Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Σταύρος Λέτης1 Προτάσεις υπέρβασης παρανοήσεων από το βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα Παρουσίαση με την βοήθεια διερευνητικών δημουργιών του Σταύρου Λέτη.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Σταύρος Λέτης1 Προτάσεις υπέρβασης παρανοήσεων από το βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα Παρουσίαση με την βοήθεια διερευνητικών δημουργιών του Σταύρου Λέτη."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Σταύρος Λέτης1 Προτάσεις υπέρβασης παρανοήσεων από το βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα Παρουσίαση με την βοήθεια διερευνητικών δημουργιών του Σταύρου Λέτη Ελεύθερος Αρμονικός Ταλαντωτής με απόσβεση F΄= −bυ

2 Σταύρος Λέτης2 εν αρχή ην … η διαφορική εξίσωση Αν σε ένα σώμα μάζας m δρουν:  δύναμη επαναφοράς F = − Dx (D>0)  δύναμη απόσβεσης της μορφής F΄= − bυ (b>0) από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε:

3 Σταύρος Λέτης3

4 4 θέτοντας και ιδιοσυχνότητα του σώματος καταλήγουμε στη διαφορική εξίσωση

5 Σταύρος Λέτης5 διαφορική εξίσωση  Η προηγούμενη διαφορική εξίσωση είναι γραμμική ομογενής 2 ας τάξεως  και έχει ως λύσεις τρεις τελείως διαφορετικές συναρτήσεις, (ανάλογα με τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των παραμέτρων D, b και m).  Κατά συνέπεια το υλικό σημείο μπορεί να εκτελέσει μια από τις παρακάτω τρεις τελείως διαφορετικές κινήσεις.

6 Σταύρος Λέτης6 1 η κίνηση (με ισχυρή απόσβεση)  Όταν b 2 > 4Dm, δηλαδή όταν Λ > ω 0, λέμε ότι έχουμε ισχυρή απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι:

7 Σταύρος Λέτης7 2 η κίνηση (με κρίσιμη απόσβεση)  Όταν b 2 = 4Dm, δηλαδή όταν Λ = ω 0, λέμε ότι έχουμε κρίσιμη απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι:

8 Σταύρος Λέτης8  Όταν b 2 < 4Dm, δηλαδή όταν Λ < ω 0, λέμε ότι έχουμε ασθενή απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι: 3 η κίνηση (με ασθενή απόσβεση) και όπου 0 ≤ φ < 2π με

9 Σταύρος Λέτης9  Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η 3 η κίνηση (με ασθενή απόσβεση) στην οποία το ταλαντούμενο σώμα περνά αρκετές φορές από τη θέση αναφοράς x = 0 πριν σταματήσει τελικά σε αυτή.  Η κίνησή του όμως δεν επαναλαμβάνεται αναλλοίωτη, επομένως δεν είναι περιοδική και δεν είναι δυνατόν να χαρακτηρισθεί ταλάντωση με την έννοια που χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε την α.α.τ.. Πρέπει λοιπόν να επαναπροσδιορισθεί η έννοια περίοδος.

10 Σταύρος Λέτης10 περίοδος (επαναπροσδιορισμός της έννοιας)  Στην α.α.τ. περίοδος είναι το χρονικό διάστημα μετά την πάροδο του οποίου η κίνηση (η ταλάντωση) επαναλαμβάνεται αναλλοίωτη.  Στην κίνηση με ασθενή απόσβεση, η οποία δεν επαναλαμβάνεται αναλλοίωτη, λέγοντας περίοδο θα εννοούμε το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του κινητού από τη θέση αναφοράς, με ταχύτητα της ίδιας κατεύθυνσης (το χρονικό αυτό διάστημα είναι σταθερό).

