Εξίσωση ευθείας. Παράδειγμα I Υποθέτουμε:Α = (0,1) και Β = (5,4) Τότε: m = (4-1)/(5-0)= 0.6 και b = 1, όπου 0  m  1 (1 o ογδοημόριο). Άρα:y = 0.6 x.

Παρουσίαση με θέμα: "Εξίσωση ευθείας. Παράδειγμα I Υποθέτουμε:Α = (0,1) και Β = (5,4) Τότε: m = (4-1)/(5-0)= 0.6 και b = 1, όπου 0  m  1 (1 o ογδοημόριο). Άρα:y = 0.6 x."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εξίσωση ευθείας

2 Παράδειγμα I Υποθέτουμε:Α = (0,1) και Β = (5,4) Τότε: m = (4-1)/(5-0)= 0.6 και b = 1, όπου 0  m  1 (1 o ογδοημόριο). Άρα:y = 0.6 x + 1 Χρησιμοποιούμε την εξίσωση y = 0.6 x + 1 για να σχεδιάσουμε (ενεργοποιήσουμε) τα pixels που αντιστοιχούν σε αυτή.

3 Παράδειγμα I (συνέχεια) υπολογίζουμε τα y (μετά από ένα πολλαπλασιασμό, μια πρόσθεση), για x = 0,1, 2, 3, 4, 5 με προσέγγιση ακεραίου (και μια στρογγυλοποίηση) και ενεργοποιούμε τα αντίστοιχα pixels.

4 Παράδειγμα I (συνέχεια) χψ ψ στρ 011 11.62 22.22 32.83 43.43 544

5 Παράδειγμα I (συνέχεια)

6 Παράδειγμα II Υποθέτουμε ότι Α = (0,0) και Β = (5,6). Να σχεδιαστεί το ευθύγραμμο τμήμα χρησιμοποιώντας την εξίσωση της ευθείας Λύση Τότε : m = (6-0)/(5-0)= 1.2 και b = 0, όπου 1<m (2 o ογδοημόριο). Άρα : y = 1.2*x Χρησιμοποιήσουμε λοιπόν την εξίσωση y = 1.2*x για να σχεδιάσουμε (ενεργοποιήσουμε) τα pixels που αντιστοιχούν σε αυτήν

7 Παράδειγμα II (συνέχεια ) υπολογίζουμε τα y και ενεργοποιούμε τα αντίστοιχα pixels. χψ ψ στρ 000 11.21 22.42 33.64 44.85 566

8 Παράδειγμα II (συνέχεια ) 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 6

9 Παρατηρήσεις Εμφάνιση κενών όταν η κλίση είναι μεγαλύτερη της μονάδας (περιπτώσεις 2 o και 3 o ογδ.) Η ταχύτητα επηρεάζεται από τις χρονοβόρες στρογγυλοποιήσεις m≤1 m>1 |m|≤1 |m|>1

10 Επαναληπτικός Αλγόριθμος από αριστερά προς τα δεξιά: από δεξιά προς τα αριστερά: -m14 ο & 8 o ογδ. 0  |m|  1 -11/m3 ο & 7 o ογδ. 1  |m| 11/m2 ο & 6 o ογδ. 1  m m11 ο & 5 o ογδ. 0  m  1 ysys xsxs Κλίση m4 ο & 8 o ογδ. 0  |m|  1 1-1/m3 ο & 7 o ογδ. 1  |m| -1/m2 ο & 6 o ογδ. 1  m -m-m1 ο & 5 o ογδ. 0  m  1 ysys xsxs Κλίση 1  |m| → m>-1 & m<1 |m|  1 → -1<m<1

11 Παράδειγμα I Υπολογίζουμε για την δοθείσα ευθεία Α=(0,1) και Β=(5,4) ψ=0.6χ+1, όπου m = 0.6<1 (1 ο ογδοημόριο), Δx = 5, Δy = 3, step = 5, x s =Δx/step= 1 & y s =Δy/step= 0.6 σχεδίαση από αριστερά προς τα δεξιά xyψ στρ 01.01 11.0 + 0.6 = 1.62 21.6 + 0.6 = 2.22 32.2 + 0.6 = 2.83 42.8 + 0.6 = 3.43 53.4 + 0.6 = 4.04

