Λέοναρντ Όιλερ (Leonard Euler)

Μερικά στοιχεία… Γέννηση: 15 Απριλίου 1707. Θάνατος: 18 Σεπτεμβρίου 1783. Επάγγελμα: μαθηματικός και φυσικός. Χώρα καταγωγής: Ελβετία.

Τα πρώτα χρόνια Η οικογένειά του μετακόμισε από τη Βασιλεία στο Ρίχεν (Riehen), όπου πέρασε και το μεγαλύτερο μέρος της παιδικής του ηλικίας. Ο οικογενειακός του φίλος Γιόχαν Μπερνούλι ο οποίος τότε θεωρούνταν ο καλύτερος μαθηματικός της Ευρώπης, θα αποτελέσει τελικά την πιο σημαντική επιρροή στον νεαρό Λέοναρντ.

Σπουδές Στα 13 του εγγράφηκε στο πανεπιστήμιο της Βασιλείας και το 1723 έλαβε μάστερ στη φιλοσοφία. Εκείνη την περίοδο έκανε μαθήματα με τον Γιόχαν Μπερνούλι, ο οποίος γρήγορα ανακάλυψε το απίστευτο ταλέντο του στα μαθηματικά. Το 1726 ο Όιλερ ολοκλήρωσε τη διατριβή του στη διάδοση του ήχου με τίτλο De Sono (Περί Ήχου). Το 1727, πήρε μέρος για πρώτη φορά στο Paris academy στο διαγωνισμό Prize problem, όπου έλαβε τη δεύτερη θέση. Ο Όιλερ κέρδισε αυτό το ετήσιο βραβείο συνολικά 12 φορές.

Αγία Πετρούπολη Ο Όιλερ έλαβε μια προσφορά από τον φίλο του Ντάνιελ για μια θέση στην Αυτοκρατορική Ρωσική Ακαδημία Επιστημών (1726). Έμαθε τη ρωσική γλώσσα και προσαρμόστηκε στη ζωή στην Αγία Πετρούπολη. Ανέλαβε επίσης πρόσθετη εργασία ως γιατρός στο Ρωσικό Ναυτικό (1727). Η αριστοκρατία ήταν καχύποπτη απέναντι στους ξένους επιστήμονες της ακαδημίας και ως εκ τούτου έκοψε τη χρηματοδότηση και προκάλεσε πολλές δυσκολίες στον Όιλερ και τους συνεργάτες του.

Ο Όιλερ γρήγορα αναδείχθηκε μέσω των τάξεων στην ακαδημία και έγινε καθηγητής της φυσικής το 1731. Διαδέχθηκε τον Ντάνιελ Μπερνούλι ως επικεφαλής του τμήματος μαθηματικών, ο οποίος έφυγε για τη Βασιλεία.

Οικογένεια Στις 7 Ιανουαρίου του 1734, παντρεύτηκε την Katharina Gsell (1707–1773). Το νεαρό ζευγάρι αγόρασε ένα σπίτι δίπλα στον ποταμό Νέβα. Η οικογένειά τους έμελε να γίνει δεκαπενταμελής!

Βερολίνο Έφυγε απο την Αγία Πετρούπολη στις 17 Ιουνίου του 1741 για να αναλάβει μία θέση στην Ακαδημία του Βερολίνου, η οποία του είχε προσφερθεί από τον Φρειδερίκο Β΄ της Πρωσίας. Έγραψε πάνω από 380 άρθρα. Δημοσίευσε 2 από τις εργασίες του: Analysin infinitorum (1748) Institutiones calculi differentialis (1755)

Το 1755, εκλέχθηκε ως εξωτερικό μέλος στη Σουηδική Βασιλική Ακαδημία των Επιστημών. Επιπρόσθετα, ζητήθηκε από τον Όιλερ να διδάξει την πριγκίπισσα Ντεσσάου του Άνχαλτ - (Anhalt-Dessau) ανηψιά του Φρειδερίκου. Ο Όιλερ της έγραψε πάνω από 200 γράμματα στις αρχές του 1760, τα οποία αργότερα συγχωνεύθηκαν σε έναν best-selling τόμο με τίτλο: Γράμματα του Όιλερ για διάφορα θέματα στη φυσική φιλοσοφία προς μία Γερμανίδα πριγκίπισσα.

Ο τόμος αναφέρεται σε ποικίλα θέματα που αφορούσαν τόσο τη φυσική όσο και τα μαθηματικά. Πρόσφεραν πολύτιμες ιδέες για την προσωπικότητα και τα θρησκευτικά πιστεύω του Όιλερ. Η δημοσιότητα των "γραμμάτων" αποδεικνύει την ικανότητα του Όιλερ να επικοινωνεί για επιστημονικά θέματα αποτελεσματικά σε ένα ευρύ κοινό, μία σπάνια ικανότητα για έναν αφοσιωμένο ερευνητή επιστήμονα.

