Διδακτική Μαθηματικών Ι Μάθημα 8ο Ρεαλιστικά Μαθηματικά 9 Μαΐου 2014

Ρεαλιστικά Μαθηματικά Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι κοντά στα παιδιά και να αφορούν καθημερινές για αυτά καταστάσεις. Ο όρος «ρεαλιστικά» δεν αναφέρεται αποκλειστικά σε πραγματικές καταστάσεις, αλλά μπορεί να αφορά και οτιδήποτε είναι «πραγματικό» για τα παιδιά. Τα Μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα παιδιά πρέπει να εμπλακούν σε μια καθοδηγούμενη ανακάλυψη.

Μη πλαισιωμένο πρόβλημα Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 21, 14 και 16. Πρόκειται για ορθογώνιο τρίγωνο; With Level 2problems, we limit the amount of information presented so that the text or visuals do not guide the student in a particular direction in solving the problem. To elicit this level of reasoning, we expect students will infer the knowledge, tools and/or procedures they will need to use to provide an acceptable response from the problem text. This means for instance that we do not tell students, “Use the tangent to calculate the slope” or “Solve this problem using the Pythagorian Theorem”. We want them to choose their own mathematical tools. This implies that for most of the problems there is more than one possible correct answer. 212 142 + 162, 441 196 + 256 if the triangle is a right triangle, the sine of one sharp angle is 14/21 and the angle is 41.8 degrees. The sine of the other sharp angle is 16/21 for an angle of 49.6 degrees. But these two do not add to exactly 90 degrees. 212 = 142 + 162 – 2 .14 .16xcos, 448x cos = 441; cos =441/448 cos  1   Age: 14, 15 Level 2

Ρεαλιστικό πρόβλημα Η εικόνα δείχνει δύο γειτονικά σπίτια, τα οποία μοιράζονται την πίσω αυλή τους. Οι γείτονες θέλουν να χτίσουν ένα φράχτη που να χωρίζει την αυλή στη μέση. Στην εικόνα φαίνονται οι μετρήσεις που έκαναν. Για παράδειγμα, το μήκος του φράχτη θα είναι 8 μέτρα. Ο φράχτης θα πρέπει να είναι κάθετος στον τοίχο των σπιτιών. Ισχύει αυτό σύμφωνα με τις μετρήσεις που βλέπετε; 82 + 32 = 73 73 = 8,5440… Το ίδιο πρόβλημα, αλλά εντός πλαισίου. Answer: The angle is right (90 degrees). 82 + 32 = 73 73  8.5, which is indeed the length that was measured. Note: If a student concludes the angle is not a right one since 73 = 8.5440… which is over 8.5, he will receive partial credit. A student should be aware that in this (realistic) situation you cannot have measurements with four decimals or more. In the drawing only one decimal is shown, 8.5 metres equals 8 metres and 50 centimetres. This means the accuracy does not go beyond 10 centimetres. The same accuracy should hold for the answers.   Age: 14, 15 Level 2

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση μοντέλων: από το «μοντέλο του» στο «μοντέλο για» Καθοδηγούν την ανακάλυψη και περιγράφουν την έννοια ή τη μαθηματική δομή που προκύπτει κατά τη διαδικασία μαθηματικοποίησης. Το μοντέλο εξελίσσεται από «μοντέλο της» άτυπης μαθηματικής δραστηριότητας των μαθητών, σε «μοντέλο για» τον τυπικό μαθηματικό συλλογισμό. Παράδειγμα: η άδεια αριθμογραμμή που χρησιμοποιείται για να καταγράψει μια συγκεκριμένη δραστηριότητα απαρίθμησης (model of) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αφηρημένη πράξη της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης.

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Τι μπορεί να είναι ένα μοντέλο; χειραπτικά υλικά εικόνες διαγράμματα άτυπα ή τυπικά σύμβολα μαθηματικές σχέσεις άτυπες στρατηγικές (π.χ. η επαναλαμβανόμενη αφαίρεση ως στρατηγική για την πράξη της διαίρεσης).

Χρησιμότητα μοντελοποίησης Βασικός στόχος της διδασκαλίας των Μαθηματικών: να μπορούν οι μαθητές να κατανοήσουν και να ερμηνεύσουν τον κόσμο. Η αντιμετώπιση των σύγχρονων προβλημάτων απαιτεί: ευέλικτη εφαρμογή μιας καλά οργανωμένης βάσης γνώσεων στρατηγικές αναζήτησης για την ανάλυση και το μετασχηματισμό του εκάστοτε προβλήματος μεταγνωστικές δεξιότητες.

