά ένα εκκολαπτήριο γνώσης προσφέροντας τη δυνατότητα στο μαθητή - λόγω της ιδιότητάς του να προσομοιώνει τον πραγματικό κόσμο - να εξερευνά εκ των έσω ένα γνωστικό αντικείμενο. ” Συνίσταται δε, από ένα σύνολο αντικειμένων και σχέσεων καθώς και ένα σύνολο λειτουργιών που επιδρούν πάνω στα αντικείμενα, τροποποιώντας τις σχέσεις τους και δημιουργώντας νέα αντικείμενα Σε αυτό το πλαίσιο ένας “μικρόκοσμος” είναι ένα ανοικτό πληροφορικό σύστημα μέσα στο οποίο ο μαθητής μπορεί να εξερευνήσει ένα χώρο συνδυάζοντας τις εντολές κάποιας γλώσσας. Το ζητούμενο εδώ είναι η ανάπτυξη υψηλού επιπέδου γνωστικών δεξιοτήτων που να μεταφέρονται σε ποικίλες καταστάσεις.

Δυναμική Γεωμετρία Ο όρος δυναµική γεωμετρία, αρχικά επινοήθηκε από τους Jackiw και Rasmussen. Μερικά από τα πιο γνωστά λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας που έχουν αναπτυχθεί είναι το Geometer Sketchpad, το Cabri II και το Geogebra. Tο πιο χαρακτηριστικό γνώρισμα των λογισμικών δυναµικής γεωµετρίας είναι ο συνεχής και σε πραγµατικό χρόνο µετασχηµατισµός των γεωµετρικών αντικειµένων που συχνά αποκαλείται «σύρσιµο» (dragging). Αυτό το χαρακτηριστικό επιτρέπει στους χρήστες, αφού κάνουν µια κατασκευή, να κινήσουν ορισµένα στοιχεία του σχήµατος ελεύθερα για να παρατηρήσουν άλλα στοιχεία του σχήματος πώς αποκρίνονται δυναµικά σε αυτές τις αλλαγές. Καθώς αυτά τα στοιχεία µεταβάλλονται το λογισµικό διατηρεί όλες τις σχέσεις που ορίστηκαν ως ουσιαστικοί περιορισµοί της αρχικής κατασκευής, και όλες τις σχέσεις που είναι µαθηµατικές συνέπειες αυτών.

Η χρήση ενός λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας επιτρέπει πειραµατικές τεχνικές διερεύνησης, έλεγχο ιδιοτήτων και πολλαπλές αναπαραστάσεις γεωµετρικών κατασκευών. Την εκπαιδευτική αξία των λογισµικών δυναµικής γεωµετρίας έχουν επισηµάνει αρκετοί διδακτικολόγοι. Μερικά διαδεδοµένα λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας είναι τα Geometric Supposer, Cabri Geometer, Geometer’s SketchPad, EucliDraw,Geogebra, Cinderella, C.a.R., Geonext, Geometry Expressions, κάποια από τα οποία έχουν ενταχθεί στη διδακτική διαδικασία της ελληνικής δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης.

Η συμβολή του Papert στη χρήση της τεχνολογίας στη μάθηση των μαθηματικών Πρόδρομος της θεωρητικής θεμελίωσης της μαθησιακής διαδικασίας των μαθηματικών σε περιβάλλοντα όπου αξιοποιείται η ψηφιακή τεχνολογία, μπορεί να θεωρηθεί ο Αμερικανός μαθηματικός και παιδαγωγός Saymour Papert του οποίου η θεωρία δομήθηκε με ξεκάθαρη επιρροή από τη θεωρία του Piaget αλλά και με εξίσου ξεκάθαρη διαφοροποίηση από αυτή.Θα πρέπει βέβαια να σημειωθεί το γεγονός ότι η Δομική (constructivist) θεώρηση της μάθησης, Η οποία αποτελεί κεντρικό σημείο τόσο στη θεωρία του Piaget όσο και του Papert, διατυπώθηκε για πρώτη φορά πολύ πριν τον Piaget και σύμφωνα με αυτή,η μάθηση των μαθηματικών μπορεί να προσεγγιστεί ως μια διαδικασία που συμβαδίζει με την ανθρώπινη έκφραση,δηλαδή ως κάτι που ο άνθρωπος οικοδομεί.