Μετά εγκατέλειψε το Βερολίνο. Αυτό οφειλόταν στη σύγκρουση του με τον Φρειδερίκο, ο οποίος θεωρούσε τον Όιλερ μη-εκλεπτυσμένο, ειδικά σε σύγκριση με τον κύκλο των φιλοσόφων που ο Γερμανός βασιλιάς έφερε στην Ακαδημία.

Επιδείνωση της όρασης H όραση του Όιλερ επιδεινώθηκε κατά τη διάρκεια της μαθηματικής του καριέρας. Μετά υπέφερε από ένα σχεδόν θανατηφόρο πυρετό το 1735, οπότε και έμεινε σχεδόν τυφλός από το δεξί του μάτι. Δυστυχώς η όραση του Όιλερ επιδεινώθηκε κατά τη διάρκεια της παραμονής του στη Γερμανία. Ανέπτυξε καταρράκτη στο αριστερό του μάτι, καθιστώντας τον σχεδόν τυφλό.

Ωστόσο, η κατάστασή του φάνηκε να έχει μικρή επίδραση στην παραγωγικότητα του, αφού ο ίδιος αποζημιώθηκε για αυτό με ψυχικές ικανότητες υπολογισμού και φωτογραφική μνήμη. Ο υπηρέτης του, παρόλο που δε γνώριζε καθόλου μαθηματικά, έγραφε όλες τις σκέψεις του Euler. Έτσι η παραγωγικότητα του σε πολλούς τομείς της μελέτης του αυξήθηκε. Παρήγαγε κατά μέσο όρο, ένα μαθηματικό «χαρτί» κάθε εβδομάδα κατά το έτος 1775.

Επιστροφή στη Ρωσία Ο Όιλερ αποδέχθηκε πρόσκληση για να επιστρέψει στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης όπου και πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του. Μια πυρκαγιά στην Αγία Πετρούπολη το 1771 του κόστισε το σπίτι του, και σχεδόν τη ζωή του. Το 1773, έχασε τη γυναίκα του Katharina μετά από 40 χρόνια γάμου. Τρία χρόνια μετά το θάνατο της συζύγου του, ο Όιλερ παντρεύτηκε την ετεροθαλή αδελφή της, Salome Abigail Gsell (1723-1794).

Το τέλος… Στην Αγία Πετρούπολη στις 18 Σεπτεμβρίου 1783 ο Όιλερ υπέστη εγκεφαλική αιμορραγία και πέθανε. Τάφηκε δίπλα στην Katharina στο Σμολένσκ Λουθηρανικό νεκροταφείο.

Το πρόβλημα του Καίνιγκσμπεργκ Κωνσταντίνος Μπάρκας Κωνσταντίνα Παπαγεωργίου Ζαχαρίας Ζερβός Δημήτρης Κυριακού

Πανεπιστήμιο Καίνιγκσμπερκ Καίνιγκσμπεργκ Πρωτεύουσα της Ανατολικής Πρωσίας Πολιτιστικό, εμπορικό και στρατιωτικό κέντρο Επτά γεφύρια - Αντικείμενο προβλήματος Πανεπιστήμιο Καίνιγκσμπερκ 1544, Δούκας Αλβέρτος Κορυφαίοι φυσικομαθηματικοί (Μπεσέλ, Γιακόμπι, Χέλμχολτζ)

Μαθηματικό-Πρακτικό Πρόβλημα Ένας περιηγητής πρέπει να περάσει και τις επτά γέφυρες διασχίζοντας κάθε μία μόνο μία φορά (πρόβλημα μονοκοντυλιάς).

Όιλερ Θεωρητική προσέγγιση στο ζήτημα Γενικευμένη διατύπωση προβλήματος Απόδοση λύσης Λύση Όιλερ Αποτελεί την αναλυτική απαρίθμηση όλων των δυνατών διαδρομών και την εύρεση ενός αριθμητικού κριτηρίου, βάσει του οποίου καθορίζεται το κατά πόσο υπάρχει δυνατή διαδρομή (λύση) ή όχι.

Η Άλγεβρα στην Αναγέννηση Ιταλία, 14ος αιώνας. Ανάπτυξη του εμπορίου. Μεταβολή της οικονομίας. Ανάγκη για περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών. Ιταλοί αβακιστές : Εκπαίδευση των εμπόρων για επίλυση προβλημάτων.

