Μέθοδοι επιστημονικής γνώσης στη διδασκαλία των μαθηματικών Μέθοδοι επιστημονικής γνώσης στη διδασκαλία των μαθηματικών Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας Εισαγωγή Εφαρμογή μεθόδων επιστημονικής γνώσης Εύκολη εμπέδωση μαθηματικών εννοιών Καλύτερη εμπέδωση μαθηματικών εννοιών Εμπέδωση των μεθόδων επιστημονικής γνώσης Μέθοδοι επιστημονικής γνώσης Παρατήρηση, πείραμα Ανάλυση, απομόνωση, σύνθεση Σύγκριση, γενίκευση, συγκεκριμενοποίηση, εξειδίκευση Μοντελοποίηση Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Παρατήρηση και πείραμα Παρατήρηση είναι η μέθοδος επιστημονικής γνώσης, κατά την οποία υλοποιείται εκμάθηση των ιδιοτήτων και των σχέσεων των αντικειμένων, εξεταζόμενα στο φυσικό τους περιβάλλον, χωρίς να τροποποιηθούν οι συνθήκες ύπαρξής τους. Πείραμα είναι η μέθοδος επιστημονικής γνώσης, κατά την οποία υλοποιείται εκμάθηση των ιδιοτήτων και των σχέσεων των αντικειμένων υπό συνθήκη, με τη δήλωση των συνθηκών ύπαρξης ενός τουλάχιστον από τα εξεταζόμενα αντικείμενα. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας Παράδειγμα (πείραμα) Παράδειγμα 1ο: Να κατασκευαστεί κάθετη ευθεία a προς το ευθύγραμμο τμήμα BC, από σημείο Α το οποίο ανήκει στο ευθύγραμμο αυτό τμήμα (ΟΕΔΒ, Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου). Λύση Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Παράδειγμα (παρατήρηση) Παράδειγμα 2ο: Έστω κύκλος κ΄(Ο, ρ) και σημείο Γ εκτός αυτού. Να κατασκευαστεί η εφαπτόμενη του κ΄, διερχόμενη από το σημείο Γ (ΟΕΔΒ, Γεωμετρία Β΄ Λυκείου). Λύση Ανάλυση Σύνθεση Απόδειξη Διερεύνηση Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Ανάλυση, απομόνωση και σύνθεση Ανάλυση είναι γνωστική επιστημονική μέθοδος κατά την οποία το ακέραιο διαιρείται σε μέρη και διαδοχικά γίνεται εκμάθηση του κάθε μέρους του. Απομόνωση είναι γνωστική επιστημονική μέθοδος κατά την οποία η προσοχή επικεντρώνεται μόνο πάνω σε κάποια μέρη του προς μελέτη αντικειμένου, ενώ τα άλλα μέρη παραλείπονται, δεν εξετάζονται. Σύνθεση είναι γνωστική επιστημονική μέθοδος κατά την οποία τα μέρη ενώνονται σε ένα ακέραιο μέρος. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας Περιπτώσεις χρήσης Κατά τη διδασκαλία ολόκληρου του μαθηματικού εκπαιδευτικού περιεχομένου Κατά τη διδασκαλία συγκεκριμένων μαθηματικών εννοιών Κατά την εξέταση θεωρήματος πριν την απόδειξή του Κατά την εξέταση άσκησης πριν τη λύση της Κατά την εξέταση έτοιμου, αποδειγμένου θεωρήματος Κατά την εξέταση έτοιμης, λυμένης άσκησης Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Περιπτώσεις χρήσης (συνέχεια) Κατά την ανακάλυψη της απόδειξης δεδομένου θεωρήματος Κατά την ανακάλυψη της λύσης δεδομένης άσκησης Κατά τη συστηματοποίηση των αποδειγμένων θεωρημάτων και την δημιουργία αναγκαίων και ικανών συνθηκών ισχύς μιας μαθηματικής έννοιας Κατά την ανακάλυψη και διατύπωση συστημάτων ασκήσεων με κοινές λύσεις Κατά τη συστηματοποίηση των λυμένων ασκήσεων Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας Παράδειγμα Παράδειγμα 3ο: Να αποδειχτεί, ότι σε , με <90ο, ισχύει ότι: =2R, όπου ΑΒ=γ, ΑΓ=β, ΒΓ=α και R – η ακτίνα του περιγεγραμμένου στο κύκλου , Λύση Α Β Γ Δ κ(Ο, R ) β γ α Ο Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Σχόλια 3ου παραδείγματος Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Σύγκριση και γενίκευση Σύγκριση είναι γνωστική επιστημονική μέθοδος κατά την οποία αναζητούνται κοινές ή διαφορετικές ιδιότητες των εξεταζόμενων αντικειμένων. Γενίκευση είναι γνωστική επιστημονική μέθοδος κατά την οποία μετά την ανακάλυψη των κοινών ιδιοτήτων του εξεταζόμενου αντικειμένου, ενώνονται σε ένα σύνολο ή σε ένα σύστημα αντικειμένων. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Συγκεκριμενοποίηση και εξειδίκευση Συγκεκριμενοποίηση είναι γνωστική επιστημονική μέθοδος κατά την οποία αφού διατυπωθεί ο κοινός ισχυρισμός, εφαρμόζεται για διάφορες συγκεκριμένες περιπτώσεις. Εξειδίκευση είναι γνωστική επιστημονική μέθοδος κατά την οποία, αφού διατυπωθεί ο κοινός ισχυρισμός, εφαρμόζεται για γνήσιο υποσύνολο του συνόλου για το οποίο διατυπώθηκε ο κοινός ισχυρισμός κατά τη γενίκευση. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Παράδειγμα Παράδειγμα 4ο: Να υπολογιστούν τα ακόλουθα αθροίσματα: α1, α2,…,αν – όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Σχόλια 4ου παραδείγματος Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας Μοντελοποίηση Με τον όρο μοντελοποίηση εννοούμε την γνωστική μέθοδο κατά την οποία, καλά αναπτυγμένες και γνωστές έννοιες από ένα τομέα, αντιπαραθέτονται με μη αναπτυγμένες και άγνωστες έννοιες από κάποιο άλλο τομέα. Οι πρώτες έννοιες χρησιμοποιούνται ως ισχυρό εργαλείο για την επεξήγηση και ανάπτυξη των δεύτερων. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Μαθηματική μοντελοποίηση Οι γνώσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται για τη μελέτη και επεξήγηση άλλων γνώσεων λέγονται μοντέλα, ενώ οι προς μελέτη γνώσεις λέγονται πρωτότυπες. Όταν το μοντέλο αποτελείται από μαθηματικές σχέσεις, ονομάζεται μαθηματικό μοντέλο, ενώ η διαδικασία με την οποία οδηγούμαστε στο μοντέλο αυτό λέγεται μαθηματική μοντελοποίηση. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Υλοποίηση μαθηματικής μοντελοποίηση α) Μελέτη του πρωτοτύπου και εν συνεχεία καθορισμός των χαρακτηριστικών, των σχέσεων και των παραμέτρων, τα οποία το προσδιορίζουν. β) Δημιουργία του μαθηματικού μοντέλου. γ) Λύση της δημιουργημένης μαθηματικής άσκησης. δ) Εκτίμηση της λαμβανόμενης λύσης. δ.1) Έλεγχος της σχέσης μεταξύ του λαμβανόμενου αποτελέσματος και του μαθηματικού μοντέλου. δ.2) Έλεγχος της σχέσης μεταξύ της λαμβανόμενης μαθηματικής λύσης και του πρωτοτύπου. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Εσωτερική μαθηματική μοντελοποίηση Ο συσχετισμός που αναφέρεται στη σχέση μεταξύ των διαφόρων μαθηματικών γνώσεων (γεωμετρία και άλγεβρα, τριγωνομετρία και άλγεβρα κ.τ.λ.) λέγεται εσωτερική μαθηματική μοντελοποίηση των μαθηματικών εννοιών. Παράδειγμα 5ο: Να αποδειχθεί ότι εμβαδόν S του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τομέα του σχήματος, είναι ίσο με 1/4.π.(D+d).(D-d), όπου D, d είναι οι διάμετροι των κύκλων κ1(Ο, R) και κ2(Ο, r), αντίστοιχα. Λύση Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Εξωτερική μαθηματική μοντελοποίηση Γνώσεις και επιδεξιότητες διδακτικού αντικειμένου x χρησιμοποιούνται για την αιτιολόγηση διδακτικού αντικειμένου y. Και ακόμη, γνώσεις και επιδεξιότητες από το x χρησιμοποιούνται κατά την «γέννηση» της θεωρίας του y. Κατά συνέπεια εξωτερική μαθηματική μοντελοποίηση είναι η λύση μη μαθηματικών ασκήσεων (ή προβλημάτων) με τη βοήθεια των μαθηματικών. Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας Παραδείγματα Παράδειγμα 6ο: Να συμπληρωθούν οι συντελεστές α, β, γ, δ και ε στην ακόλουθη χημική εξίσωση: αH2S04 + βCu + γO2δCuSO4 + εH2Ο. Λύση Παράδειγμα 7ο: Έστω τα ακόλουθα σύνολα: Α={τρι}, Β={ετία, ήμερο, ωρος}, Γ={καλ}, Δ={ός, ή, ό}, Ε={έχ, θέλ} και Ζ={ω, εις, ει, ουμε, ετε, ουν,}. Να υπολογιστούν τα καρτεσιανά γινόμενα: Η=ΑΧΒ, Θ=ΓΧΔ και Ι=ΕΧΖ. Λύση Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας

Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας Συμπεράσματα Αυτό που έχει σημασία είναι η διδακτική μελέτη των μεθόδων επιστημονικής γνώσης προς τρεις κατευθύνσεις: Υπαρξιακά Τρόπος κατανόησής τους Τρόπος εμπέδωσής τους Δρ. Σάλτας Β. – ΤΕΙ Καβάλας