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計算の理論 I -大レポート解答 - 月曜3校時 大月 美佳. 課題 正則表現 (01+10)* について 1. これと等価な ε- 動作を含む NFA を求めよ。 (導出過程、状態遷移図および定義式を書け) 2. 1 の ε- 動作を含む NFA と等価な NFA を求めよ。 (導出過程、状態遷移図および定義式を書け)

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1 計算の理論 I -大レポート解答 - 月曜3校時 大月 美佳

2 課題 正則表現 (01+10)* について 1. これと等価な ε- 動作を含む NFA を求めよ。 (導出過程、状態遷移図および定義式を書け) 2. 1 の ε- 動作を含む NFA と等価な NFA を求めよ。 (導出過程、状態遷移図および定義式を書け) 3. 2 の NFA と等価な DFA を求めよ。 (導出過程、状態遷移図および定義式を書け) 4. 3 の DFA から正則表現を導出し、最初の正則表 現と同じになることを確認せよ。

3 目的 以下の等価性を確認する。  ε 動作を含むNFA  NFA  DFA  正則表現

4 大レポート ( 課題 1 STEP1) (01+10)* と等価な ε- 動作を含む NFA + 0 連接 10 * 1 (01+10)* の構文木

5 大レポート ( 課題 1 STEP2) 葉に対応するオートマトン + 0 連接 10 * 1 q1q1 q2q2 0 開始 q3q3 q4q4 1 q5q5 q6q6 1 q7q7 q8q8 0

6 大レポート ( 課題 1 STEP3) 連接 * 1 q1q1 q2q2 0 開始 q3q3 q4q4 1 ε q5q5 q6q6 1 q7q7 q8q8 0 ε

7 大レポート ( 課題 1 STEP4) 和 + 0 連接 10 * 1 q1q1 q2q2 0 q3q3 q4q4 1 ε q5q5 q6q6 1 q7q7 q8q8 0 ε q 10 q9q9 開始 ε ε ε ε

8 大レポート ( 課題 1 STEP5) 閉包 + 0 連接 10 * 1 開始 q1q1 q2q2 0 q3q3 q4q4 1 ε q5q5 q6q6 1 q7q7 q8q8 0 ε q 10 q9q9 ε ε ε ε q 11 q 12 ε ε ε ε

9 大レポート ( 課題 1 最終解 )  M(Q, {0, 1}, δ, q 11, {q 12 })  Q={q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7, q 8, q 9, q 10, q 11, q 12 }  δ は右表 01ε q1q1 {q 2 }-- q2q2 --{q 3 } q3q3 -{q 4 }- q4q4 --{q 10 } q5q5 -{q 6 }- q6q6 --{q 7 } q7q7 {q 8 }-- q8q8 --{q 10 } q9q9 --{q 1, q 5 } q 10 --{q 9, q 12 } q 11 --{q 9, q 12 } q δ

10 大レポート ( 課題 2 STEP1) 1 の ε- 動作を含む NFA と等価な NFA ε-CLOSURE を調べる 状態 ε-CLOSURE 状態 ε-CLOSURE q1q1 {q1}{q1}q2q2 {q 2, q 3 } q3q3 {q3}{q3}q4q4 {q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 } q5q5 {q5}{q5}q6q6 {q 6, q 7 } q7q7 {q7}{q7}q8q8 {q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 } q9q9 {q 9, q 1, q 5 }q 10 {q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 } q 11 {q 11, q 12, q 9, q 1, q 5 }q 12 {q 12 }

11 大レポート ( 課題 2 STEP2) 状態 δ´(q, 0)δ´(q, 1) 状態 δ´(q, 0)δ´(q, 1) q1q1 ε(δ({q 1 }, 0))ε(δ({q 1 }, 1))q2q2 ε(δ({q 2, q 3 }, 0))ε(δ({q 2, q 3 },1)) q3q3 ε(δ({q 3 }, 0))ε(δ({q 3 }, 1))q4q4 ε(δ({q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 0)) ε(δ({q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 1)) q5q5 ε(δ({q 5 }, 0))ε(δ({q 5 }, 1))q6q6 ε(δ({q 6, q 7 }, 0))ε(δ({q 6, q 7 }, 1)) q7q7 ε(δ({q 7 }, 0))ε(δ({q 7 }, 1))q8q8 ε(δ({q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 0)) ε(δ({q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 1)) q9q9 ε(δ({q 9, q 1, q 5 }, 0)) ε(δ({q 9, q 1, q 5 }, 1)) q 10 ε(δ({q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 0)) ε(δ({q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 1)) q 11 ε(δ({q 11, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 0)) ε(δ({q 11, q 12, q 9, q 1, q 5 }, 1)) q 12 ε(δ({q 12 }, 0))ε(δ({q 12 }, 1))

