William George Horner Γεννήθηκε στο Bristol της Αγγλίας το 1786 Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Γεννήθηκε στο Bristol της Αγγλίας το 1786 Πέθανε στο Bath της Αγγλίας το 1837 William George Horner

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Βιογραφία Γενικά. O Horner γεννήθηκε στο Bristol της Αγγλίας το 1786. Ο Horner έγινε γνωστός κυρίως για τη μέθοδο που χρησιμοποίησε για να λύσει αλγεβρικές εξισώσεις. Μέθοδος που ήταν ήδη γνωστή και η πατρότητα της αμφισβητήθηκε έντονα. Πέθανε στο Bath το 1837. Η ζωή του Ο πατέρας του William George Horner, ονομαζόταν και αυτός William Horner, και κατάγονταν από την Ιρλανδία. Από το 1770 ταξίδευε σε διάφορα μέρη του κόσμου κάνοντας κήρυγμα. Ο John Wesley, ο ιδρυτής του μεθοδισμού, ενθάρρυνε τον πατέρα William Horner να έρθει στην Αγγλία και να πάρει μέρος στην κοινωνία του μεθοδισμού σαν ένας υπουργός. Αυτόν τον καιρό οι μεθοδιστές είναι μέλη της εκκλησίας της Αγγλίας, σχέση που διακόπηκε αργότερα το 1795.

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Βιογραφία Ο William Ηorner ο μικρότερος, είχε μορφωθεί στο σχολείο Κingwood του Bristol. Στην σχεδόν απίστευτη ηλικία των δεκατεσσάρων ετών έγινε βοηθός καθηγητού στο σχολείο του Κingwood (το 1800). Τέσσερα χρόνια αργότερα κατέλαβε την θέση του διευθυντού. Στην συνέχεια το 1809 άφησε το Bristol και ίδρυσε τη δική του σχολή «Τhe seminary» (Η ιερατική σχολή) στην οδό Governor 27, στο Bath. Ούτε η ημερομηνία του γάμου του, ούτε το όνομα της γυναίκας του, μας είναι γνωστά, αλλά είναι γνωστό ότι είχαν παιδιά. Το 1837, ο Horner πέθανε από ένα ατύχημα στο σπίτι του στο Βath. Τότε ένας από τους γιους του, επίσης ονομαζόμενος William, συνέχιζε να διευθύνει την σχολή που είχε ιδρύσει.

Πρόβλημα της πεταλούδας Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Πρόβλημα της πεταλούδας Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Horner έδωσε μια λύση στο πρόβλημα της “πεταλούδας” το οποίο εμφανίστηκε στην κύρια ατζέντα για το 1815. Το πρόβλημα είναι το ακόλουθο: «Έστω Μ μέσο μιας χορδής ενός κύκλου, από το οποίο διέρχονται δυο άλλες χορδές ΑΒ και CD. Αν η ΑΒ τέμνει PQ στο X και η BC τέμνει την PQ στο Y. Να αποδειχτεί ότι το Μ είναι επίσης μέσο του ΧΥ». Από σχήμα καταλαβαίνουμε από που πήρε το όνομα του. Δόθηκαν αρκετές ενδιαφέρουσες λύσεις. Τελικά ο Ηorner δημοσίευσε την λύση στο Natural magic, a familiar exposition of a forgotten fact in optics (1832).

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Zoetrope Επίσης το 1834 ο Horner κατοχυρώνει με πατέντα το «Daedatelum»(τροχός του διαβόλου) ή «Zoetrope» (γύρισμα της ζωής), εξελίσσοντας το φαινακιτοσκόπειο του Dr. Joseph Plateau. Το Zoetrope είναι ήταν κυλινδρικό παιχνίδι γύρω από το οποίο κάποιος μπορεί να δει μια εικόνα να κινείται. Το κινούμενο τύμπανο έχει τρύπες στην επιφάνεια του σε ίσες αποστάσεις και μια σειρά από ακίνητες εικόνες που υπάρχουν εσωτερικό δείχνουν μια φιγούρα σε βαθμιαία στάδια μιας κίνησης. Όπως το τύμπανο γυρίζει (γρηγορότερα από 12 εικόνες το δευτερόλεπτο), τα μαύρα πλαίσια των ακίνητων εικόνων εξαφανίζονται και η φιγούρα φαίνεται σαν να κινείται.

