Διδακτική Μαθηματικών Ι 23 Μαΐου 2014 Μάθημα 9 ο Πρόσθεση – αφαίρεση

Πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών Προϋποθέτει την κατανόηση του ότι μια συλλογή γίνεται μεγαλύτερη όταν προσθέτεις σε αυτήν αντικείμενα και μικρότερη όταν αφαιρείς από αυτήν αντικείμενα. ◦ τα παιδιά αντιλαμβάνονται διαισθητικά αυτή την ιδέα ◦ παιδιά 3 ετών απαντούν σε προβλήματα με αθροίσματα και διαφορές, όπως ή 2+1, ◦ παιδιά 4 ετών απαντούν για τα 1 + 2, 2 + 1, 3-1, 3-2 Αρχικά μετρούν τα αντικείμενα της πρώτης συλλογής, μετρούν τα αντικείμενα της δεύτερης συλλογής και μετά τα μετρούν από την αρχή όλα μαζί.

Αφαίρεση  αντίστροφη αρίθμηση ◦ 12 αντικείμενα σε ένα κουτί και ζητάμε να βγάλουν 3 και να µ ας πουν πόσα έμειναν, χωρίς να τα βλέπουν  12, 11, 10, έμειναν 9, µ ε ή χωρίς δάχτυλα. Έχει νόημα οι μαθητές να ασχοληθούν µ ε αφαιρέσεις, όταν μπορούν να χρησιμοποιούν την αρίθμηση από έναν αριθμό και πέρα στην πρόσθεση. Τις αφαιρέσεις µ ε μεγάλο αφαιρετέο συνήθως οι μαθητές τις αντιμετωπίζουν αρχικά προσθετικά : ◦ στο ερώτημα « έχω 13 βγάζω 8, πόσα μένουν ;» απαντούν, « αφού έχω βγάλει 8, τότε 9,10,11,12,13, µ ου έχουν μείνει 5». Πρόσθεση και αφαίρεση

Αντίστοιχα αντιμετωπίζουν και καταστάσεις µ ε άγνωστο προσθετέο ( π. χ. 8+;= 13). ◦ Η διδασκαλία της αφαίρεσης πρέπει να επιτρέπει στα παιδιά τη χρήση της παραπάνω στρατηγικής. Η χρήση της αφαίρεσης « προς τα πίσω » είναι πιο δύσκολη για τους μαθητές ◦ Στο 15 - ; = 8 να απαντούν 15,14,13,12,11,10,9, θέλω 7 Πρόσθεση και αφαίρεση

Επόμενο βήμα : ανάπτυξη στρατηγικών σκέψης για προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης, δηλαδή στήριξη σε γνωστά αθροίσματα ή διαφορές : ◦ τα διπλά αθροίσματα και το 10 είναι στηρίγματα των παιδιών. ◦ 6+ 7  6+6=12,6+7 µ ας κάνει 13, γιατί έχω ένα παραπάνω ◦ 8+5  8 και 2 µ ας κάνει 10 και 3 ακόμα, 13. Δεν πρέπει να αφιερώνεται χρόνος στην απομνημόνευση των βασικών αθροισμάτων και διαφορών, αλλά στην ανάπτυξη στρατηγικών σκέψης, οι οποίες επιτρέπουν την εύρεση σχέσεων μεταξύ των βασικών αθροισμάτων και διαφορών. Πρόσθεση και αφαίρεση

Το πλαίσιο του = Ο Ο Ο Ο Ο

Το πλαίσιο του = = Ο ΟΟ ΟΟ ΟΟ ΟΟ

Το πλαίσιο του = = = 9 Ο ΟΟ ΟΟ ΟΟ ΟΟ

Το πλαίσιο του = 8 + (2 + 3) = = 13 Προϋ π οθέσεις  γνώση των αθροισμάτων των αριθμών π ου μας κάνουν 10  ανάλυση ενός αριθμού σε δύο π ροσθετέους (π ροσθετική δομή αριθμού )  γνώση των αθροισμάτων 10+ ν Ο Ο Ο Ο Ο

Αριθμητική ράβδος

Λεκτικά προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης Αλλαγής : δυναμικές καταστάσεις, όπου ένα γεγονός αλλάζει την ποσότητα της αρχικής κατάστασης. ◦ Ο Νίκος έχει 3 βόλους. Ο Βασίλης του έδωσε 4 βόλους ακόμη. Πόσους βόλους έχει τώρα ο Νίκος ; Συνδυασμού : στατικές καταστάσεις, δηλαδή στατικές σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων. ◦ Η Μαρία έχει 3 κούκλες. Η Ελένη έχει 4 κούκλες. Πόσες κούκλες έχουν και οι δυο μαζί ; Σύγκρισης : καταστάσεις κατά τις οποίες μια ποσότητα συγκρίνεται με κάποια άλλη. ◦ Η Μαρία έχει 3 μολύβια. Η Μάρθα έχει 4 μολύβια περισσότερα από τη Μαρία. Πόσα μολύβια έχει η Μάρθα ; Εξισορρόπησης : δυναμικές καταστάσεις, που περιλαμβάνουν και συγκρίσεις. ◦ Σε µ ια ομάδα υπάρχουν 6 κορίτσια και 8 αγόρια. Πόσα κορίτσια πρέπει να µ πουν ακόμα στην ομάδα για να υπάρχουν τόσα κορίτσια όσα και αγόρια ;