12 δ 状態 δ´(q, 0)δ´(q, 1) 状態 δ´(q, 0)δ´(q, 1) q1q1 ε({q 2 })ε({})q2q2 ε( {} ∪ {})ε( {} ∪ {q 4 }) q3q3 ε({})ε({q 4 })q4q4 ε({} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 2 } ∪ {}) ε({} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 6 }) q5q5 ε({})ε({q 6 })q6q6 ε({} ∪ {q 8 } )ε({} ∪ {}) q7q7 ε({q 8 })ε( {})q8q8 ε({} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 2 } ∪ {}) ε({} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 6 }) q9q9 ε({} ∪ {q 2 } ∪ {})ε({} ∪ {} ∪ {q 6 }) q 10 ε({} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 2 } ∪ {}) ε ({} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 6 }) q 11 ε({} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 2 } ∪ {}) ε({} ∪ {} ∪ {} ∪ {} ∪ {q 6 }) q 12 ε({}) 01ε q1q1 {q 2 }-- q2q2 --{q 3 } q3q3 -{q 4 }- q4q4 --{q 10 } q5q5 -{q 6 }- q6q6 --{q 7 } 01ε q7q7 {q 8 }-- q8q8 --{q 10 } q9q9 --{q 1, q 5 } q 10 --{q 9, q 12 } q 11 --{q 9, q 12 } q

13 状態 δ´(q, 0)δ´(q, 1) 状態 δ´(q, 0)δ´(q, 1) q1q1 ε({q 2 })-q2q2 -ε({q 4 }) q3q3 - q4q4 ε({q 2 })ε({q 6 }) q5q5 - q6q6 ε({q 8 } )- q7q7 -q8q8 ε({q 2 })ε ({q 6 }) q9q9 ε( {q 2 })ε( {q 6 })q 10 ε({q 2 })ε ({q 6 }) q 11 ε( {q 2 })ε({q 6 })q 12 --

14 大レポート ( 課題 2 最終解 ) 状態 q1q1 {q 2, q 3 }-q2q2 -{q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 } q3q3 - q4q4 {q 2, q 3 }{q 6, q 7 } q5q5 - q6q6 {q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 } - q7q7 -q8q8 {q 2, q 3 }{q 6, q 7 } q9q9 {q 2, q 3 }{q 6, q 7 }q 10 {q 2, q 3 }{q 6, q 7 } q 11 {q 2, q 3 }{q 6, q 7 }q δ´ M(Q, {0, 1}, δ´, q 11, {q 11, q 12 }), Q={q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7, q 8, q 9, q 10, q 11, q 12 }, δ´ は下表

15 大レポート ( 課題 3 最終解 ) 2 の NFA と等価な DFA 状態 0 1 [q 11 ][q 2, q 3 ][q 6, q 7 ] [q 2, q 3 ][-][q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ] [q 6, q 7 ][q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ][-] [q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ][q 2, q 3 ][q 6, q 7 ] [q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ][q 2, q 3 ][q 6, q 7 ] [-] M(Q, {0, 1}, δ, [q 11 ], {[q 11 ], [q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ], [q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ]}), Q={[q 11 ], [q 2, q 3 ], [q 6, q 7 ][q 4, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ], [q 8, q 10, q 12, q 9, q 1, q 5 ],[-]} δ は右表

16 大レポート ( 課題 4 STEP1) DFA から正則表現を導出 01 q1q1 q2q2 q3q3 q2q2 q6q6 q4q4 q3q3 q5q5 q6q6 q4q4 q2q2 q3q3 q5q5 q2q2 q3q3 q6q6 q6q6 q6q6 δ 整理する 0 q5q 開始 q1q1 q2q2 q3q q4q4 0 q6q6 0,1 1 0

17 大レポート ( 課題 4 STEP2) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1ε01ΦΦΦ i=2ΦεΦ1Φ0 i=3ΦΦεΦ01 i=4Φ01εΦΦ i=5Φ01ΦεΦ i=6ΦΦΦΦΦ0+1+ε k=0 0 q5q 開始 q1q1 q2q2 q3q q4q4 0 q6q6 0,1 1 0

18 大レポート ( 課題 4 STEP3-1) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1ε(ε*)ε+ εε(ε*)0 +0ε(ε*)1 +1ε(ε*)Φ +Φ i=2Φ (ε*) ε+Φ Φ (ε*)0 +εΦ (ε*)1 +Φ Φ (ε*)Φ +1Φ (ε*)Φ +Φ Φ(ε*)Φ + 0 i=3Φ (ε*) ε+ Φ Φ (ε*)0 +ΦΦ (ε*)1 +εΦ (ε*)Φ +ΦΦ (ε*)Φ +0Φ(ε*)Φ + 1 i=4Φ (ε*) ε+ Φ Φ (ε*)0 +0Φ(ε*)1 +1Φ (ε*)Φ +εΦ (ε*)Φ +Φ i=5Φ (ε*) ε+ Φ Φ (ε*)0 +0Φ (ε*)1 +1 Φ (ε*)Φ +ΦΦ (ε*)Φ +εΦ(ε*)Φ + Φ i=6Φ (ε*) ε+ Φ Φ (ε*)0 + Φ Φ (ε*)1 + Φ Φ (ε*)Φ + Φ Φ(ε*)Φ +0+1+ε k=1

19 大レポート ( 課題 4 STEP3-2) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1ε01ΦΦΦ i=2ΦεΦ1Φ0 i=3ΦΦεΦ01 i=4Φ01εΦΦ i=5Φ01ΦεΦ i=6ΦΦΦΦΦ0+1+ε k=1 0 q5q 開始 q1q1 q2q2 q3q q4q4 0 q6q6 0,1 1 0

20 大レポート ( 課題 4 STEP4-1) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=10(ε*)Φ +ε0(ε*)ε +00(ε*)Φ +10(ε*)1 +Φ0(ε*) Φ +Φ 0(ε*)0 +Φ i=2ε(ε*)Φ +Φε(ε*) ε+εε(ε*)Φ+Φε(ε*)1 +1ε(ε*)Φ +Φε(ε*)0+0 i=3Φ(ε*)Φ +ΦΦ(ε*) ε+ΦΦ(ε*) Φ +εΦ(ε*)1 +ΦΦ(ε*) Φ + 0 Φ(ε*)0 +1 i=40(ε*)Φ +Φ0(ε*) ε+00(ε*) Φ +10(ε*)1 +ε0(ε*) Φ +Φ 0(ε*)0 +Φ i=50(ε*)Φ +Φ0(ε*) ε+00(ε*) Φ +10(ε*)1 +Φ0(ε*) Φ +ε0(ε*)0 + Φ i=6Φ(ε*)Φ +ΦΦ(ε*) ε +Φ Φ(ε*)Φ +ΦΦ(ε*)1 +ΦΦ(ε*)Φ +Φ Φ(ε*) ε k=2

21 大レポート ( 課題 4 STEP4-2) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1ε0101Φ00 i=2ΦεΦ1Φ0 i=3ΦΦεΦ01 i=4Φ0101+εΦ00 i=5Φ0101ε00 i=6ΦΦΦΦΦ0+1+ε k=2

22 大レポート ( 課題 4 STEP5-1) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=11(ε*)Φ +ε1(ε*)Φ +01(ε*) ε +11(ε*) Φ +011(ε*) 0 +Φ1(ε*) i=2Φ(ε*)Φ +Φ Φ(ε*)Φ+εΦ(ε*) ε +ΦΦ(ε*) Φ +1Φ(ε*) 0 +ΦΦ(ε*) 1 +0 i=3ε(ε*)Φ +Φ ε(ε*) ε +εε(ε*) Φ +Φε(ε*) 0 +0ε(ε*) 1 +1 i=41(ε*)Φ +Φ1(ε*)Φ +01(ε*) ε +11(ε*) Φ +01+ε 1(ε*) 0 +Φ1(ε*) i=51(ε*)Φ +Φ1(ε*)Φ +01(ε*) ε +11(ε*) Φ +011(ε*) 0 +ε1(ε*) i=6Φ(ε*)Φ +Φ Φ(ε*) ε + Φ Φ(ε*) Φ + ΦΦ(ε*) 0 + Φ Φ(ε*) ε k=3