Περιγραφή του αλγόριθμου Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Περιγραφή του αλγόριθμου Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την δουλειά του Horner στον ομώνυμο αλγόριθμο Δίνεται το πολυώνυμο Όπου αο,…αn είναι πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους επιθυμούμε να εκτιμήσουμε σε μια τιμή του x. Έστω x0. Για να το πετύχουμε θα ορίσουμε μια καινούρια σειρά σταθερών όπως δείχνουμε παρακάτω: Στην συνέχεια είναι η τιμή του

Περιγραφή του αλγόριθμου Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Περιγραφή του αλγόριθμου Για να δούμε πως δουλεύει, ας παρατηρήσουμε ότι το πολυώνυμο μπορεί να γραφεί στην μορφή Έτσι επαναλαμβάνοντας συνέχεια αντικαταστάσεις του bi στην παράσταση έχω:

Περιγραφή του αλγόριθμου Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Περιγραφή του αλγόριθμου To σχήμα Horner συχνά χρησιμοποιείται στην μετατροπή διαφορετικών αριθμητικών συστημάτων θέσης.. Στην περίπτωση αυτή το χ αποτελεί την βάση του αριθμητικού συστήματος και οι συντελεστές αi ψηφία της αναπαράστασης του αριθμού στην βάση-χ . Κυρίως όμως χρησιμοποιούμε το σχήμα Horner σαν ένα γρήγορο αλγόριθμο για την διαίρεση πολυωνύμου με γραμμικό πολυώνυμο (μέθοδος που ανέπτυξε ο Ruffini).

Παράδειγμα Έστω το πολυώνυμο και το Ας διαιρέσουμε το με το Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Παράδειγμα Έστω το πολυώνυμο και το Ας διαιρέσουμε το με το χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα σύνθετο διάγραμμα για να κάνουμε την διαδικασία ευκολότερη 2 4 -6 0 3 -5 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 - 4 Η απάντηση είναι

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Παράδειγμα Έστω το πολυώνυμο και το Ας διαιρέσουμε το P(x) με το Q(x) χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner 2 3 0 -4 -1 -2 -1 1 2 1 -1 - 3 Η απάντηση είναι : Για μεγαλύτερη εξάσκηση με το σχήμα Horner πιέστε εδώ. (Αρχεία Ηorner1.htm και Horner2.htm)

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Πατρότητα της μεθόδου Ο Horner -όπως ήδη έχουμε πει - είναι γνωστός κυρίως για τη μέθοδο που χρησιμοποίησε για να λύσει αλγεβρικές εξισώσεις. Η μέθοδος αποδόθηκε στον Horner κυρίως από Augustus De Morgan. Ο Horner την δημοσίευσε σε άρθρο στο περιοδικό Philosophical Transactions of the Royal Society of London το 1819. Όμως ο Fuller ισχυρίζεται ότι το άρθρο δεν περιέχει την μέθοδο αν και ένα τεύχος που επανακυκλοφόρησε το 1930 την περιείχε. Ο Fuller ισχυρίζεται ότι η μέθοδος δημοσιεύτηκε πρώτα από ένα ωρολογοποιό τον Theophilus Holdred το 1820. Ο Fuller αναφέρει χαρακτηριστικά για τον Horner ότι: «Σαν άντρας μπορούσε εύκολα πρώτος να πείσει τον εαυτό του ότι μια αντίπαλη μέθοδος δε θα ήταν εκπληκτικά διαφορετική από την δική του, και βαθμιαία, να καταλήξει να πιστεύει ότι την ανακαλύψει ο ίδιος».

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Πατρότητα της μεθόδου Η συζήτηση για την πατρότητα της μεθόδου επανήλθε στο προσκήνιο τον 19ο αιώνα. Ο Paolo Ruffini κέρδισε το χρυσό βραβείο της Ιταλικής Μαθηματικής Κοινότητας για την συνεισφορά στην βελτίωση της λύσης των εξισώσεων και διεκδίκησε με την σειρά του την πατρότητα της μεθόδου. Ακόμα κι εάν τελικά ο αλγόριθμος ονομάστηκε William George Horner, ο οποίος το περιέγραψε το 1819, η μέθοδος ήταν ήδη γνωστή στον Isaac Newton to 1669, και ακόμη νωρίτερα στον κινέζο μαθηματικό Τσου σι-τσιε (άκμασε το 1280-1303) καθώς και σε τρεις ακόμη κινέζους μαθηματικούς που την χρησιμοποίησαν. Aς δούμε για λίγο το έργο των προγενέστερων μαθηματικών που χρησιμοποίησαν παρόμοιες μεθόδους με αυτή του Horner.  

