ΤΟ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΒΕΛΤΙΩΝΟΥΝ ΤΗΝ ΑΠΟΔΟΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ;ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ ΕΝΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΟ ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ D.DE BOCK ET AL ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΠΙΤΣΑΣ ΚΩΣΤΑΣ

ΣΤΟΧΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η μελέτη του πόσο και αν επηρεάζει το αυθεντικό πλαίσιο και η γραφική αναπαράσταση που κατασκευάζει μόνος του ο μαθητής, την επίλυση ενός λεκτικού μη γραμμικού γεωμετρικού προβλήματος μήκους, εμβαδού ή όγκου και την τάση της γραμμικής σκέψης του μαθητή.

ΣΕ ΠΟΙΟΥΣ ΚΑΙ ΠΩΣ ΕΓΙΝΕ Η ΕΡΕΥΝΑ Η έρευνα έγινε σε διαφορετικές ομάδες μαθητών ηλικίας και ετών. Σε όλους τους μαθητές δόθηκε ένα μολύβι και ένα φυλλάδιο με ένα γεωμετρικό πρόβλημα. Στους μισούς το πρόβλημα συνοδεύτηκε με σχετικά video-αποσπάσματα που παρουσίαζαν το πρόβλημα στην πραγματική του κατάσταση. Στους άλλους μισούς ζητήθηκε να κατασκευάσουν μια γεωμετρική αναπαράσταση του προβλήματος.

Η ΕΡΕΥΝΑ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ-ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Σύμφωνα με αρκετούς ερευνητές το γραμμικό μοντέλο μπορεί να οδηγήσει στη ψευδαίσθηση ότι το μοντέλο αυτό έχει μια γενική εφαρμογή και αναπτύσσει στους μαθητές την τάση να το χρησιμοποιούν σε καταστάσεις που δεν είναι κατάλληλο.(Freudenthal,1983, Gagatsis & Kyriakides,2000).Αυτή η τάση να δεις και να εφαρμόσεις το γραμμικό μοντέλο παντού, συχνά αναφέρεται ως ψευδαίσθηση της γραμμικότητας,γραμμική παγίδα, γραμμικό εμπόδιο ή γραμμική παρανόηση.(De Bock, Verschaffel, & Janssens,1998).

ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Το πιο γνωστό και πιο συχνά προσφερόμενο παράδειγμα βρίσκεται στους διαλόγους του Πλάτωνα (Berte,1993,Rouche,1992) στο οποίο ένας σκλάβος,όταν του ζητήθηκε να ζωγραφίσει ένα τετράγωνο με διπλάσιο εμβαδό από αυτό που του δόθηκε,αρχικά διπλασίασε την πλευρά του δοσμένου τετραγώνου. Ο σκλάβος διόρθωσε το λάθος του όταν ο Σωκράτης τον βοήθησε με ένα σχέδιο.

ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οι μαθητές πιστεύουν ότι η πιθανότητα για μια τουλάχιστον επιτυχία σε ένα παιχνίδι τύχης είναι ανάλογη του αριθμού των προσπαθειών.(De Bock, Verschaffel & Janssens 1999,Van Dooren et all, 2001)

ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ Μέχρι πρόσφατα η έρευνα ήταν απούσα. Το 1998 και το 2002 ο De Bock et al έθεσαν σε μεγάλες ομάδες μαθητών ηλικίας και ετών παραδοσιακά λεκτικά προβλήματα που στηρίζονταν σε γνωστά σχήματα(τετράγωνα, κύκλοι κλπ). Παράδειγμα: Ένας αγρότης χρειάζεται περίπου 8 ώρες για να βάλει κοπριά σε ένα τετράγωνο αγρό,πλευράς 200μ. Πόσες ώρες χρειάζεται για να βάλει κοπριά σε ένα τετράγωνο κομμάτι με πλευρά 600μ;

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η τάση να εφαρμόζουν το γραμμικό μοντέλο επίλυσης σε μη γραμμικά προβλήματα είναι εξαιρετικά ισχυρή σε μαθητές ετών (2-7% σωστές απαντήσεις) και εξακολουθεί να είναι μεγάλη σε ηλικίες ετών(17-22% σωστές απαντήσεις. Το είδος του σχήματος σε μη γραμμικά μοντέλα έχει ιδιαίτερη σημασία. Ούτε οι λεπτομερείς οδηγίες που δόθηκαν, βοήθησαν τους μαθητές. Με την έναρξη του test δόθηκε βοήθεια στους μαθητές χωρίς αποτέλεσμα. Οι μαθητές έλυσαν με λάθος τρόπο περισσότερα από τα μισά μη γραμμικά προβλήματα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Η ψευδαίσθηση της γραμμικότητας παραμένει και το φαινόμενο αυτό είναι πολύ ανθεκτικό για να αλλάξει.

