Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Μαθηματική Επαγωγή. Να δειχθεί ότι: 1*2+2*3+…+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3, ∀ n≥1. Άσκηση 1.

Παρουσίαση με θέμα: "Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Μαθηματική Επαγωγή. Να δειχθεί ότι: 1*2+2*3+…+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3, ∀ n≥1. Άσκηση 1."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Μαθηματική Επαγωγή

2 Να δειχθεί ότι: 1*2+2*3+…+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3, ∀ n≥1. Άσκηση 1

3 Απάντηση 1  Βήμα 1 ο :Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=1. Για i=1  1*2 = (1*2*3)/3=2 ισχύει  Βήμα 2 ο :Υποθέτουμε ότι η σχέση ισχύει για n≤k 1*2+2*3+…+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3 (1) Οπότε για n=k: 1*2+2*3+...+k(k+1)=[k(k+1)(k+2)]/3 (2)

4  Βήμα 3 ο : Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=k+1 1*2+2*3+…+k(k+1) + (k+1)(k+2)= =[(k+1)(k+2)(k+3)]/3 (3) Απάντηση 1 (συνέχεια)

5 Βάσει της (2), η (3) γίνεται: [k(k+1)(k+2)]/3 + (k+1)(k+2) = [(k+1)(k+2)(k+3)]/3  [k(k+1)(k+2)]/3 + 3(k+1)(k+2)/3 = [(k+1)(k+2)(k+3)]/3  [(k+1)(k+2)(k+3)]/3 = [(k+1)(k+2)(k+3)]/3 Άρα ισχύει.

6 Να δειχθεί ότι: 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n! = (n+1)! – 1, ∀ n≥1. Άσκηση 2

7 Απάντηση 2 Το πρώτο μέλος γράφεται κ’ ως: Βήμα 1 ο : Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=1. ισχύει Βήμα 2 ο : Υποθέτουμε ότι ∀ n≤k ισχύει (1) Επίσης για n=k έχουμε (2)

8 Bήμα 3 ο : Θα δείξουμε ότι ισχύει: για n=k+1, δηλαδή (3) Βάσει της (2) το πρώτο μέρος της (3) γίνεται: Απάντηση 2 (συνέχεια)

9 Θέλουμε να δείξουμε ότι (k+1)! - 1 + (k+1)!(k+1) = (k+2)! – 1  Έχουμε (k+1)! - 1 + (k+1)!(k+1) = (k+2)! – 1  (k+1)! + (k+1)!(k+1) = (k+2)!  (k+1)! (1+k+1) = (k+2)!  (k+1)! (k+2) = (k+2)!  (k+2)! = (k+2)!  Άρα ισχύει Απάντηση 2 (συνέχεια)