12 Παράδειγμα I

13 Παράδειγμα IΙ Υποθέτουμε ότι Α = (0,0) και Β = (-8,-4) Να σχεδιαστεί το ευθύγραμμο τμήμα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο DDA Λύση Δ x = -8 Δ y = -4 m = 0.5<1 (5 ο ογδοημόριο) step = abs(Δx)=8 x s = -1 y s = -0.5 σχεδίαση από δεξιά προς τα αριστερά

14 Παράδειγμα IΙ χψψ στρ 000 -1-0.50 -2-2 -3-3-1.5 -4-4-2 -5-2.5-2 -6-3 -7-3.5-3 -8-4

15 Παράδειγμα IΙ -3 -2 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -4

16 Παράδειγμα IΙΙ Υποθέτουμε: Α = (0,0) και Β = (-8,-3) Να σχεδιαστεί το ευθύγραμμο τμήμα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο DDA Λύση Δx = -8 Δy = -3 m = 0.375<1 (5 ο ογδοημόριο) step = abs(Δx)=8 x s = Δx/step=-8/8=-1 y s = Δy/step= -3/8=-0.375 σχεδίαση από δεξιά προς τα αριστερά

17 Παράδειγμα IΙΙ χψψ στρ 000 -1-0.3750 -2-2-0.75 -3-3-1.125 -4-4-1.5-1 -5-1.875-2 -6-2.25-2 -7-2.625-3 -8-3

18 Παράδειγμα IΙΙ -3 -2 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

19 Παράδειγμα IV Υποθέτουμε: Α = (0,0) και Β = (5,6) Να σχεδιαστεί το ευθύγραμμο τμήμα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο DDA Λύση Δx = 5 Δy = 6 m=6/5=1.2>1 (2 o ογδοημόριο) step = abs(Δy)=6 x s = 1/m=1/1.2=0.833 y s = 1 σχεδίαση από αριστερά προς τα δεξιά

20 Παράδειγμα IV χψx στρ 000 0.83311 1.66622 2.49932 3.33243 4.16554 4.99865

21 Παράδειγμα IV Σχεδιάζουμε: 5 4 3 2 1 0 6 0 1 2 3 4 5

22 Σύγκριση DDA – Εξίσωσης 5 4 3 2 1 0 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 6

23 Παρατηρήσεις Ο Αλγόριθμος DDA, είναι αλγόριθμος σάρωσης περιορίζει αισθητά τους πολλαπλασιασμούς παράγει χρονοβόρες στρογγυλοποιήσεις δεν χρησιμοποιεί μεταβλητές απόφασης

24 Αλγόριθμος Bresenham

25 Παράδειγμα – I (Bresenham) θα σχεδιάσουμε μια ευθεία με άκρα (20,10) και (30,18). Η ευθεία αυτή έχει κλίση 0,8 (0  m  1) με Δx = 10 & Δy = 8. (2 o ογδοημόριο) Η αρχική παράμετρος απόφασης έχει τιμή ρ 1 = 2Δy – Δx = 6>0 Επίσης 2Δy = 16 & 2Δy - 2Δx = -4.

26 Παράδειγμα – I (Bresenham) Σχεδιάζουμε το αρχικό σημείο (x 1, y 1 ) = (20,10) και καθορίζουμε τις διαδοχικές θέσεις των pixels κατά μήκος της ευθείας από την τιμή της παραμέτρου απόφασης ρ κ ως εξής: κρκρκ (xκ+1, yκ+1)κρκρκ 1621,116626,15 2222,127227,16 3-223,128-228,16 41424,1391429,17 51025,1410 30,18

27 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 2021222324252627282930