ΠΡΩΤΟΣ ΣΤΟΧΟΣ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Πόσο βοηθά τους μαθητές όταν το πρόβλημα δίνεται σε αυθεντικό περιβάλλον; Σύμφωνα με DELANGE(1987),FREUDENTHAL(1983), YREFFERS(1987) το αυθεντικό περιβάλλον δίνει ένα εσωτερικό κίνητρο στους μαθητές για την εμπλοκή τους στο task και συμβάλλει στην εφαρμογή μιας καλής στρατηγικής. Αντίθετα τα προβλήματα της τελευταίας έρευνας ήταν φτωχά ως προς το ρεαλιστικό πλαίσιο.

ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΣΤΟΧΟΣ Μπορεί ένα σχέδιο ή ένα διάγραμμα να αυξήσει την ικανότητα ενός ανθρώπου στην επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος; Σύμφωνα με την υπάρχουσα έρευνα (COLLINS,BROWN&NEWMAN (1989),DE CORTE,GREER &VERSCHAFFEL (1996),POLYA (1945),SCOENFELD (1992), ο πειραματισμός με την οπτικοποίηση ενός προβλήματος με σχήμα ή διάγραμμα δεν οδηγεί με βεβαιότητα στη λύση του προβλήματος,είναι όμως ένα πολύ χρήσιμο και επιτυχές γνωστικό εργαλείο.

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ Η παρούσα έρευνα έγινε σε 152 μαθητές της όγδοης τάξης ηλικίας ετών και σε 161 μαθητές της δέκατης τάξης ηλικίας ετών. Οι μαθητές έμεναν σε μια πόλη μεσαίου μεγέθους, ήταν της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και το σχολείο που φοιτούσαν τους παρείχε υψηλά standards εκπαίδευσης. Επίσης είχαν αντιμετωπίσει στο σχολείο παρόμοια προβλήματα.

ΤΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥΣ ΔΟΘΗΚΑΝ Όλοι οι μαθητές είχαν μπροστά τους χαρτί και μολύβι Το test περιέχει έξι προβλήματα ( δύο αναλογικά και τέσσερα μη αναλογικά). Τα προβλήματα ζητούσαν τις σχέσεις μεταξύ μήκους, εμβαδού και όγκου, διαφορετικού τύπου ευθυγράμμων και μη ευθυγράμμων σχημάτων. Για την αποφυγή αριθμητικών λαθών επέτρεψαν στους μαθητές τη χρήση αριθμομηχανής.

ΠΩΣ ΕΓΙΝΕ Ο ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΟΜΑΔΕΣ Και στα τέσσερα groups: Το σχολείο παρείχε την ίδια βοήθεια. Ο μέσος όρος ωρών μελέτης των μαθητών ήταν ίδιος. Ο μέσος όρος βαθμολογίας στις περυσινές εξετάσεις τους, στα μαθηματικά ήταν ίδιος. Ο μέσος όρος ωρών μαθηματικών στο ωρολόγιο πρόγραμμα ήταν ίδιος.

ΠΩΣ ΔΟΘΗΚΑΝ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΤΕΣΣΕΡΑ GROUPS ΚΑΘΕ ΗΛΙΚΙΑΣ A+D+,A+D-,A-D+,A-D- A+:Στους μαθητές παρουσιάστηκαν αποσπάσματα video από τη γνωστή νουβέλα ‘Gulliver’s travels’.Σε αυτή ο Gulliver επισκέπτεται τον κόσμο των Lilliputians στον οποίο το μήκος είναι 12 φορές μικρότερο από τον κόσμο των ανθρώπων. Α-: Τα προβλήματα δεν δίνονται μέσα σε κάποιο πλαίσιο, δεν μοιάζουν όμως με τα παραδοσιακά προβλήματα. Επίσης εδώ εκτός από τον παράγοντα 12 χρησιμοποιούνται και οι παράγοντες 11,13.

D+ Στην αρχή δόθηκε στους μαθητές ένα σχήμα από τον ένα κόσμο των ανθρώπων και τους ζητήθηκε να κατασκευάσουν το ίδιο σχήμα στον κόσμο των Λιλλιπουτιανών ή το αντίστροφο. Μετά τους ζητήθηκε κάτι ανάλογο μόνο που τώρα τους δίνεται ένα σχήμα και τους ζητείται να κατασκευάσουν ένα άλλο με μια δοσμένη σχέση μήκους ή εμβαδού ή όγκου.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΥ ΔΟΘΗΚΑΝ ΣΤΟ Α+. Το μπαστούνι του G είναι 96εκ.Πόσο ύψος έχει το μπαστούνι του L; Το μαντήλι του G έχει εμβαδό 1296 cm 2 Πόσο εμβαδό έχει το μαντήλι ενός L; Ένας κύβος τυριού στον κόσμο του G έχει όγκο mm 3.Πόσο όγκο έχει το τυρί ενός L;

ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΥ ΔΟΘΗΚΑΝ ΣΤΟ Α- Το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος Α είναι 13 φορές μεγαλύτερο από το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος Β. Αν το μήκος του Α είναι 78εκ πόσο είναι το μήκος του Β; Η πλευρά ενός τετραγώνου Α είναι 12 φορές πιο μεγάλη από την πλευρά ενός τετραγώνου Β. Εάν το εμβαδόν του Α είναι 1440 cm 2 ποιο είναι το εμβαδόν του Β; Η πλευρά ενός κύβου Ι είναι 13 φορές πιο μεγάλη από την πλευρά ενός κύβου Θ. Εάν ο όγκος του Ι είναι 2197 cm 3,να βρείτε τον όγκο του κύβου Θ.

D+D+

ΜΕΤΑ ΤΟ TEST Ζητήθηκε από τους μαθητές να συμπληρώσουν ένα ερωτηματολόγιο.Ο βασικός στόχος ήταν να πληροφορηθούν οι ερευνητές πως αντιλήφθηκαν και προσέγγισαν οι μαθητές τα προβλήματα.

ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ THΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΥΠΟΘΕΣΗ 1: Η απόδοση στα αναλογικά προβλήματα θα είναι υψηλότερη σε σχέση με τα μη αναλογικά. ΥΠΟΘΕΣΗ 2: Τα παιδιά στην ηλικιακή ομάδα αποδίδουν καλίτερα από την ηλικιακή ομάδα ΥΠΟΘΕΣΗ 3: Η ομάδα Α+(που παρακολούθησε video) γοητευμένη από την αυθεντική ιστορία θα απέδιδε καλίτερα από την Α- (που δεν παρακολούθησε) ΥΠΟΘΕΣΗ 4: Η ομάδα D+ (που δέχθηκε οδηγίες για την κατασκευή και χρήση σχεδίου) θα απέδιδε καλίτερα από την ομάδα D- (που δεν της ζητήθηκε σχέδιο). ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ: Τα αποτελέσματα χαρακτηρίστηκαν ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ. Η αξιολόγηση περιορίστηκε σε 2 αναλογικά και 2 μη αναλογικά συνυπολογίζοντας τους παράγοντες ηλικία,Α+,Α-,D+,D-. ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ: Εκτιμήθηκε η στρατηγική επίλυσης και το σχέδιο.

ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΠΟΣΟΣΤΟ ΟΡΘΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ) ΓΕΝΙΚΑΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΜΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΘΕΣΗ 195%33%ΕΠΑΛΗΘΕΥΕΤΑΙ ΥΠΟΘΕΣΗ % 69% 95% 59% 69% ΕΠΑΛΗΘΕΥΕΤΑΙ ΥΠΟΘΕΣΗ 3 Α+Α-Α+Α- 61% 67% 97% 93% 25% 41% ΔΕΝ ΕΠΑΛΗΘΕΥΕΤΑΙ ΥΠΟΘΕΣΗ 4D+D-D+D- 59% 70% 94% 96% 23% 44% ΔΕΝ ΕΠΑΛΗΘΕΥΕΤΑΙ

Κρίνεται από την ερευνητική ομάδα ότι πρέπει να επαναληφθεί η μελέτη της 4 ης υπόθεσης,μετά το ανατρεπτικό απότέλεσμα. Επιλέγονται 165 μαθητές στις ίδιες ηλικιακές ομάδες,από άλλο σχολείο, με ίδια test επαρκή χρόνο και με τη διάκριση σε D+ και D-. EΠΙΒΕΒΑΙΩΝΕΤΑΙ ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΤΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ AΠΟΤΕΛΕΣΜΑ!!!! ΓΕΝΙΚΑ ΜΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚA D+ 60% 40% D- 73% 62%