Καινοτομίες: Νέο σύστημα αρίθμησης (δεκαδικό). Αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων. Ευρωπαίοι λόγιοι εφάρμοσαν τις τεχνικές αυτές για την επίλυση θεωρητικών προβλημάτων. Εισαγωγή συμβόλων στην Άλγεβρα.

Ιταλία 15ος - 16ος αιώνας: Η πανεπιστημιακή ζωή ήταν πολύ διαφορετική από τη σημερινή. Δεν υπήρχε μονιμότητα των καθηγητών. Η επαγγελματική τους αποκατάσταση απαιτούσε φήμη και κύρος. Κατακτιούνταν με δημόσιες «μονομαχίες». Σημαντικότερο άλυτο πρόβλημα και ιδανικό προτεινόμενο θέμα μονομαχίας: λύση στη γενική μορφή μιας τριτοβάθμιας εξίσωσης.

Οι «μονομαχίες» Δύο ανταγωνιστές υποψήφιοι: Παρουσίαζαν ο ένας στον άλλον έναν κατάλογο προβλημάτων. Όταν ένας καθηγητής ανακάλυπτε κάτι νέο, ήταν προς όφελός του να το κρατά κρυφό. Ο καθένας παρουσίαζε στον άλλον τις λύσεις που βρήκε στα προβλήματα που του είχαν τεθεί.

Scipione Del Ferro Δε δημοσίευσε την πρόοδο του. Καθηγητής Μαθηματικών εργάστηκε στην επίλυση της κυβικής εξίσωσης. Δε δημοσίευσε την πρόοδο του. Πριν πεθάνει αποκαλύπτει τη λύση στον μαθητή του και στον διάδοχό του στο Πανεπιστήμιο.

Niccolo Fontana Tartaglia Φαίνεται πως γνώριζε την επίλυση της εξίσωσης. Κερδίζει τη μονομαχία με τον Fiore, αλλά αρνείται το έπαθλο. Αποκαλύπτει τη λύση στον Cardano.

Antonio Maria Fiore Μαθητής του Del Ferro. Δε δημοσιεύει τη λύση. Χάνει τη μονομαχία με τον Tartaglia.

Gerolamo Cardano Ζήτησε από τον Tartaglia να του δείξει τη λύση. Υποσχέθηκε να μην αποκαλύψει τη λύση. Τελικά εκδίδει βιβλίο με τη λύση.

Αποτελέσματα: Οι αρνητικοί αριθμοί γίνονται δεκτοί ως λύσεις προβλημάτων. Ανακάλυψη των μιγαδικών αριθμών από τον Rafael Bombelli. Λόγος: διαπίστωση ύπαρξης εξισώσεων με πραγματικές ρίζες, αλλά με αρνητική υπόρριζη ποσότητα. Δίλημμα: Κρατάμε τους τύπους ή όχι;

Οι Abel και Galois, η ζωή των οποίων αποτέλεσε έναν μεγάλο αγώνα, ανεξάρτητα εργαζόμενοι ο ένας από τον άλλο, δύο αιώνες μετά, έδωσαν απάντηση στο τι συμβαίνει με εξισώσεις μεγαλύτερου ή ίσου του πέμπτου βαθμού.

Ενδεικτικές πηγές: Katz, V. (Φεβρουάριος 2013) Ιστορία των Μαθηματικών. Κρήτη: Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης Μιχαηλίδης, Τ. (Σεπτέμβριος 2007) Μαθηματικά επίκαιρα. Αθήνα: ΠΟΛΙΣ Livio, M. (Σεπτέμβριος 2006) Η εξίσωση που δε μπορούσε να λύθει: Πως η μαθηματική ιδιοφυία ανακάλυψε τη γλώσσα της συμμετρίας. Αθήνα: Ενάλιος Σ.Ανδρεαδάκης, Β.Κατσαργύρης, Σ.Μέτης, Κ.Μπρουχούτας, Σ.Παπασταυρίδης, Γ.Πολύζος (Φεβρουάριος 2010) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ Μονεταρισμός. Ηλεκτρονική διεύθυνση: http://el.wikipedia.org/wiki [προσπελάστηκε: 14 Οκτωβρίου 2014]

Κρυπτογραφία Καρπαθιωτάκης Σπύρος Πουπάκης Αλέξανδρος Αργυρόπουλος Χρήστος Τάσσης Θοδωρής Νικολακέα Μελίνα

Κρυπτογραφία Ορισμός: Κρυπτογραφία είναι ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο που ασχολείται με τη μελέτη, την ανάπτυξη και τη χρήση τεχνικών κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης με σκοπό την απόκρυψη του περιεχομένου των μηνυμάτων. Εφαρμογές στην καθημερινή ζωή: Διαφύλαξη απορρήτου και κρυπτογράφηση Πιστοποίηση ταυτότητας και ψηφιακές υπογραφές