11 Σταύρος Λέτης11 φθίνουσα ταλάντωση.  Μετά τον επαναπροσδιορισμό της έννοιας περίοδος, η κίνηση με ασθενή απόσβεση μπορεί να χαρακτηρισθεί φθίνουσα ταλάντωση.  Ταλάντωση επειδή είναι μια παλινδρομική κίνηση εκατέρωθεν της θέσης αναφοράς x = 0  Φθίνουσα επειδή η ενέργεια μειώνεται με τη πάροδο του χρόνου.

12 Σταύρος Λέτης12

13 Σταύρος Λέτης13 παρανοήσεις & υ υυ υπερβάσεις ««Κάτι σάπιο υπάρχει στο βασίλειο της Δανιμαρκίας» πρίγκιπας Άμλετ απόσπασμα από την 4 η σκηνή της 1 ης πράξης του περίφημου έργου του Ουίλιαμ Σαίξπηρ «Άμλετ» ΚΚάτι σάπιο υπάρχει και στη διδασκαλία των φθινουσών ταλαντώσεων (… και όχι μόνο σε αυτές)

14 Σταύρος Λέτης14  Η φθίνουσα ταλάντωση (κίνηση με ασθενή απόσβεση) πραγματοποιείται μόνο αν:  Η φράση “μικρή απόσβεση” από μόνη της δεν έχει νόημα αφού η έννοια του μικρού είναι σχετική. Ερ: μικρή λοιπόν ως προς τι; Απ: ως προς τη ποσότητα όταν η απόσβεση b είναι μικρή …απόσβεση

15 Σταύρος Λέτης15 περιβάλλουσες περιβάλλουσες  Η x 1 (t) = A 0 e -Λt και η x 2 (t) = -A 0 e -Λt είναι περιβάλλουσες της x(t) = A 0 e -Λt ημ(ω 1 t+φ) δηλαδή  οι γραφικές παραστάσεις των x 1 (t) και x 2 (t) για συγκεκριμένα b, m, D και A 0, εφάπτονται της γραφικής παράστασης της απομάκρυνσης x(t), με τέτοιο τρόπο, ώστε καμιά τιμή της x να μη βρίσκεται έξω από το “χώρο” που οριοθετούν οι γραφικές παραστάσεις των x 1 (t) και x 2 (t)

16 Σταύρος Λέτης16

17 Σταύρος Λέτης17  Στα σημεία επαφής της x(t) με τις x 1 (t) και x 2 (t) δηλαδή τις χρονικές στιγμές που το υλικό σημείο βρίσκεται σε θέσεις της μορφής x = ±Α 0 e -Λt έχει ταχύτητα.  στις θέσεις +Α 0 e –Λt έχει αρνητική ταχύτητα,  στις θέσεις –A 0 e -Λt έχει θετική ταχύτητα.  Άρα οι θέσεις αυτές δεν είναι ακραίες, δεν είναι θέσεις πλάτους και κατά συνέπεια  η Α 0 e –Λt δεν μπορεί να είναι συνάρτηση πλάτους.

18 Σταύρος Λέτης18

19 Σταύρος Λέτης19  αν b 2 = 2Dm οι καμπύλες ±Α 0 e -Λt όχι μόνο δεν είναι θέσεις πλάτους, θέσεις δηλαδή μηδενισμού της ταχύτητας, αλλά τουναντίον θέσεις μέγιστου μέτρου ταχύτητας!!!

20 Σταύρος Λέτης20

21 Σταύρος Λέτης21  Οι μέγιστες αποστάσεις (τοπικό ακρότατο) από τη θέση x = 0 στις οποίες μπορεί να βρεθεί το κινητό, οι αποστάσεις δηλαδή του κινητού από τη x = 0 όταν βρίσκεται στο πλάτος της ταλάντωσης, είναι  Επειδή όμως ω 1 < ω 0, το πλάτος της ταλάντωσης είναι σαφώς μικρότερο από τις τιμές που δίνουν οι περιβάλλουσες εκείνη τη χρονική στιγμή. θέσεις πλάτους

22 Σταύρος Λέτης22

23 Σταύρος Λέτης23 θέσεις ισορροπίας θέσεις ισορροπίας (Θ.Ι.) Στις θέσεις ισορροπίας το κινητό:  έχει ταχύτητα μέγιστου μέτρου  έχει επιτάχυνση μηδέν (Fολ = 0)  πλησιάζει προς τη θέση x = 0  στις Θ.Ι. δεν περιλαμβάνεται ποτέ η θέση x = 0  σε κάθε περίοδο υπάρχουν δύο Θ.Ι.