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ 1.Σύγκριση της επιφάνειας με τη μονάδα μέτρησης (με κάλυψη της από μοναδιαία τετραγωνάκια) 2.Εφαρμογή μαθηματικού τύπου. 3.Γενική αρχή: μήκος -R, επιφάνεια -R 2 4.Μικτή χρήση προηγουμένων τεχνικών 5.Άλλοι τρόποι λύσης. ΟΜΑΔΑ D+: Ζητήθηκε ρητά σχεδιαστική αναπαράσταση του δεδομένου με αναγωγή στην κλίμακα(ανταπόκριση94%) ΟΜΑΔΑ D -: Δεν δόθηκαν οδηγίες κατασκευής σχήματος. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Η ομάδα D+ συμμορφώθηκε με τις οδηγίες,απέδωσε εύστοχα το σχήμα και τελικά παγιδεύτηκε στα μη αναλογικά προβλήματα στην ιδέα της γραμμικότητας. Κατά 63% αξιοποίησε τα σχήματα, το 55% δήλωσε ότι βοηθήθηκαν στη λύση και 44% ότι τα χρησιμοποιεί γενικά στη λύση προβλημάτων ΟΜΑΔΑ Α+: Είχαν αυτοπεποίθηση για την ορθότητα των απαντήσεων τους, αποδέχθηκαν ευχάριστα τη μορφή του test και το χαρακτήρισαν εύκολο μεν αλλά διαφοροποιημένο από τα αντίστοιχα σχολικά. 61% δεν ανακάλεσε το video και για το 77% δεν βοήθησε στην επίλυση προβλήματος.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι μελέτες De Bock (1998,2002) αποδεικνύουν πειστικά ότι η πλειονότης των μαθητών αποτυγχάνει να λύσει προβλήματα που συνεπάγονται συσχετισμούς μήκους με επιφάνεια ή όγκο,σε σχήματα όμοια, με σμίκρυνση ή μεγέθυνση. Στον συγκεκριμένο πειραματισμό οι μαθητές ενισχύθηκαν με 2 τρόπους: 1)Με την αυθεντική εξιστόρηση του προβλήματος (video) 2)Mε τη λειτουργική χρήση και αξιοποίηση του σχήματος.

ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΕΝΙΣΧΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΟΜΑΔΕΣ Α+, D+ ΔΕΝ ΑΠΕΔΩΣΑΝ ΟΜΑΔΑ Α+ 1)Η παρέμβαση του video εκλήφθηκε ως παραδρομή της πορείας επίλυσης και θεωρήθηκε ανοίκεια η παρουσίαση. 2)Το πρόβλημα υποτιμήθηκε ως κατώτερων απαιτήσεων, επειδή παρουσιάστηκε με video. 3)Στη βάση μιας μελέτης (Boaler 1994) η εμπλοκή στο συγκινησιακό πεδίο της αφήγησης, απομακρύνει από τη βαθύτερη κατανόηση της μαθηματικής δομής. 4)Υπήρχε 10 λεπτά λιγότερος χρόνος, λόγω της προβολής του video.

OMAΔΑ D+ 1) Δεν ήταν λεπτομερής η περιγραφή της ευρετικής διαδικασίας. 2) Η ευρετική διαδικασία είναι αποτελεσματική όταν συνδυάζεται με δεξιότητες μεταγνωστικού εκτελεστικού ελέγχου. 3) Κατά την αντιγραφή του σχήματος μέτρησαν ένα γραμμικό στοιχείο (μήκος), διαίρεσαν με τον λόγο της κλίμακας και κατασκεύασαν το αντίγραφο. Παρέμεινε στη μνήμη ισχυρός ο μηχανισμός της γραμμικής αναλογίας. Ενισχύθηκε δε από την αθέατη σύμβαση ότι η ενέργεια που χρησιμοποιήθηκε προπαρασκευαστικά στο σχήμα,εξακολουθεί να ισχύει και στην πορεία επίλυσης.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 1 ) Με την έρευνα De Bock (1998) η παραπλάνηση της γραμμικότητας ανιχνεύεται σε ποικιλλία εξετάσεων και δεν εξαρτάται από τη διοργάνωση και τις ρυθμιστικές της παραμέτρους. Είναι παγκόσμιο φαινόμενο,που αντιστέκεται στις όποιες τεχνικές καταπολέμησης του. Η συγκεκριμένη έρευνα κατέδειξε ότι η χρήση video και η οδηγία χρήσης σχήματος δεν συνεισφέρουν στην άρση του φαινομένου. Η ενισχυτική προσπάθεια προσέκρουσε σε άδηλες πεποιθήσεις,τυποποιήσεις και προσδοκίες. Οι μεμονωμένες παρεμβάσεις θα έχουν εφήμερα αποτελέσματα αν δεν είναι μακροχρόνιες και δεν συνυπολογίζουν κοινωνικούς,πολιτιστικούς και συναισθηματικούς παράγοντες.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ(ΣΥΝΕΧΕΙΑ) 2) Σε γενικό επίπεδο πρέπει να λάβουμε υπ όψιν την προειδοποίηση ερευνητών (FREUDENTHAL 1978,TREFFERS 1987) ότι στην εφαρμογή γενικών αρχών και ευρημάτων από τη γνωστική παιδαγωγική ψυχολογία,σε ιδιαίτερα πεδία γνώσης όπως τα Μαθηματικά,οφείλουμε να είμαστε προσεκτικοί!!!! Οι ειδήμονες των δύο πεδίων (Γνωστική Ψυχολογία και Μαθηματικά) πρέπει να συνεργάζονται,να συνεισφέρουν να συμβάλλουν στην αντιμετώπιση μαθησιακών δυσχερειών και προβλημάτων.

ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ Ευχαριστούμε για την προσοχή σας!!!!