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第六章 无限长脉冲响应数字滤波器的设计. 第六章学习目标  理解数字滤波器的基本概念  了解模拟滤波器的设计方法  掌握 Butterworth 、 Chebyshev 低通滤波器的特点  了解利用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器的设计 过程  掌握由模拟滤波器设计数字滤波器的冲激响应不.

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1 第六章 无限长脉冲响应数字滤波器的设计

2 第六章学习目标  理解数字滤波器的基本概念  了解模拟滤波器的设计方法  掌握 Butterworth 、 Chebyshev 低通滤波器的特点  了解利用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器的设计 过程  掌握由模拟滤波器设计数字滤波器的冲激响应不 变法  掌握由模拟滤波器设计数字滤波器的双线性变换 法  了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的 方法

3 本章作业练习 P193:  1  2  4  5  6  7  9

4 6.1 数字滤波器的基本概念 数字滤波器: 是指输入输出均为数字信号,通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。 数字滤波器具有比模拟滤波精度高、稳定、体 积小、重量轻、灵活,不要求阻抗匹配等优点, 可实现特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号, 可通过 A/DC 和 D/AC ,在信号形式上进行匹配转 换,同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤 波。 优点:

5 6.1 数字滤波器的基本概念(续) 1 、数字滤波器的分类 2 、数字滤波器的技术指标 3 、数字滤波器的设计过程 4 、 IIR 数字滤波器的设计方法

6 1 、数字滤波器的分类 经典滤波器 现代滤波器 按功能分: 低通、高通、带通、带阻、全通滤波器 按实现的网络结构或单位抽样响应分: IIR 滤波器 FIR 滤波器

7 经典滤波器:  特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤 除的频率成分各占有不同的频带,通过一个 合适的选频滤波器达到滤波的目的。例如, 输入信号中含有干扰,如果信号和干扰的频 带互不重叠,可滤除干扰得到纯信号。 又称选频滤波器

8  如果信号和干扰的频带互相重叠,这时需要采 用另一类所谓的现代滤波器,例如维纳滤波器、 卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。 这些滤波器可按照随机信号内部的一些统计分 布规律,从干扰中最佳地提取信号。本课程仅 介绍经典滤波器。  维纳滤波器  卡尔曼滤波器  自适应滤波器等 现代滤波器 现代数字信号处理 的内容

9 按功能分:低通、高通、带通、带阻、 全通滤波器 各种理想数字滤 波器幅度待性 理想滤波器是物 理不可实现的 要点:  滤波器的传输函数 都是以 2π 为周期的  低通频带处于 0 与 2 π 的整数倍附近  而高频频带处于 2 π 的奇数倍附近  考察频率的范围为 -π~ π

10 按实现的网络结构或单位抽样响应分: FIR 滤波器( N-1 阶) IIR 滤波器( N 阶)

11 2 、数字滤波器的技术指标  选频滤波器的频率响应: 为幅频特性:表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况 为相频特性:反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况  两个滤波器幅频特性相同,相频特性可能不一样,对 相同的输入,滤波器输出的信号波形也是不一样的。  选频滤波器的技术指标由幅频特性给出,对相频特性 一般不作要求,但如果对输出波形有要求,则需要考虑 相频特性的技术指标,例如,语音合成、波形传输、图 像信号处理等。本章主要研究由幅频特性提出指标的选 频滤波器的设计。 ? 思考

12 理想滤波器不可实现,只能以实际滤波器逼近 0 通带截止频率 阻带截止频率 过渡带 通带 阻带

13 :通带截止频率 :阻带截止频率 :通带容限 :阻带容限  阻带:  过渡带:  通带:

14 通带最大衰减: 阻带最小衰减: 其中: 当 时, 称 为 3dB 通带截止频率

15 3 、数字滤波器的设计过程  用一个因果稳定的离散 LSI 系统的系统函数 H(z) 逼近此性能指标  按设计任务,确定滤波器性能要求,制定技术 指标  利用有限精度算法实现此系统函数:如运算结 构、字长的选择等  实际技术实现:软件法、硬件法或 DSP 芯片法

16 4 、 IIR 数字滤波器的设计方法  先设计模拟滤波器,再转换为数字滤波器 用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求: 即求滤波器的各系数:  计算机辅助设计法 s 平面逼近:模拟滤波器 z 平面逼近:数字滤波器

17 IIR 滤波器设计方法有两类 1 、借助模拟 filter 的设计方法 ( 1 )将 DF 的技术指标转换成 AF 的技术指标; ( 2 )按转换后技术指标设计模拟低通 filter 的 ; ( 3 )将 ( 4 )如果不是低通,则必须先将其转换成低通 AF 的 技术指标。 2 、计算机辅助设计法(最优化设计法) 先确定一个最佳准则,如均方差最小准则,最大误差 最小准则等,然后在此准则下 , 确定系统函数的系数。 IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。

18  对于线性相位滤波器,通常采用 FIR 滤波器,其单位 脉冲响应满足一定条件可以证明其相位特性在整个频 带中是严格线性的,这是模拟滤波器无法达到的。当 然.也可以采用 IIR 滤波器,但必须使用全通网络对其 非线性相位特性进行相位校正,这样增加了设计与实 现的复杂性。  本章只介绍无限脉冲响应数字滤波器 ( 简称 IIR 滤波器 ) 的设计方法。为此,先介绍模拟低通滤波器的设计, 因为模拟高通、带通和带阻滤波器的设计是采用频率 转换法将低通转换成所希望的滤波器的。