24 Σταύρος Λέτης24

25 Σταύρος Λέτης25  Στις θέσεις ισορροπίας οι οποίες είναι τα σημεία τομής της x(t) με τις συναρτήσεις η ταχύτητα έχει μέγιστο μέτρο (τοπικό ακρότατο)  αν b 2 = 2Dm οι θέσεις ισορροπίας του ταλαντωτή βρίσκονται στα σημεία επαφής της x(t) με τις περιβάλλουσες ±Α 0 e -Λt

26 Σταύρος Λέτης26

27 Σταύρος Λέτης27 Σώμα που έχει αρχική απομάκρυνση αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα να εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση  Η αρχική απομάκρυνση x 0 δεν είναι Α 0  Η αρχική φάση φ δεν είναι π/2 rad  Η εξίσωση κίνησης δεν είναι η x = A 0 e -Λt συν(ωt) Αν όλα αυτά ήταν σωστά, τότε το σώμα θα είχε ταχύτητα στη θέση πλάτους.

28 Σταύρος Λέτης28 Η δυναμική ενέργεια

29 Σταύρος Λέτης29 Η κινητική ενέργεια

30 Σταύρος Λέτης30 κινητική ενέργεια και δυναμική ενέργεια  Όταν η κινητική ενέργεια γίνεται μέγιστη (στις Θ.Ι.), η δυναμική ενέργεια δεν είναι μηδέν.  Όταν η δυναμική ενέργεια είναι μέγιστη (ακραίες θέσεις), η κινητική ενέργεια είναι μηδέν.

31 Σταύρος Λέτης31

32 Σταύρος Λέτης32  Στις ακραίες θέσεις ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας πρέπει να είναι μηδέν (δηλαδή η εφαπτόμενη στη γρ.παρ. να είναι παράλληλη με τον άξονα των χρόνων).  Ο στιγμιαίος ρυθμός με τον οποίο χάνει ενέργεια το σώμα (η ισχύς της F’) πρέπει να μηδενίζεται στις ακραίες θέσεις στις οποίες μηδενίζεται η ταχύτητα.  Κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει με την εκθετική συνάρτηση. Η σχέση Ε = Ε 0 e -2Λt δεν δίνει την (ολική) ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση

33 Σταύρος Λέτης33

34 Σταύρος Λέτης34

35 Σταύρος Λέτης35 Η ολική ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση δίνεται από τη σχέσηολική ενέργεια

36 Σταύρος Λέτης36

37 Σταύρος Λέτης37 Ρυθμοί ενέργειας  Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας έχει θετικές και αρνητικές τιμές. Μηδενίζεται στις ακραίες θέσεις αλλά και στις θέσεις x = 0.  Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχει θετικές και αρνητικές τιμές. Μηδενίζεται στις θέσεις ισορροπίας και στις ακραίες θέσεις.  Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας έχει μόνο αρνητικές τιμές (εφόσον η ενέργεια μειώνεται συνεχώς). Μηδενίζεται στις ακραίες θέσεις και γίνεται μέγιστος στις θέσεις ισορροπίας.

38 Σταύρος Λέτης38 Σας ευχαριστώ που ήρθατε αλλά … και για την προσοχή σας.


Κατέβασμα ppt "Σταύρος Λέτης1 Προτάσεις υπέρβασης παρανοήσεων από το βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα Παρουσίαση με την βοήθεια διερευνητικών δημουργιών του Σταύρου Λέτη."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google