Δεξιότητες μοντελοποίησης Ευέλικτη εφαρμογή μιας καλά οργανωμένης βάσης γνώσεων: Τα πραγματικά προβλήματα διατυπώνονται σε ένα πλαίσιο διαφορετικό από εκείνο στο οποίο αποκτήθηκε η απαιτούμενη για την επίλυσή τους γνώση: οι μαθητές πρέπει λοιπόν να είναι ικανοί να μεταφέρουν τη γνώση και τις δεξιότητες που έμαθαν στο σχολείο σε νέες καταστάσεις. Στην εκπαίδευση εκείνο που έχει σημασία δεν είναι οι βραχυπρόθεσμοι μαθησιακοί στόχοι, αλλά η ενσωμάτωση της γνώσης και των δεξιοτήτων που αποκτώνται σε κάθε στάδιο της εκπαίδευσης με τους γενικότερους στόχους, και η προσαρμογή στις μεταβαλλόμενες περιστάσεις.

Δεξιότητες μοντελοποίησης Συστηματικές στρατηγικές αναζήτησης για την ανάλυση και το μετασχηματισμό του εκάστοτε προβλήματος: Υπάρχουν τεράστια ποσά πληροφοριών (π.χ. διαδίκτυο). Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε δεν είναι η εύρεση, αλλά η: επιλογή, διαχείριση οργάνωση της διαθέσιμης πληροφορίας σύμφωνα με συγκεκριμένα κριτήρια.

Δεξιότητες μοντελοποίησης Μεταγνωστικές δεξιότητες: οι γρήγορες αλλαγές στην εργασία και την κοινωνία, η ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας καθιστούν αδύνατο να διδαχθούν τα πάντα στο σχολείο. Τα άτομα πρέπει να ενημερώνουν συνεχώς τις γνώσεις και δεξιότητές τους χωρίς την υποστήριξη από τους δασκάλους. Για να το πετύχουν αυτό, το σχολείο πρέπει να τους μάθει πώς να μαθαίνουν.

Μοντελοποίηση Είναι η έκφραση μιας (πραγματικής) κατάστασης μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου. Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια αναπαράσταση (αντικειμένων, σχέσεων και κανόνων) μιας κατάστασης ή ενός προβλήματος. Μπορεί να είναι: μια εικόνα ένα γράφημα ένα λογιστικό φύλλο ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων. Τα μοντέλα απεικονίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά γνωρίσματα ενός προβλήματος και τα παρουσιάζουν σε μια μορφή που είναι εύκολο να ερμηνευθεί.

Παραδείγματα μοντέλων Αριθμοί (αρχικά ως σημάδια σε κόκκαλα - 30.000 π.Χ.) Αρχιτεκτονική Από το 2.000 π.Χ. τουλάχιστον τρεις πολιτισμοί (Βαβυλώνα, Αίγυπτος, Ινδία) χρησιμοποίησαν μαθηματικά μοντέλα για να βελτιώσουν την καθημερινή ζωή τους. Θαλής ο Μιλήσιος (600 π.Χ): προέβλεψε την ηλιακή έκλειψη το 585 π.Χ. επινόησε μια μέθοδο για να μετρά τα ύψη με τη μέτρηση των μηκών των σκιών τους. Διόφαντος ο Αλεξανδρινός (250 μ.Χ): ανέπτυξε τις αρχές της Άλγεβρας βασισμένες στο συμβολισμό και την έννοια της μεταβλητής.

Παραδείγματα μοντέλων Μαθηματικά μοντέλα του ηλιακού συστήματος για την πρόβλεψη της κίνησης του ήλιου, της σελήνης και των πλανητών. Fibonacci (1170-1240): συνειδητοποίησε το πρακτικό πλεονέκτημα των ινδικών αριθμών έναντι των ρωμαϊκών αριθμών, οι όποιοι ήταν ακόμα σε χρήση στη δυτική και κεντρική Ευρώπη εκείνη την περίοδο . έφερε στην Ευρώπη τον αριθμό μηδέν, ένα αφηρημένο μοντέλο του τίποτα.

Παραδείγματα μοντέλων Πώς υπολόγισε ο Θαλής το ύψος της πυραμίδας στην Αίγυπτο ή την απόσταση ενός πλοίου στη θάλασσα; Πώς ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περιφέρεια της γης; Ποιος θα είναι ο πληθυσμός της Κίνας το 2050; Τι καιρό θα κάνει αύριο;

Υπολογισμός του ύψους της πυραμίδας

Υπολογισμός του ύψους της πυραμίδας

Υπολογισμός της περιφέρειας της γης

Υπολογισμός της περιφέρειας της γης γωνία θ=7,2ο  τόξο S=805 km γωνία 360ο  τόξο x (περιφέρεια Γης)