19 6.2 模拟滤波器的设计  模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且 有若干典型的模拟滤波器供我们选择,这些滤波器都 有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使 用。  典型的模拟滤波器 – 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 幅频特性单调下降 – 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 幅频特性在通带或者在阻带有波动 – 椭圆 Ellipse 滤波器 – 贝塞尔 Bessel 滤波器 通带内有较好的线性相位持性 为什么要借 助于模拟滤 波器设计数 字滤波器 以这些数学函 数命名的滤波 器是低通滤波 器的原型

20  模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带 通和带阻滤波器,它们的理想幅度特性如图所 示。 通常只观察正 频部分

21  设计滤波器时,总是先设计低通滤波器,再通 过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤 波器。  下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近 方法,然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪 夫滤波器的设计方法。

22 1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法  模拟低通滤波器的设计指标  构造一个逼近设计指标的传输函数 H a (s) Butterworth (巴特沃斯)低通逼近 Chebyshev (切比雪夫)低通逼近

23  模拟低通滤波器的设计指标有 α p, Ω p,α s 和 Ω s 。 Ω p ; 通带截止频率 Ω s : 阻带截止频率 α p : 通带中最大衰减系数 α s ; 阻带最小衰减系数 α p 和 α s 一般用 dB 数表示。对于单调下降的幅 度特性,可表示成: 1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 ( 续 )

24 如果 Ω=0 处幅度已归一化到 1 ,即 |H a (j0)|=1,α p 和 α s 表示为 以上技术指标用图所示。图中 Ω c 称为 3dB 截止频 率,因

25  滤波器的技术指标给定后,需要构造一个传 输函数 H a (s) ,希望其幅度平方函数满足给定 的指标 α p 和 α s ,一般滤波器的单位冲激响应为 实数,因此 逼近方法 — 用频率响应的幅度平方函数逼近 幅度平方函数在模拟滤波器的设计 中起很重要的作用,对于上面介绍 的典型滤波器,其幅度平方函数都 有自己的表达式,可以直接引用。

26 (1) 由幅度平方函数 确定模拟滤波 器的系统函数 h(t) 是实函数 将左半平面的的极点归 将以虚轴为对称轴的对称 零点的任一半作为 的零点,虚轴上的零点一 半归

27  由幅度平方函数得象限对称的 s 平面函数  将 因式分解,得到各零极点  对比 和 ,确定增益常数  由零极点及增益常数,得

28 2 、 Butterworth 低通的设计方法  幅度平方函数 1 )幅度函数特点 2 )幅度平方函数的极点分布 3 )滤波器的系统函数 4 )滤波器的设计步骤

29 1 )幅度平方函数 当 称 为 Butterworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 N 为滤波器的阶数 为通带截止频率

30 2 )幅度函数特点:   3dB 不变性  通带内有最大平坦的幅度特性,单调减小  过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth 低通滤波器的幅度函数只由阶数 N 控制

31 Butterworth 滤波器是一个全极点滤波器,其极点: 2 )幅度平方函数的极点分布: 2N 个极点等间隔分布在半径为 的圆上 ( 该 圆称为巴特沃斯圆 ) ,间隔是 π / N rad 。

32 极点在 s 平面呈象限对称,分布在 Buttterworth 圆上,共 2N 点 极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N 为奇数,实轴上有极点, N 为偶数,实轴上无极点 一半极点在 左半平面 一半极点在 右半平面 ?

33  为形成稳定的滤波器, 2N 个极点中只取 s 平面左半平 面的 N 个极点构成 H a (s) ,而右半平面的 N 个极点构成 H a (-s) 。 H a (s) 的表示式为 设 N=3 ,极点有 6 个,它们分别为

34  由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计 统一,将所有的频率归一化。这里采用对 3dB 截止频率 Ω c 归一化,归一化后的 H a (s) 表示为 式中, s/Ω c =jΩ/Ω c 。 令 λ=Ω/Ω c , λ 称为归一化频率;令 p=jλ , p 称 为归一化复变量,这样归一化巴特沃斯的传输 函数为 3 )归一化系统函数

35  p k 为归一化极点,用下式表示: 将极点展开可得到的 Ha(p) 的分母 p 的 N 阶 多项式,用下式表示: 上式为 Buttterworth 低通滤波器的归一化系统 函数,分母多项式的系数有表可查。

36 4 )阶数 N 与技术指标的关系  根据技术指标求出滤波器阶数 N :  确定技术指标: 由 得: 同理: 令 则: 技术指标转 化为阶数 取大于等于 N 的最小整数

37  关于 3dB 截止频率 Ω c ,如果技术指标中没 有给出,可由下式求出 因为反归一时要用此参数

38 5 )低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1) 根据技术指标 Ω p,α p,Ωs 和 α s ,求出滤 波器的阶数 N 。 (2) 求出归一化极点 p k ,由 p k 构造归一 化传输函数 H a (p) 。 (3) 将 H a (p) 反归一化, 阻带指标有富裕 通带指标有富裕 此环节可由 查表得到

39 巴特沃斯归一化低通滤波器的极点

40 巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数 注意:

41 巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解

42 例 已知通带截止频率 f p =5kHz ,通带最大 衰减 α p =2dB ,阻带截止频率 f s =12kHz ,阻带 最小衰减 α s =30dB ,按照以上技术指标设计 巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数 N 。

43 (2) 由 其极点为 传输函数 或由 N=5 ,直接查表得到: 极点: ±j0.9511,- 8090±j0.5878; 系数: b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361

44 先求 3dB 截止频率 Ω c 将 Ω c 代入 (6.2.18) 式,得到: 将 p=s/Ω c 代入 H a (p) 中得到: ( 3 )为将 Ha(p) 去归一化 此时算出的截至频率比题目中给出的小,或者说在 截至频率处的衰减大于 30dB ,所以说阻带指标有富裕 量。


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