23 大レポート ( 課題 4 STEP5-2) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1ε i=2ΦεΦ1Φ0 i=3ΦΦεΦ01 i=4Φ0101+ε i=5Φ ε11+00 i=6ΦΦΦΦΦ0+1+ ε k=3

24 大レポート ( 課題 4 STEP6-1) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=101((01+ε)*) Φ+ ε 01((01+ε)*) ((01+ε)*) ((01+ε)*) (01+ε) ((01+ε)*) ((01+ε)*)(1 1+00) i=21((01+ε)*)Φ + Φ 1((01+ε)*)0+ ε 1((01+ε)*)1+ Φ 1((01+ε)*) (01+ε) + 1 1((01+ε)*)10 + Φ 1((01+ε)*) (11+00) + 0 i=3Φ((01+ε)*)Φ + Φ Φ((01+ε)*)0+ Φ Φ((01+ε)*)1 + ε Φ((01+ε)*) (01+ε) + Φ Φ((01+ε)*) Φ((01+ε)*) (11+00) + 1 i=4(01+ε)((01+ε )*)Φ+ Φ (01+ε)((01+ε) *)0+ 0 (01+ε)((01+ε )*)1+ 1 (01+ε)((01+ε) *) (01+ε) + 01+ε (01+ε)((01+ε )*) (01+ε)((01+ε) *) (11+00) i=501((01+ε)*) Φ+ Φ 01((01+ε)*) ((01+ε)*) ((01+ε)*) (01+ε) ((01+ε)*) ε 01((01+ε)*) (11+00) i=6Φ((01+ε)*)Φ + Φ Φ((01+ε)*)0+ Φ Φ((01+ε)*)1 +Φ Φ((01+ε)*) (01+ε) +Φ Φ((01+ε)*)1 0+ Φ Φ((01+ε)*) (11+00) ε k=4

25 大レポート ( 課題 4 STEP6-2) j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1ε(01)*0(01)*101(01)*(01)*10(01)*(11+00) i=2Φ1(01)*0+ ε1(01)*11(01)*1(01)*101(01)*(11 +00)+0 i=3ΦΦεΦ01 i=4Φ(01)*0(01)*1(01)*(01)*10(01)*(11+00) i=5Φ(01)*0(01)*101(01)*(01)*10+ε(01)*(11+00) i=6ΦΦΦΦΦ0+1+ε k=4 0 q5q 開始 q1q1 q2q2 q3q q4q4 0 q6q6 0,1 1 0

26 大レポート ( 課題 4 STEP7-1) k=5 j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1r 15 (r 55 *)Φ +ε(01)*10(r 55 *) (01)*0 +(01)*0 (01)*10(r 55 *) (01)*1 + (01)*1 (01)*10(r 55 *)01(0 1)* + 01(01)* (01)*10(r 55 *)r 55 +(01)*10 (01)*10(r 55 *) (01)*(11+00) +(01)*(11+00) i=2r 25 (r 55 *)Φ +Φ1(01)*10(r 55 *) (01)*0 +1(01)*0 + ε 1(01)*10 (r 55 *) (01)*1 + 1(01)*1 1(01)*10(r 55 *) 01(01)* + 1(01)* 1(01)*10(r 55 *)r (01)*10 1(01)*10(r 55 *) (01)*(11+00)+1(01)*(11 +00)+0 i=3r 35 (r 55 *) Φ +Φ0(r 55 *) (01)*0 + Φ 0(r 55 *) (01)*1 + ε0(r 55 *) 01(01)* + Φ 0(r 55 *)r (r 55 *) (01)*(11+00) + 1 i=4r 45 (r 55 *)Φ +Φ(01)*10(r 55 *) (01)*0 + (01)*0 (01)*10(r 55 *) (01)*1 +(01)*1 (01)*10(r 55 *) 01(01)* + (01)* (01)*10(r 55 *)r 55 +(01)*10 (01)*10(r 55 *) (01)*(11+00) +(01)*(11+00) i=5r 55 (r 55 *)Φ +Φr 55 (r 55 *) (01)*0 + (01)*0 r 55 (r 55 *) (01)*1 +(01)*1 r 55 (r 55 *) 01(01)* +01(01)* r 55 (r 55 *)r 55 + r 55 r 55 (r 55 *) (01)*(11+00) +(01)*(11+00) i=6r 65 (r 55 *)Φ +ΦΦ(r 55 *)r 52 + ΦΦ(r 55 *)r 53 + ΦΦ(r 55 *) r 54 +ΦΦ(r 55 *)r 55 +ΦΦ(r 55 *) r ε r 55 =(01)*10+ε