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Μέθοδος Newton Στη Μέθοδο των Ρυθμών Μεταβολής, καθώς και οτη De analysi συναντάμε τη "μέθοδο του Newton" για την προσεγγιστική λύση εξισώσεων. Αν η εξίσωση που θέλουμε να λύσουμε είναι η f(x) = Ο τότε, πρώτα, εντοπίζουμε την επιθυμητή λύση ανάμεσα σε δύο τιμές χ = α1 και χ = b1, τέτοιες ώστε στο διάστημα (α1, b1) δεν εξαφανίζεται ούτε η πρώτη ούτε η δεύτερη παράγωγος ενώ ταυτόχρονα υπάρχουν και οι δύο. Τότε, για μια από τις τιμές, έστω για χ = α1,οι f(x) και f"(x) θα έχουν το ίδιο πρόσημο. Σ' αυτήν την περίπτωση, η τιμή χ = α2 θα είναι καλύτερη προσέγγιση αν

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Μέθοδος Newton Η διαδικασία αυτή μπορεί να εφαρμοσθεί όσες φορές θέλουμε ή έως ότου έχουμε μια προσέγγιση, της οποίας η ακρίβεια μας ικανοποιεί. Αν η f(x)είναι της μορφής χ2 -α2, οι διαδοχικές προσεγγίσεις στη μέθοδο του Newton είναι ίδιες με αυτές που συναντάμε στον παλαιό βαβυλωνιακό αλγόριθμο για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας. Γι αυτό, μερικές φορές, αυτή η αρχαία διαδικασία ονομάζεται "αλγόριθμος του Newton". Αν η f(x) είναι πολυώνυμο, η μέθοδος του Newton είναι, στην ουσία, ίδια με την κινεζοαραβική μέθοδο που φέρει το όνομα του Horner. Το μεγάλο, όμως, πλεονέκτημα της Νευτώνειας μεθόδου είναι ότι μπορεί να εφαρμοσθεί εξίσου καλά και σε εξισώσεις που περιέχουν υπερβατικές εξισώσεις.

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Τσου Σι-τσιε Ο Τσου Σι-τσιε ήταν κάτοικος της Γιεν-σαν κοντά στο σύγχρονο Πεκίνο αλλά φαίνεται ότι έζησε περίπου είκοσι περίπου χρόνια ως περιπλανώμενος δάσκαλος βγάζοντας τα προς το ζην παραδίδοντας μαθήματα. Είχε όμως και την ευκαιρία να γράψει δυο μελέτες.Η πρώτη από αυτές γράφτηκε το 1299 και είχε τίτλο Σουαν-χουσε τα’ι-μενγκ(εισαγωγή στις μαθηματικές σπουδές). Επρόκειτο για ένα σχετικά απλό έργο που επηρέασε ιδιαίτερα την Κορέα και την Ιαπωνία. Στην Κίνα είχε χαθεί έως ότου ξαναβρέθηκε τον 19ο αιώνα. Μεγαλύτερο ιστορικό και μαθηματικό ενδιαφέρον παρουσιάζει το Σουγιουαν γιου-τσιεν (αυτό σημαίνει Πολύτιμος Καθρέπτης των Τεσσάρων Στοιχείων) που γράφτηκε το 1303.

Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Τσου Σι-τσιε Το 18ο αιώνα εξαφανίστηκε και αυτό στην Κίνα αλλά το ξαναβρήκαν τον επόμενο αιώνα. Τα τέσσερα στοιχεία, που ονομάζονται ουρανός, γη, άνθρωπος και ύλη παριστάνουν τέσσερις γνωστές ποσότητες στην ίδια εξίσωση. Το βιβλίο αυτό παρουσιάζει το ζενίθ της ανάπτυξης της κινέζικης άλγεβρας διότι ασχολείται με συστήματα εξισώσεων και με εξισώσεις έως και 14ου βαθμού. Ο συγγραφέας περιγράφει μια μέθοδο μετασχηματισμού την οποία ονομάζει φαν φα, τα στοιχεία της οποίας φαίνεται ότι είχαν εμφανιστεί, από παλιά στην Κίνα. Σήμερα, ονομάζουμε τη μέθοδο αυτή σχήμα Homer, μολονότι ο Homer έζησε μισή χιλιετηρίδα αργότερα.

