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最新計算機概論 第 4 章 數位邏輯設計. 4-1 邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成,至 於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 例如下表是兩個二元變數 X 、 Y 進行相加的結果, SUM 代表和, CARRY 代表進位。

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1 最新計算機概論 第 4 章 數位邏輯設計

2 4-1 邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成,至 於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 例如下表是兩個二元變數 X 、 Y 進行相加的結果, SUM 代表和, CARRY 代表進位。

3 AND 運算子 OR 運算子 NOT 運算子

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5 SUM = ((NOT X) AND Y) OR (X AND (NOT Y)) = (X ’ * Y) + (X * Y ’ ) CARRY = X AND Y = X * Y

6 4-2 布林代數 值為 0 或 1 的二元變數 (binary variable) 值為 0 或 1 的常數 (constant) AND 、 OR 、 NOT 運算子 (operator) ( 、 ) 、 [ 、 ] 、 { 、 } 等括號 = 等號

7 舉例來說,假設布林函數 F(X, Y, Z) = XYZ ’ + (X ’ Z ’ )(Y + Z) ,且 X = 1 、 Y = 1 、 Z = 0 , 則運算過程如下: F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) = X * Y * Z’ + (X’ * Z’) * (Y + Z) = 1 * 1 * 0’ + (1’ * 0’) * (1 + 0) = 1 * 1 * 1 + (0 * 1) * (1 + 0) = * 1 = = 1

8 4-2-1 真值表 F(X, Y, Z) = XYZ ’ + (X ’ Z ’ )(Y + Z) 的真值表如下:

9 4-2-2 文氏圖

10 以文氏圖表示 F(X, Y, Z) = X ’ Z ’ + XY

11 4-2-3 布林代數恆等式

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19 4-3 邏輯閘 AND 閘

20 4-3-2 OR 閘

21 4-3-3 NOT 閘

22 4-3-4 XOR 閘

23 4-3-5 NAND 閘

24 使用 NAND 閘來模擬 AND 閘 使用 NAND 閘來模擬 OR 閘 使用 NAND 閘來模擬 NOT 閘

25 NAND 閘亦可以表示成如下的 邏輯符號

26 4-3-6 NOR 閘

27 使用 NOR 閘來模擬 AND 閘 使用 NOR 閘來模擬 OR 閘 使用 NOR 閘來模擬 NOT 閘

28 NOR 閘亦可以表示成如下的邏 輯符號

29 4-3-7 XNOR 閘

30 4-3-8 多重輸入邏輯閘

31 4-4 邏輯簡化 標準形式 積項 (product terms) 和項 (sum terms) 最小項 (miniterms) 最大項 (maxiterms) 積項之和 (SOP) 和項之積 (POS) 最小項之和 (sum of miniterms) 最大項之積 (product of maxterms)

32 包含 2 個及 3 個二元變數之布林函數的最小項 定義:

33 包含 2 個及 3 個二元變數之布林函數的最大 項定義:

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37 4-4-2 卡諾圖 包含 2 個二元變數的卡諾圖

38 將 F(X, Y) = XY + XY ’ 簡化為積項之和: 1.F(X, Y) = m 3 + m 2 = Σm(2, 3) 。 XY ’ + XY = (X)(Y ’ + Y) = X 。

39 包含 3 個二元變數的卡諾圖

40 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 簡化為積 項之和: 1.F(X, Y, Z) = m 2 + m 3 + m 5 + m 7 = Σm(2, 3, 5, 7) 。 X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XY ’ Z + XYZ = (X ’ Y)(Z + Z ’ ) + XZ(Y ’ + Y) = X ’ Y + XZ 。

41 包含 4 個二元變數的卡諾圖

42 將 F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 2, 4, 6, 8, 10, 13, 15) 簡化為積項之和: W ’ Z ’ + WXZ + X ’ Z ’ 。

43 以卡諾圖將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 簡化為和項之積: 1.F(X, Y, Z) = Σm(2, 3, 5, 7) 。 X ’ Y ’ + XZ ‘ 。 5. 由於這個布林函數的補數為 X ’ Y ’ + XZ ’ ,故 F(X, Y, Z) = (X ’ Y ’ + XZ ’ ) ’ = (X + Y)(X ’ + Z) 。

44 將 F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 1, 5, 10, 14) + d(4, 7, 11, 15) 簡化為積項之和: W ’ Y ’ + WY 。

45 4-5 組合電路

46 4-5-1 分析組合電路 1. 將各個邏輯閘的輸出一一表示 成變數。 2. 由前往後推算各個變數的布林 函數,直到求出最後一個變數 的布林函數,即為整個邏輯電 路的布林函數。

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48 1. 2.

49 根據前一個範例的組合電路,推算真值表: 1. 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數 F 1 、 F 2 、 F 3 、 F 。 2.

50 3.

51 4-5-2 設計組合電路 1. 根據題意決定輸入、輸出變數的個數。 2. 推算出真值表。 3. 以卡諾圖從真值表求出簡化的布林函數。 4. 將布林函數繪製成邏輯電路。 邏輯電路又分成 AND-OR 、 NAND- NAND 、 OR-AND 、 NOR-NOR 等四種較 受歡迎的形式 。

52 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪製 成 AND-OR 電路: 1.F(X, Y, Z) = X ’ Y + XZ 。 2.

53 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪製成 OR-AND 電路: 1.F ’ (X, Y, Z) = X ’ Y ’ + XZ ’ ,故 F(X, Y, Z) = (X ’ Y ’ + XZ ’ ) ’ = (X ’ Y ’ ) ’ (XZ ’ ) ’ = (X + Y)(X ’ + Z) 。 2.

54 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪 製成 NAND-NAND 電路: 1. 2.

55 將 F(X, Y, Z) = X ’ YZ + X ’ YZ ’ + XYZ + XY ’ Z 繪製 成 NOR-NOR 電路: 1. 2.

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59 4-6 常見的組合電路 半加法器

60 SUM = X ’ Y + XY ’ , CARRY = XY ,其邏輯 電路如下: 或 SUM = X ’ Y + XY ’ = X ⊕ Y , CARRY = XY , 其邏輯電路如下:

61 4-6-2 全加法器

62 SUM = C in ’ X ’ Y + C in ’ XY ’ + C in X ’ Y ’ + C in XY , CARRY-OUT = C in ’ XY + C in X ’ Y + C in XY ’ + C in XY = XY + C in Y + C in X ,其邏輯電路如下:

63 或 SUM = C in ’ X ’ Y + C in ’ XY ’ + C in X ’ Y ’ + C in XY = (C in ⊕ X)Y ’ + (C in ⊕ X) ’ Y = C in ⊕ X ⊕ Y , CARRY-OUT = C in ’ XY + C in X ’ Y + C in XY ’ + C in XY = (C in ⊕ X)Y + C in X ,其邏輯電路如下:

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65 4-6-4 乘法器 2 x 2 乘法器

66 4 x 3 乘法器

67 4-6-5 解碼器

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69 4-6-6 編碼器

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71 4-6-7 多工器

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