27 大レポート ( 課題 4 STEP7-2) k=5 j=1j=2j=3j=4j=5j=6 i=1ε((01)*10)* (01)*0((01)*10)*(01)* 1 ((01)*10)* 01(01)*(01)*10 ((01)*10)* ((01)*10)*(01)*(11 +00) i=2Φ1((01)*10)*(01)*0 + ε 1 ((01)*10)* (01)*1 1 ((01)*10)* 01(01)* 1(01)*10 ((01)*10)* 1 ((01)*10)* (01)*(11+00)+0 i=3Φ0 ((01)*10)*(01)*00 ((01)*10)* (01)*1 + ε 0 ((01)*10)* 01(01)* 0 ((01)*10)*0 ((01)*10)* (01)*(11+00) + 1 i=4Φ((01)*10)*(01)*0((01)*10)*(01)* 1 (01)*10 ((01)*10)* 01(01)* + (01)* (01)*10 ((01)*10)* ((01)*10)*(01)*(11 +00) i=5Φ((01)*10)*(01)*0((01)*10)*(01)* 1 ((01)*10)* 01(01)*((01)*10)*((01)*10)*(01)*(11 +00) i=6ΦΦΦΦΦ0+1+ε

28 大レポート ( 課題 4 STEP8)

29 大レポート ( 課題 4 別解 STEP1) 01 q1q1 q2q2 q3q3 q2q2 q4q4 q1q1 q3q3 q1q1 q4q4 q4q4 q4q4 q4q4 δ 最小化してみる 0 q5q 開始 q1q1 q2q2 q3q q4q4 0 q6q6 0, 開始 q2q2 q3q3 0 0 q1q1 q4q4 0,1 1 0 q6q6 q5q5 q4q4 q3q3 q2q2 q1q1 ××× q2q2 ×××× q3q3 ××× q4q4 × q4q4 ×

30 大レポート ( 課題 4 別解 STEP2) j=1j=2j=3j=4 i=1ε01Φ i=21εΦ0 i=30Φε1 i=4ΦΦΦ0+1+ε k=0 1 1 開始 q2q2 q3q3 0 0 q1q1 q4q4 0,1 1 0

31 大レポート ( 課題 4 別解 STEP3) k=1 j=1j=2j=3j=4 i=1ε(ε*)ε+εε(ε*)0+0ε(ε*)1+1ε(ε*) Φ+Φ i=21 (ε*)ε+11(ε*)0+ε1(ε*)1+Φ1(ε*) Φ+ 0 i=30 (ε*)ε+00(ε*)0+Φ0(ε*)1+ε0(ε*)Φ+ 1 i=4Φ(ε*)ε+ΦΦ(ε*)0+ΦΦ(ε*)1+ΦΦ(ε*)Φ +0+1+ε j=1j=2j=3j=4 i=1ε01Φ i=2110+ε110 i= ε1 i=4ΦΦΦ0+1+ε

32 大レポート ( 課題 4 別解 STEP4-1) k=2 j=1j=2j=3j=4 i=10((10+ε)*)1 +ε0((10+ε)*) (10+ε) +0 0((10+ε)*)11 +10((10+ε)*)0+Φ i=2(10+ε)((10+ε)*)1 +1 (10+ε)((10+ε)*)(10 +ε) + 10+ε (10+ε)((10+ε)*) (10+ε)((10+ε)*) i=300 ((10+ε)*)1 +000((10+ε)*) (10+ε) ((10+ε)*) ε 00((10+ε)*)0 +1 i=4Φ((10+ε)*)1 +ΦΦ((10+ε)*) (10+ε) +Φ Φ((10+ε)*)11 +ΦΦ((10+ε)*) ε

33 大レポート ( 課題 4 別解 STEP4-2) k=2 j=1j=2j=3j=4 i=10(10)*1 +ε0(10)*0(10)*11 +10(10)*0 i=2(10)*1(10)*(10)*11(10)*0 i=300(10)*1 +000(10)*00(10)* ε00(10)*0 +1 i=4ΦΦΦ0+1+ε

34 大レポート ( 課題 4 S 別解 TEP5)


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