Να υπολογισθούν τα γινόμενα: 2  0 = 0 0  3 = 0 0  0 = 0 2  3  0 = 0 α  0 = 0 0  3  1  β  α = 0 (x - 1)  0 = 0 0  x  (x - 1)  (x + 2)  (x - 3) 2 = 0 Διαπιστώνουμε ότι, όλα τα παραπάνω γινόμενα είναι ίσα με το μηδέν, αφού περιέχουν έναν τουλάχιστον μηδενικό όρο.

Άρα: Ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν, ένας τουλάχιστον από τους όρους του ισούται με μηδέν. Ένα γινόμενο είναι διαφορετικό από το μηδέν μόνο όταν, κανένας όρος του δεν είναι ίσος με το μηδέν. Άρα: Ένα γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν, ένας τουλάχιστον από τους όρους του ισούται με μηδέν. Ένα γινόμενο είναι διαφορετικό από το μηδέν μόνο όταν, κανένας όρος του δεν είναι ίσος με το μηδέν.

ή με μαθηματικές σχέσεις:

Τα παραδείγματα που ακολουθούν, στηρίζονται στην εφαρμογή των ιδιοτήτων. Σε όλα θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις που λύσαμε πριν και θα ΄΄παίξουμε΄΄ με τους συνδέσμους «ή» και «και», ώστε να δείξουμε τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούνται. Γι΄ αυτό σε όλα τα παραδείγματα προσέξτε τα «ή» και τα «και».

Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 2 – x = 0 β) x 2 – 1 = 0 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x 2 – x = 0 β) x 2 – 1 = 0 Λύση: α) x 2 – x = 0  β) x 2 – 1 = 0  x(x – 1) = 0  (x + 1)(x – 1) = 0  x = 0 ή x – 1 = 0 x + 1 = 0 ή x – 1 = 0 x = 0 ή x = 1 x = -1 ή x = 1 Λύση: α) x 2 – x = 0  β) x 2 – 1 = 0  x(x – 1) = 0  (x + 1)(x – 1) = 0  x = 0 ή x – 1 = 0 x + 1 = 0 ή x – 1 = 0 x = 0 ή x = 1 x = -1 ή x = 1

Να λυθεί η εξίσωση: (x 2 – x)(x 2 – 1) = 0 Να λυθεί η εξίσωση: (x 2 – x)(x 2 – 1) = 0 Λύση: (x 2 – x)(x 2 – 1) = 0  x 2 – x = 0 ή x 2 – 1 = 0 x(x – 1) = 0 ή (x + 1)(x – 1) = 0 (x = 0 ή x – 1 = 0) ή (x + 1 = 0 ή x – 1 = 0) (x = 0 ή x = 1) ή (x = -1 ή x = 1) Άρα: x = 0 ή x = 1 ή x = -1 Λύση: (x 2 – x)(x 2 – 1) = 0  x 2 – x = 0 ή x 2 – 1 = 0 x(x – 1) = 0 ή (x + 1)(x – 1) = 0 (x = 0 ή x – 1 = 0) ή (x + 1 = 0 ή x – 1 = 0) (x = 0 ή x = 1) ή (x = -1 ή x = 1) Άρα: x = 0 ή x = 1 ή x = -1

Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R, ώστε να επαληθεύεται η σχέση: (x 2 – x)(x 2 – 1)  0 Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R, ώστε να επαληθεύεται η σχέση: (x 2 – x)(x 2 – 1)  0 Λύση: (x 2 – x)(x 2 – 1)  0  x 2 – x  0 & x 2 – 1  0 x(x – 1)  0 & (x + 1)(x – 1)  0 (x  0 & x – 1  0) & (x + 1  0 & x – 1  0) (x  0 & x  1) & (x  -1 & x  1) Άρα: x  0 & x  1 & x  -1 Λύση: (x 2 – x)(x 2 – 1)  0  x 2 – x  0 & x 2 – 1  0 x(x – 1)  0 & (x + 1)(x – 1)  0 (x  0 & x – 1  0) & (x + 1  0 & x – 1  0) (x  0 & x  1) & (x  -1 & x  1) Άρα: x  0 & x  1 & x  -1

Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R ώστε να συναληθεύουν οι εξισώσεις: x 2 – x = 0 x 2 – 1 = 0 Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R ώστε να συναληθεύουν οι εξισώσεις: x 2 – x = 0 x 2 – 1 = 0 Λύση: x 2 – x = 0 & x 2 – 1 = 0 x(x – 1) = 0 & (x + 1)(x – 1) = 0 (x = 0 ή x – 1 = 0) & (x + 1 = 0 ή x – 1 = 0) (x = 0 ή x = 1) & (x = -1 ή x = 1) Άρα: x = 1 Λύση: x 2 – x = 0 & x 2 – 1 = 0 x(x – 1) = 0 & (x + 1)(x – 1) = 0 (x = 0 ή x – 1 = 0) & (x + 1 = 0 ή x – 1 = 0) (x = 0 ή x = 1) & (x = -1 ή x = 1) Άρα: x = 1

Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R ώστε να συναληθεύουν οι σχέσεις: x 2 – x = 0 x 2 – 1  0 Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R ώστε να συναληθεύουν οι σχέσεις: x 2 – x = 0 x 2 – 1  0 Λύση: x 2 – x = 0 & x 2 – 1  0 x(x – 1) = 0 & (x + 1)(x – 1)  0 (x = 0 ή x – 1 = 0) & (x + 1  0 & x – 1  0) (x = 0 ή x = 1) & (x  -1 & x  1) Άρα: x = 0 Λύση: x 2 – x = 0 & x 2 – 1  0 x(x – 1) = 0 & (x + 1)(x – 1)  0 (x = 0 ή x – 1 = 0) & (x + 1  0 & x – 1  0) (x = 0 ή x = 1) & (x  -1 & x  1) Άρα: x = 0

Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R, για τις οποίες ορίζεται η παράσταση: x 2 1 – x + x 2 1 – x Να βρεθούν οι τιμές του x ∊ R, για τις οποίες ορίζεται η παράσταση: x 2 1 – x + x 2 1 – x Λύση: Πρέπει και αρκεί: x 2 – x  0 & x 2 – 1  0 x(x – 1)  0 & (x + 1)(x – 1)  0 (x  0 & x – 1  0) & (x + 1  0 & x – 1  0) (x  0 & x  1) & (x  -1 & x  1) Άρα: x  0 & x  1 & x  -1 Αλλιώς: x ∊ (-∞, -1)∪(-1, 0)∪(0, 1)∪(1, +∞) Λύση: Πρέπει και αρκεί: x 2 – x  0 & x 2 – 1  0 x(x – 1)  0 & (x + 1)(x – 1)  0 (x  0 & x – 1  0) & (x + 1  0 & x – 1  0) (x  0 & x  1) & (x  -1 & x  1) Άρα: x  0 & x  1 & x  -1 Αλλιώς: x ∊ (-∞, -1)∪(-1, 0)∪(0, 1)∪(1, +∞)

Ελπίζω να σε βοήθησα. Βελλίδου Φανή, Μαθηματικός. Ελπίζω να σε βοήθησα. Βελλίδου Φανή, Μαθηματικός.