Ο Papert ήθελε να περιγράψει τη μάθηση ως δραστηριότητα που πηγάζει από τη διερευνητική και δημιουργική ανθρώπινη φύση,προσέγγισε την εκμάθηση των μαθηματικών ως μια διαδικασία φυσιολογικής εξέλιξης της λογικομαθηματικής σκέψης,παραλληλίζοντάς την με την εκμάθηση της γλώσσας και τόνισε ότι μαθαίνουμε να μιλάμε και να σκεφτόμαστε λογικά πολύ πριν πάμε σχολείο,σε καταστάσεις όπου η μάθηση αυτή πραγματοποιείται καθώς αποκτούμε ικανότητες επιβίωσης και επικοινωνίας στο κοινωνικό και φυσικό μας περιβάλλον.

Σύμφωνα με την Ackermann (2001) ο Papert πρέσβευε την άποψη ότι η εξωτερίκευση και η έκφραση των ιδεών είναι το κλειδί της μάθησης.Η έκφραση των ιδεών είναι αυτή που τις καθιστά απτές και ικανές να μοιραστούν, Με αποτέλεσμα το άτομο προκειμένου να επικοινωνήσει με τους άλλους Να επιθυμεί τη σωστή μορφοποίηση αυτών των ιδεών. O κύκλος της αυτοκατευθυνόμενης μάθησης είναι Μία επαναλαμβανόμενη διαδικασία κατά την οποία το άτομο που μαθαίνει,επινοεί για τον εαυτό του τα μέσα και τα εργαλεία τα οποία υποστηρίζουν την εξερεύνηση των πεδίων που άπτονται του ενδιαφέροντός του. Η θέση αυτή του Papert βρίσκεται σε Αρμονία Με τους περισσότερους ερευνητές του Κοινωνικοκονστρουκτιβισμού.

Η διαφορά του Papert από τους κοινωνικοκονστρουκτιβιστές έγκειται μεταξύ άλλων,σύμφωνα πάντα με την Ackermann,στα διαφορετικά είδη εξωτερικών βοηθημάτων ή μέσων εξωτερίκευσης που o Κάθε ερευνητής μελετάει, με τον Papert να επικεντρώνεται στα ψηφιακά μέσα Και στις νέες τεχνολογίες που βασίζονται στους υπολογιστές.

Η έρευνα του Papert επικεντρώνεται στο πώς η γνώση Μορφοποιείται και μετασχηματίζεται μέσα σε συγκεκριμένα πλαίσια, εκφράζεται Μέσω διαφορετικών μέσων και υπόκειται σε επεξεργασία στο μυαλό Διαφορετικών ατόμων. Ενώ ο Piaget Αρέσκεται στην περιγραφή της προέλευσης Της εσωτερικής νοητικής σταθερότητας (internal mental stability), ο Papert ενδιαφέρεται για τη δυναμική που ενέχεται στην αλλαγή,το πόσο διαφορετικά σκέφτονται οι άνθρωποι όταν οι πεποιθήσεις Τους καταρρέουν, όταν Η εναλλακτική θέαση των Πραγμάτων βουλιάζει, όταν η προσαρμογή και Η επέκταση της τρέχουσας θεώρησης του κόσμου καθίσταται αναγκαία και Το ευνοϊκότερο περιβάλλον Προκειμένου να προκύψει αυτή η Αλλαγή, είναι Το δυναμικό περιβάλλον που προσφέρουν οι νέες τεχνολογίες.

Σας ευχαριστούμε για την παρακολούθησή σας!