ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟI LORENTZ ΧΡΟΝΟΣ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ Χρονική αλληλουχία γεγονότων Ταυτόχρονο σε διάφορες θέσεις Ταυτόχρονο = Σχετική έννοια, όχι απόλυτος Κοσμική γραμμή: «θέση σώματος ως συνάρτηση του χρόνου» t t2 t0 t1 0 x x=xB±ct φωτεινό σήμα S υ A B C

τότε το φωτεινό σήμα δεν φτάνει ταυτόχρονα ως προς το S. Αν οι θέσεις παρατήρησης A, B, C βρίσκονται σε ηρεμία ως προς το S τότε το φωτεινό σήμα λαμβάνεται ταυτόχρονα. Αν τα A, B, C κινούνται με ταχύτητα U, τότε το φωτεινό σήμα δεν φτάνει ταυτόχρονα ως προς το S. ►Η έννοια του ταυτόχρονου είναι συνάρτηση του συστήματος αναφοράς που χρησιμοποιούμε. t A B C 0 x x΄ υ t΄ S΄ A΄ C΄ Για τον άξονα t’: Για τον άξονα x’:

Οι μετασχηματισμοί από το σύστημα αναφοράς S στο σύστημα S’ πρέπει να είναι γραμμικοί ώστε να μην τροποποιηθεί η μορφή της κίνησης. - Οι μετασχηματισμοί πρέπει να είναι συμμετρικοί: Φωτεινό σήμα:

Για παίρνουμε πίσω τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου

Απόσταση (Χωροχρονική) 2 Γεγονότων Αποδεικνύεται εύκολα ότι: αν Σφαιρική διάδοση του φωτός με ταχύτητα c Χώρος Minkowski: Διάγραμμα του χωροχρόνου, με άξονες τη θέση και το χρόνο (t vs x ή ct vs x) για την περιγραφή της εξέλιξης μιας κίνησης. Εξ ορισμού η κοσμική γραμμή ενός φωτεινού σήματος στην αρχή των αξόνων (0,0) είναι η διχοτόμος. Απόσταση (Χωροχρονική) 2 Γεγονότων Συστήματα Αναφοράς S και S’ Αντίστοιχες χωροχρονικές συντεταγμένες (x,t) , (x’, t’) ενός γεγονότος.

S t t2 t1 x1 x2 x x΄ t΄ S΄ P1 P2 x1΄ x2΄ t1΄ t2΄

Συστολή (Lorentz) Μήκους S t 0 x1 x2 x x΄ t΄ S΄ P1 P2 υ Σύστημα S (Σώμα ηρεμεί) Σύστημα S’ (Ταυτόχρονη μέτρηση) Διαστολή Χρόνου Σύστημα S (Ίδια θέση) Σύστημα S’

«Το μήκος ενός σώματος ως προς ένα σύστημα άναφόρας προς το οποίο το π.χ. Παραγωγή και διάσπαση σωματιδίων στους επιταχυντές «Το μήκος ενός σώματος ως προς ένα σύστημα άναφόρας προς το οποίο το σώμα αυτό ηρεμεί ονομάζεται ίδιο μήκος» (proper length) «Ο χρόνος ανάμεσα σε 2 γεγονότα τα οποία μετρώνται από την ίδια θέση σε ένα σύστημα αναφοράς ονομάζεται ίδιος χρόνος» (proper time) Παράδειγμα: κουτί ρολόι S S΄ Α Ν C υ l0

κίνηση ρογιού κατά τη διεύθυνση του μήκους του Όμως, Συστολή Μήκους Διαστολή Χρόνου Ίδιος χρόνος στο κινούμενο σύστημα αναφοράς Ταυτόχρονο των μετρήσεων (ίδια θέση) Ίδιο ρολόι στο ακίνητο σύστημα αναφοράς. Άλλη θέση στο κινούμενο σύστημα (2 ρολόγια) Συγχρονισμός Ρολογιών

Χωρο – Χρονικά αναλλοίωτο μέγεθος Πως μπορεί να γίνει ο συγχρονισμός των ρολογιών; ί Με ραδιοσήματα που λαμβάνουν υπόψη το χρόνο διάδοσής τους από ρολόι σε ρολόι (Πρόβλημα ταυτόχρονου) -Να μαζέψουμε όλα τα ρολόγια ενός συστήματος αναφοράς όλα μαζί (πρόβλημα κίνησης για τη μεταφορά τους) ► Σφάλμα ρολογιών Χωρο – Χρονικά αναλλοίωτο μέγεθος Αναλλοίωτο μέγεθος

s2 Μέτρο απόστασης γεγονότος από την αρχή των αξόνων του χωρόχρονου Για Υπερβολή που καθορίζει τη μονάδα απόστασης σε κάθε άξονα x, x’….. ct x x=1 x=ct s2 Μέτρο απόστασης γεγονότος από την αρχή των αξόνων του χωρόχρονου s2=0 Κοσμική γραμμή φωτεινού σήματος που περνά από την αρχή του χωρόχρονου ct x x=1 x=ct ct΄ x΄ x΄=1 Η εφαπτόμενη της υπερβολής στο σημείο που τέμνει τον άξονα των x’ είναι παράλληλη με τον άξονα ct’

Απόδειξη

Χωροχρονικό διάστημα δύο γεγονότων ct x=-ct x=ct Μέλλον B A x Παρελθόν Χωροχρονικό διάστημα δύο γεγονότων

Κοσμικές γραμμές φωτεινών σωμάτων Δs καθαρά χρονικό (timelike) Υπάρχει σύστημα αναφοράς όπου τα δύο αυτά γεγονότα λαμβάνουν χώρα στην ίδια θέση. Δs καθαρά χωρικό (spacelike) Υπάρχει σύστημα αναφοράς όπου τα δύο αυτά γεγονότα λαμβάνουν χώρα ταυτόχρονα. Επικοινωνία ανάμεσα σε γεγονότα για τα οποία Δs2<0 απαιτεί ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός c