Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ u q h k A B Γ Δ l B Γ V ΓΔ V ΒΑ FIFI Η απλούστερη δυνατή μορφή ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή, είναι όταν η εξωτερική.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ u q h k A B Γ Δ l B Γ V ΓΔ V ΒΑ FIFI Η απλούστερη δυνατή μορφή ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή, είναι όταν η εξωτερική."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ u q h k A B Γ Δ l B Γ V ΓΔ V ΒΑ FIFI Η απλούστερη δυνατή μορφή ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή, είναι όταν η εξωτερική διέγερση f(t) και η απόσβεση c, είναι μηδενικές. Η ταλάντωση οφείλεται στην επιβολή, την χρονική στιγμή t = 0, αρχικής μετατόπισης u 0 ή/και αρχικής ταχύτητας u’ 0, ενώ μετά την απομάκρυνση από την αρχική θέση ισορροπίας το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα.

2 A1 T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)=0 m/sec ξ=0

3 A2 T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)= +/- 0.1 m/sec ξ=0

4 A3 T=1 sec U(0)=0.03 & 0.05m U'(0)= 0.03 m/sec ξ=0

5 A4 T=1 & 0.5 sec U(0)=0.03 m U'(0)= 0 m/sec ξ=0

6 Η εξίσωση της ταλάντωσης είναι:m u’’(t) + ku(t) = 0 Η λύση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης 2 ου βαθμού, είναι u(t) = Ae rt με χαρακτηριστική εξίσωση (mr 2 + k) = 0 m,k >0  r 2 <0 η οποία έχει ρίζες:r =  iω, όπου ω 2 = k/m Από την ταυτότητα του Euler: e  iωt = cos ωt  sin ωt, προκύπτει τελικά u(t) = R 1 cos ωt + R 2 sin ωt = R sin(ωt+θ) Όπου R 2 = R R 2 2 και tan θ = R 1 /R 2 Εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης εύρους R και κυκλικής συχνότητας ω.

7 Oι συντελεστές R 1 και R 2 προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες u 0 και u’ 0, με τις σχέσεις R 1 = u 0, R 2 = u’ 0 /ω Γιατί?? Αντικαθιστώντας, η εξίσωση κίνησης παίρνει την μορφή: u(t) = u 0 cos ωt + u’ 0 /ω sin ωt  Κατά συνέπεια, η ελεύθερη ταλάντωση μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση είναι μία ΑΡΜΟΝΙΚΗ κίνηση της οποίας το, ΑΜΕΙΩΤΟ με την πάροδο του χρόνου, εύρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, ενώ η συχνότητά της εξαρτάται τα μηχανικά του χαρακτηριστικά (μάζα και ακαμψία). u(t) = R 1 cos ωt + R 2 sin ωt u’(t) = R 1 [-sin ωt]ω + R 2 [cos ωt]ω

8 Για τον λόγο αυτό, η συγκεκριμένη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα ο μονοβάθμιος ταλαντωτής – ανεξάρτητα από το είδος της αρχικής του διαταραχής - ονομάζεται ιδιοσυχνότητα ω ο του ταλαντωτή, ενώ ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση μιας πλήρους ελεύθερης ταλάντωσης, καλείται ιδιοπερίοδος Τ ο. ω ο = [k/m] 1/2 (σε rad/s), T o = 2π/ω 0 (σε s)

9 u0u0 t(s) T o = 2π/ω ο R R u’0u’0

10 Παράδειγμα 2.2 Αβαρείς στύλοι διατομής 30/30 cm. Στατική μεταφορική δύναμη fst = kN, προκαλεί αρχική μετατόπιση u 0. Κατόπιν το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα. Να υπολογισθούν η ιδιοπερίοδος, η θέση & η ταχύτητα του φορέα μετά παρέλευση χρόνου t = 0.5 s. Να ληφθούν: g = 10 m/s 2 και E = 25*10 9 N/m kN/m 3,0 m 10,0 m A BΓ Δ 5,0 m

11 (γ) Υπολογισμός δυσκαμψίας:k = k AB + k ΓΔ. Η ροπή αδράνειας της κοινής τετραγωνικής διατομής είναι:I = a 4 /12 = /12 = 6.75*10 -4 m 4 k AB = 3*EI/h 3 = 3*(2.5*10 7 )*( 6.75*10 -4 ) / 3 3 =1875 kN/m k ΓΔ = 12*EI/h 3 = 12*(2.5*10 7 )*( 6.75*10 -4 ) / 5 3 = 1620 kN/m Συνολικά, k = = 3495 kN/m (α) Μετατροπή μονάδων (σε kN-m). a = 30cm = 0.3m.Ε = 25*10 9 N/m 2 = 25*10 6 kN/m 2 (β) Υπολογισμός μάζας:w = q*L = 10*10 = 100 kN m = W/g = 100/10 = 10 kN*sec 2 /m = 10 tn ΛΥΣΗ

12 (στ) Εξίσωση ταλάντωσης -ταχύτητας: u(t) = u 0 cos ωt + u’ 0 /ω sin ωt = 0.05 cos 10.69t u’(t) = -0.05*10.69 sin 10.69t Για t = 0.5 sec u(0.5) = m, u’(0.5) = m/sec ΠΡΟΣΟΧΗ  Γωνίες σε rad (δ) Ιδιοσυχνότητα ω (rad/sec) – Ιδιοπερίοδος Τ (sec) ω = [k/m] 1/2 = [3495/10] 1/2 = rad/sec T = 2π/ω = sec (ε) Αρχική μετατόπιση λόγω στατικού φορτίου u 0 = Fst/k = /3495 = 0.05 m Αρχική ταχύτητα u’ 0 = 0


Κατέβασμα ppt "ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ u q h k A B Γ Δ l B Γ V ΓΔ V ΒΑ FIFI Η απλούστερη δυνατή μορφή ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή, είναι όταν η εξωτερική."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google