Είδη Κρυπτογραφίας Οι τρόποι κρυπτογράφησης είναι δυο : Συµµετρική Κρυπτογράφηση Μη Συµµετρική Κρυπτογράφηση ή Κρυπτογράφηση ∆ηµοσίου Κλειδιού

Τρόπος λειτουργίας συμμετρικής Περιλαμβάνει τους κρυπτογραφικούς αλγόριθμους στους οποίους χρησιμοποιείται το ίδιο κλειδί για την κρυπτογράφηση και την αποκρυπτογράφηση των δεδομένων. Ένας χρήστης έχει ένα κλειδί με το οποίο κρυπτογραφεί Plaintext και το μετατρέπει σε Ciphertext. Το ίδιο αυτό κλειδί δίνεται και στο δεύτερο χρήστη. Έτσι ο δεύτερος χρήστης μπορεί να αποκρυπτογραφήσει το κωδικοποιημένο μήνυμα.

Τρόποι λειτουργίας μη συμμετρικής Χρησιμοποιείται κλειδί για την κρυπτογραφηση και ένα διαφορετικό κλειδί για την αποκρυπτογράφηση Τα κλειδιά αυτά αποτελούν ένα μαθηματικά συνδεδεμένο ζεύγος κλειδιών Χρησιμοποιείται στις ψηφιακές υπογραφές

Η ιστορία Διακρίνεται σε τρείς χρονικές περιόδους: Πρώτη Περίοδος Κρυπτογραφίας (1900 π.Χ. – 1900 μ.Χ.) Δεύτερη Περίοδος Κρυπτογραφίας (1900 μ.Χ. – 1950 μ.Χ.) Τρίτη Περίοδος Κρυπτογραφίας (1950 μ.Χ. - Σήμερα)

Πρώτη Περίοδος Ανάπτυξη μεγάλου πλήθους μεθόδων και αλγορίθμων κρυπτογράφησης, που βασίζονταν κυρίως σε απλές αντικαταστάσεις γραμμάτων. 1500 π.Χ. οι πολιτισμοί που αναπτύχθηκαν στη Μεσοποταμία ασχολήθηκαν με την κρυπτογραφία 5ο π.Χ. αιώνα εφεύρεση της «σκυτάλης», την πρώτη κρυπτογραφική συσκευή, στην οποία χρησιμοποίησαν για την κρυπτογράφηση τη μέθοδο της μετάθεσης. Στασιμότητα κατά τον Μεσαίωνα Το 1563, δημοσίευσε το περίφημο για την κρυπτολογία βιβλίο «De furtivis literarum notis»

Δεύτερη Περίοδος Από τις αρχές του 20ου αιώνα και μέχρι το 1950 που η κρυπτογραφία γίνεται πιο πολύπλοκη, και αποτελείται από μηχανικές και ηλεκτρομηχανικές κατασκευές, οι οποίες ονομάζονται «κρυπτομηχανές» Οι Γερμανοί έκαναν εκτενή χρήση ενός συστήματος γνωστού ως μηχανή Αίνιγμα, που χρησιμοποιήθηκε ευρέως στη Γερμανία. Ο Marian Rejewski, στην Πολωνία, προσπάθησε και, τελικά, παραβίασε την πρώτη μορφή του γερμανικού στρατιωτικού συστήματος Enigma χρησιμοποιώντας θεωρητικά μαθηματικά το 1932. Ήταν η μεγαλύτερη ανακάλυψη στην κρυπτολογική ανάλυση της εποχής.

Ύστερα, ο γερμανικός στρατός έκανε ορισμένες σημαντικές αλλαγές και οι Πολωνοί δεν μπόρεσαν να τις παρακολουθήσουν. Το νέο αυτό σύστημα παραβιάστηκε με την συνεργασία Άγγλων και Γάλλων 1940 Βρετανοί και Ολλανδοί έσπασαν αρκετά κρυπτοσυστήματα του Ιαπωνικού Ναυτικού

Τρίτη Περίοδος Το 1949 δημοσίευσε ο Claude Shannon το έγγραφο «Θεωρία επικοινωνίας των συστημάτων μυστικότητας» τη δεκαετία του '70 έγιναν δύο σημαντικές δημόσιες (δηλ. μη-μυστικές) πρόοδοι. Πρώτα ήταν η δημοσίευση του σχεδίου προτύπου κρυπτογράφησης DES (Data Encryption Standard) στον ομοσπονδιακό κατάλογο της Αμερικής στις 17 Μαρτίου 1975. Η δεύτερη ήταν η αντικατάσταση της από τον AES το 2001