Προβλήματα πρόσθεσης - αφαίρεσης ΚατηγορίαΠαράδειγμαΆγνωστηΕίδος ποσότηταμεταβολής Αλλαγής 1Ο Πέτρος είχε 3 µήλα,ΤελικήΑύξηση Η Άννα του έδωσε 5 µήλα ακόµα.(increase) Πόσα µήλα έχει τώρα ο Πέτρος; Αλλαγής 2Ο Πέτρος είχε 8 µήλα,ΤελικήΜείωση Έδωσε 3 µήλα στην Άννα,(decrease) Πόσα µήλα έχει τώρα ο Πέτρος; Αλλαγής 3Ο Πέτρος έχει 3 µήλα, ΠόσαΠοσότηταΑύξηση ακόµα µήλα πρέπει να πάρει απόαλλαγής(increase) την Άννα για να έχει 8 µήλα; Αλλαγής 4Ο Πέτρος έχει 8 µήλα, ΠόσαΠοσότηταΜείωση µήλα πρέπει να δώσει στην Άννααλλαγής(decrease) για να έχει 3 µήλα; Αλλαγής 5Ο Πέτρος είχε µερικά µήλα,ΑρχικήΑύξηση Η Άννα του έδωσε 3 µήλα ακόµα,(increase) Τώρα ο Πέτρος έχει 8 µήλα, Πόσα µήλα είχε στην αρχή; Αλλαγής 6Ο Πέτρος είχε µερικά µήλα,ΑρχικήΜ.είωση Έδωσε 3 µήλα στην Άννα,(decrease) Τώρα ο Πέτρος έχει 5 µήλα, Πόσα µήλα είχε στην αρχή;

Συνδυασμού 1Ο Πέτρος έχει 3 µήλα, Η ΆνναΤελική- έχει 5 µήλα, Πόσα µήλα έχουν και οι δύο µαζί; Συνδυασµού 2Ο Πέτρος και η Άννα έχουν µαζίΥποσύνολο- 8 µήλα, Ο Πέτρος, έχει 3 µήλα, Πόσα µήλα έχει η Άννα;. Σύγκρισης 1Ο Πέτρος έχει 8 µήλα, Η ΆνναΔιαφοράΠερισσότερο έχει 3 µήλα, Πόσα περισσότερα(more) µήλα έχει ο Πέτρος από την Άννα; Σύγκρισης 2Ο Πέτρος έχει 8 µήλα, Η ΆνναΔιαφοράΛιγότερο έχει 3 µήλα, Πόσα λιγότερα µήλα(Iess) έχει η Άννα από τον Πέτρο; Σύγκρισης 3Ο Πέτρος έχει 3 µήλα, Η ΆνναΠοσότηταΠερισσότερο έχει 5 µήλα περισσότερα από τονσύγκρισης(more) Πέτρο, Πόσα µήλα έχει η Άννα; Σύγκρισης 4Ο Πέτρος έχει 8 µήλα, Η ΆνναΠοσότηταΛιγότερο έχει 3 µήλα λιγότερα από τονσύγκρισης(Iess) Πέτρο, Πόσα µήλα έχει η Άννα; Προβλήματα πρόσθεσης - αφαίρεσης

Σύγκρισης 5Ο Πέτρος έχει 8 µήλα. Έχει 3ΠοσότηταΠερισσόττερο µήλα περισσότερα από την Άννα.αναφοράς(more) Πόσα µήλα έχει η Άννα; Σύγκρισης 6Ο Πέτρος έχει 5 µήλα. Έχει 3ΠοσότηταΛιγότερο µήλα λιγότερα από την Άννα.αναφοράς(less) Πόσα µήλα έχει η Άννα; Προβλήματα πρόσθεσης - αφαίρεσης

Προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης Πιο απλά είναι τα προβλήματα : ◦ συνδυασμού µ ε άγνωστη την τελική ποσότητα ◦ αλλαγής πρόσθεσης και αφαίρεσης µ ε άγνωστη την τελική ποσότητα. Πιο δύσκολα είναι τα προβλήματα : ◦ συνδυασμού ή αλλαγής µ ε ελλείποντα προσθετέο ( όταν άγνωστη είναι η ποσότητα της αλλαγής ).

Προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης Αρκετά παιδιά δεν διαβάζουν το πρόβλημα και απλώς, απομονώνοντας τους αριθμούς, εκτελούν την πιο πρόσφατη πράξη που είχαν μάθει στο σχολείο ή αυτήν που θεωρούν ότι ξέρουν καλύτερα ( π. χ. πρόσθεση ). Στηρίζονται σε µ ια λέξη - κλειδί του προβλήματος την οποία έχουν συνδέσει µ ε µ ια συγκεκριμένη πράξη ◦ π. χ. περισσότερο - πρόσθεση, λιγότερο ­ αφαίρεση, χάνω - αφαίρεση Επηρεάζονται από το μέγεθος των αριθμών που υπάρχουν στο πρόβλημα ◦ Εάν οι αριθμοί είναι σαν το 78 και 54, τότε µ άλλον προσθέτω ή πολλαπλασιάζω. Αλλά εάν είναι 78 και 3 µ άλλον θα κάνω διαίρεση.

Προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης Η κατασκευή προβλημάτων από τα ίδια τα παιδιά δίνει την ευκαιρία να κατανοήσουν : ◦ τις μαθηματικές έννοιες που προσεγγίζουν ◦ τη δομή ενός προβλήματος Σημασία έχει και ο τρόπος αναπαράστασης των ποσοτήτων του προβλήματος και των σχέσεων μεταξύ τους, η οποία αφορά : ◦ χειρισμό αντικειμένων ◦ σχεδιασμό του συλλογισμού στο χαρτί ◦ αριθμητική πρόταση

Η αριθμογραμμή

Η άδεια αριθμογραμμή Αρχικά : μοντέλο μιας συγκεκριμένης κατάστασης που περιγράφεται από ένα πρόβλημα. Τελικά : μοντέλο για την υποστήριξη του μαθηματικού συλλογισμού σχετικά με μια αριθμητική πράξη.  οι μαθητές εστιάζουν στις αριθμητικές σχέσεις μεταξύ των αριθμών.  τελικά ο αριθμός γίνεται κατανοητός ως μια αφηρημένη μαθηματική οντότητα.

Διαφορές με την ευθεία των πραγματικών αριθμών :  Η ευθεία των πραγματικών είναι ένα έτοιμο μοντέλο ενός συνόλου αριθμών.  Ένα σημείο στην αριθμογραμμή δεν είναι απλά η θέση ενός αριθμού, αλλά μια ποσότητα. Διαφορές με τον χάρακα :  Οι αριθμητικές ενδείξεις στην αριθμογραμμή δεν αντιστοιχούν σε ακριβείς μετρήσεις.  Η αριθμογραμμή εκφράζει τις στρατηγικές επίλυσης των μαθητών, ενώ ο χάρακας αποδίδει το ακριβές αποτέλεσμα μιας μέτρησης. Η άδεια αριθμογραμμή

Πρόβλημα : Ένα βιβλίο έχει 64 σελίδες. Έχω διαβάσει 37 σελίδες. Πόσες σελίδες μου μένουν να διαβάσω ; Η άδεια αριθμογραμμή

Η άδεια αριθμογραμμή Πρόβλημα : Ένα βιβλίο έχει 64 σελίδες. Έχω διαβάσει 37 σελίδες. Πόσες σελίδες μου μένουν να διαβάσω ;

Η άδεια αριθμογραμμή Πρόβλημα : Ένα βιβλίο έχει 64 σελίδες. Έχω διαβάσει 37 σελίδες. Πόσες σελίδες μου μένουν να διαβάσω ;

Η άδεια αριθμογραμμή Ο Κώστας έχει 53 ευρώ και η Μαρία έχει 19 ευρώ. Πόσα ευρώ περισσότερα έχει ο Κώστας από τη Μαρία ;

? … … … … 35 Η διπλή αριθμογραμμή Πρόβλημα : Ένας τροχός καλύπτει απόσταση 5 μέτρων σε 4 περιστροφές. Πόσα μέτρα θα καλύψει σε 30 περιστροφές ;

Η διπλή αριθμογραμμή Πρόβλημα : Ένας τροχός καλύπτει απόσταση 5 μέτρων σε 4 περιστροφές. Πόσα μέτρα θα καλύψει σε 30 περιστροφές ; 37, ×7

Περί μοντελοποίησης...

Διαδικασία μοντελοποίησης Ρεαλιστικό πρόβλημα απλοποίηση Μαθηματικό αποτέλεσμα Μαθηματικό μοντέλο Ρεαλιστικό μοντέλο αφαίρεση ερμηνεία υπολογισμοί

Μοντελοποίηση Η ένδειξη του μηχανήματος ήταν ότι υπάρχουν 22 πελάτες σε αναμονή και ο τελευταίος πελάτης που εξυπηρετούνταν είχε τον αριθμό 398. Την ώρα που μπήκα εργαζόταν 4 ταμεία. Γράψτε ένα τύπο ο οποίος όταν του δώσουμε τον αριθμό των ενεργών ταμείων και τον αριθμό των πελατών να μας δίνει το μέσο χρόνο αναμονής ( στην προκειμένη περίπτωση ο χρόνος ήταν 13 λεπτά ).