Διαδικασία μοντελοποίησης Ρεαλιστικό πρόβλημα ερμηνεία απλοποίηση Μαθηματικό αποτέλεσμα Ρεαλιστικό μοντέλο υπολογισμοί αφαίρεση Μαθηματικό μοντέλο

Διαδικασία μοντελοποίησης πραγματικό πρόβλημα επιστημονικό μοντέλο μαθηματικό μοντέλο F =Wsin θ R=Wcos θ

Πισίνες Τα σχέδια δείχνουν διάφορες τετραγωνικές πισίνες, οι οποίες περικλείονται από μία σειρά από λευκές πλάκες. α=1  π=8 α=2  π=12 α=3  π=16 Από πόσες πλάκες θα περικλείεται η πισίνα με διαστάσεις 20×20; Βρείτε ένα μοντέλο που να παρέχει τον αριθμό των λευκών πλακών σε σχέση με τις διαστάσεις της πισίνας.

Μοντελοποίηση

Μοντελοποίηση Βρείτε και καταγράψτε τον αριθμό των σπίρτων που απαιτούνται για να φτιάξετε τα δυο πρώτα τετράγωνα. Πόσα σπίρτα χρειάζεστε για τα τετράγωνα 8 × 8 και 21 × 21; Πώς θα ελέγχατε την πρόβλεψή σας; Γράψτε έναν κανόνα για να περιγραφεί ο αριθμός των σπίρτων που απαιτούνται για να χτίσετε ένα τετράγωνο με διαστάσεις ν × ν, για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό ν.

Μοντελοποίηση 1 2 3 4 4 12 24 40

Μοντελοποίηση 1 2 3 4 4 12 24 40 1×4 2×6 3×8 4×10

Μοντελοποίηση 1 4 2 6 3 8 10 5 12 14

Μοντελοποίηση ν ? 1 4 2 6 3 8 10 5 12 14 Πώς προκύπτει το 4 από το 1; Πώς προκύπτει το 6 από το 2; … ν ? 1 4 2 6 3 8 10 5 12 14

Μοντελοποίηση ν ? 1 4 1+3 2 6 2+4 3 8 3+5 10 4+6 5 12 5+7 14 6+8

Μοντελοποίηση ν ν+? 1 4 1+3 2 6 2+4 3 8 3+5 10 4+6 5 12 5+7 14 6+8

Μοντελοποίηση ν ν+? ? 1 1+3 1+2 2 2+4 2+2 3 3+5 3+2 4 4+6 4+2 5 5+7 5+2 6 6+8 6+2

Μοντελοποίηση ν ν+? ? = ν+2 1 1+3 1+2 2 2+4 2+2 3 3+5 3+2 4 4+6 4+2 5 5+7 5+2 6 6+8 6+2

Μοντελοποίηση ν ? 1 4 2 6 3 8 10 5 12 14

Μοντελοποίηση ν ? 1 4 1+(1+2) 2 6 2+(2+2) 3 8 3+(3+2) 10 4+(4+2) 5 12 5+(5+2) 14 6+(6+2)

Μοντελοποίηση ν ? ν+(ν+2) 1 4 1+(1+2) 2 6 2+(2+2) 3 8 3+(3+2) 10 4+(4+2) 5 12 5+(5+2) 14 6+(6+2)

Μοντελοποίηση ν×[ν+(ν+2)] = ν×(2ν+2) = 2ν2 + 2ν

Αναβολή μαθήματος Το μάθημα της Παρασκευής 16 Μαΐου δεν θα πραγματοποιηθεί λόγω απουσίας μου στα πλαίσια του προγράμματος Erasmus.

Μοντελοποίηση (PISA)

Μοντελοποίηση (PISA) Χρησιμοποιήστε την κλίμακα του χάρτη και υπολογίστε κατά προσέγγιση το εμβαδόν της Ανταρκτικής. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις υποδηλώνει - κατά προσέγγιση - την απόσταση μεταξύ του Νότιου Πόλου και του όρους Μένζι; (Χρησιμοποιήστε την κλίμακα του χάρτη, για να εκτιμήσετε την απόσταση.) Α. Η απόσταση είναι μεταξύ 1.600 km και 1.799 km. Β. Η απόσταση είναι μεταξύ 1.800 km και 1.999 km. Γ. Η απόσταση είναι μεταξύ 2.000 km και 2.099 km. Δ. Δεν μπορεί να προσδιοριστεί.

Μοντελοποίηση Κάποιος φίλος σας ισχυρίζεται ότι η έκταση της Ελλάδας είναι 40000 τετραγωνικά χιλιόμετρα. Θεωρείτε ότι αυτή είναι μια ικανοποιητική εκτίμηση; Δικαιολογήστε την άποψή σας.