Τσου Σι-τσιε Για παράδειγμα, o Τσου Σι-τσίε, για να λύσει την εξίσωση Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Τσου Σι-τσιε Για παράδειγμα, o Τσου Σι-τσίε, για να λύσει την εξίσωση χ2 + 252χ – 5292=0, έβρισκε πρώτα την προσεγγιστική τιμή χ = 19 (μια ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο χ = 19 και το χ = 20), στη συνέχεια χρησιμοποιούσε τη φαν φα, δηλαδή, εδώ το μετασχηματισμό y = χ-19 και κατέληγε στην εξίσωση y2 + 290y -143 = Ο (με μια ρίζα ανάμεσα στο y = 0 και y = 1). Κατόπιν, έδινε την τιμή (προσεγγιστικά) του y = 143/(1+ 290) κατά συνέπεια, η αντίστοιχη τιμή του χ είναι 19 143/291. Σε ορισμένες περιπτώσεις βρήκε δεκαδικές προσεγγίσεις.

Τρεις κινέζοι μαθηματικοί Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Τρεις κινέζοι μαθηματικοί Η αποκαλούμενη μέθοδος του Horner χρησιμοποιούνταν πολύ στην Κίνα. Τουλάχιστον άλλοι τρεις μαθηματικοί του τέλους της περιόδου των Σουνγκ χρησιμοποιούσαν παρόμοια σχήματα. Ένας απ’αυτούς ήταν ο Λι Τσι (ή Λι Γιε, 1192-1979), μαθηματικός από το Πεκίνο. Το έργο του Τσ’ ε-γιουαν χαι-τσινγκ (Θαλάσσιος Καθρέπτης των Μετρήσεων του κύκλου) περιλαμβάνει 170 προβλήματα που αναφέρονται σε κύκλους εγγεγραμμένους ή παρεγγεγραμμένους σε ορθογώνια τρίγωνα και στον καθορισμό των σχέσεων ανάμεσα στις πλευρές και τις ακτίνες. Ορισμένα από αυτά τα προβλήματα οδηγούν σε εξισώσεις 4ου βαθμού.

Τρεις κινέζοι μαθηματικοί Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Τρεις κινέζοι μαθηματικοί Άλλοι, που επίσης, χρησιμοποιούσαν το σχήμα Horner ήταν οι Τσ’ ιν Τασιού-σαο (περίπου 1202-1261) και Γιανγκ Χουι (άκμασε γύρω στα 1261-1275). Ο Τσ’ ιν Τασιού-σαο ήταν ένας διοικητής χωρίς αρχές που απέκτησε τεράστια περιούσια μέσα σε 100 μέρες από την ανάληψη της θέσης του. Το έργο του Σου-σου τσιου-τσανγκ (μαθηματική μελέτη σε εννέα τμήματα), είναι το ύστατο σημείο της κινέζικης απροσδιόριστης ανάλυσης, παρουσιάζοντας μεθόδους επίλυσης συστημάτων.

Τρεις κινέζοι μαθηματικοί Γυμνάσιο Λευκάρων 1o ΕΠΑ.Λ.- Τ.Ε.Ε. Μουζακίου Τρεις κινέζοι μαθηματικοί Το ίδιο σχήμα ΄΄Horner΄΄χρησιμοποίησε και ο Γιανγκ χουι για του οποίου τη ζωή δεν γνωρίζουμε απολύτως τίποτα και του οποίου το έργο έχει διασωθεί μόνο εν μέρη. Ανάμεσα στις διασωζομενες συνεισφορές του συγκαταλέγονται τα πρώτα κινέζικα μαγικά τετράγωνα, τάξης μεγαλύτερης της τρίτης, συμπεριλαμβανόμενων 14 τετράγωνων τάξης δυο έως οκτώ και 2 τετράγωνων τάξης εννέα και δέκα.