Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν.

Παρουσίαση με θέμα: "Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα αναφοράς σε κίνηση 4

2 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Αδρανειακά και επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς = σταθερό σύστημα αναφοράς (ακίνητο) = κινητό σύστημα αναφοράς Τι κινείται, και τι όχι; ένας παρατηρητής, που βρίσκεται πάνω σε ένα σώμα, αντιλαμβάνεται το άλλο σώμα ως κινητό και το δικό του ως σταθερό.

3 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Αδρανειακά και επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς = σταθερό σύστημα αναφοράς (ακίνητο) = κινητό σύστημα αναφοράς Τι κινείται, και τι όχι; ένας παρατηρητής, που βρίσκεται πάνω σε ένα σώμα, αντιλαμβάνεται το άλλο σώμα ως κινητό και το δικό του ως σταθερό. Νευτώνεια μηχανική: Εντοπισμός «ακίνητων» συστημάτων αναφοράς = = πειραματική επαλήθευση του νόμου κίνησης του Νεύτωνα = διάνυσμα θέσης = δύναμη ανά μονάδα μάζας = ασκούμενη δύναμη m = μάζα,

4 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Αδρανειακά και επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς = σταθερό σύστημα αναφοράς (ακίνητο) = κινητό σύστημα αναφοράς Τι κινείται, και τι όχι; ένας παρατηρητής, που βρίσκεται πάνω σε ένα σώμα, αντιλαμβάνεται το άλλο σώμα ως κινητό και το δικό του ως σταθερό. Νευτώνεια μηχανική: Εντοπισμός «ακίνητων» συστημάτων αναφοράς = = πειραματική επαλήθευση του νόμου κίνησης του Νεύτωνα = διάνυσμα θέσης αδρανειακό :σύστημα αναφοράς στο οποίο ισχύει ο παραπάνω νόμος (όχι ακίνητο, δυνατόν να κινείται!) = δύναμη ανά μονάδα μάζας = ασκούμενη δύναμη m = μάζα,

5 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Oι εξισώσεις κίνησης σε σύστημα το οποίο κινείται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα = αδρανειακό σύστημα, μεταβατική κίνηση της αρχής + + περιστροφή ορθοκανονικής τριάδας Ο0Ο0 Ο P = σύστημα αναφοράς το οποίο κινείται ως προς το

6 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Oι εξισώσεις κίνησης σε σύστημα το οποίο κινείται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα = αδρανειακό σύστημα, μεταβατική κίνηση της αρχής + + περιστροφή ορθοκανονικής τριάδας Μεταβατική κίνηση Ο0Ο0 Ο P παράλληλο προς αδρανειακό διάνυσμα μετάθεσης P = κινητό σημείο με διανύσματα θέσης και : = σύστημα αναφοράς το οποίο κινείται ως προς το

7 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Oι εξισώσεις κίνησης σε σύστημα το οποίο κινείται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα = αδρανειακό σύστημα, μεταβατική κίνηση της αρχής + + περιστροφή ορθοκανονικής τριάδας Μεταβατική κίνηση Ο0Ο0 Ο P παράλληλο προς αδρανειακό διάνυσμα μετάθεσης P = κινητό σημείο με διανύσματα θέσης και : = δύναμη ανά μονάδα μάζας στο P Στο δεν ισχύει ο νόμος κίνησης του Νεύτωνα (μη αδρανειακό), εκτός από την ειδική περίπτωση όπου = σύστημα αναφοράς το οποίο κινείται ως προς το

8 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου με σταθερά διανύσματα= θέση κατά μία αρχική στιγμή t 0 = ταχύτητα = ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα Μεταβατική κίνηση

9 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου με σταθερά διανύσματα= θέση κατά μία αρχική στιγμή t 0 = ταχύτητα = ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα Ένα σύστημα αναφοράς το οποίο κινείται με σταθερή ευθύγραμμη κίνηση σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα, είναι και αυτό αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ανάμεσα σε όλα τα δυνατά αδρανειακά συστήματα δεν είναι δυνατόν να επιλεγεί, με φυσικά-πειραματικά μέσα, ένα συγκεκριμένο ως «ακίνητο». Μεταβατική κίνηση

10 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μη αδρανειακό σύστημα: δύναμη (φυσικά αίτια) + «ψευτοδύναμη» με σταθερά διανύσματα= θέση κατά μία αρχική στιγμή t 0 = ταχύτητα = ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα Ένα σύστημα αναφοράς το οποίο κινείται με σταθερή ευθύγραμμη κίνηση σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα, είναι και αυτό αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ανάμεσα σε όλα τα δυνατά αδρανειακά συστήματα δεν είναι δυνατόν να επιλεγεί, με φυσικά-πειραματικά μέσα, ένα συγκεκριμένο ως «ακίνητο». Aπόκλιση μεταβατικής κίνησης από ευθύγραμμη κίνηση Mη αδρανειακό σύστημα = επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς. Μεταβατική κίνηση

11 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιστροφική κίνηση χωρίς μεταβατική κίνηση ως προς ένα αδρανειακό : μεταβολή διευθύνσεων των R(t) = πίνακας στροφής από το στο :

12 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιστροφική κίνηση χωρίς μεταβατική κίνηση ως προς ένα αδρανειακό : μεταβολή διευθύνσεων των R(t) = πίνακας στροφής από το στο : Παραγώγιση:

13 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιστροφική κίνηση χωρίς μεταβατική κίνηση ως προς ένα αδρανειακό : μεταβολή διευθύνσεων των R(t) = πίνακας στροφής από το στο : Παραγώγιση: Ω = αντισυμμετρικός πίνακας ( Ω Τ =  Ω και Ω + Ω Τ = 0 )

14 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου αναλυτικά Περιστροφική κίνηση

15 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς αδρανειακό σύστημα:

16 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς αδρανειακό σύστημα:

17 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς αδρανειακό σύστημα:

18 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς αδρανειακό σύστημα:

19 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς αδρανειακό σύστημα:

20 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα:

21 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα:

22 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα:

23 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα:

24 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα:

25 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα αναφοράς επιταχυνόμενο (περιστρεφόμενο) σύστημα: Eναλλακτικές σχέσεις:

26 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Νόμος κίνησης του Νεύτωνα : = δύναμη ανά μονάδα μάζας

27 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Νόμος κίνησης του Νεύτωνα : αδρανειακό σύστημα:ή = δύναμη ανά μονάδα μάζας

28 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Νόμος κίνησης του Νεύτωνα : περιστρεφόμενο σύστημα: ή αδρανειακό σύστημα:ή = δύναμη ανά μονάδα μάζας επίλυση ως προς

29 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Νόμος κίνησης του Νεύτωνα : περιστρεφόμενο σύστημα: ή αδρανειακό σύστημα:ή = δύναμη ανά μονάδα μάζας

30 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Νόμος κίνησης του Νεύτωνα : περιστρεφόμενο σύστημα: ή αδρανειακό σύστημα:ή Φυσικές δυνάμεις + «ψευτοδυνάμεις» = δύναμη ανά μονάδα μάζας

31 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου περιστρεφόμενο σύστημα: Φυσικές δυνάμεις + «ψευτοδυνάμεις»

32 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου περιστρεφόμενο σύστημα: Φυσικές δυνάμεις + «ψευτοδυνάμεις» φυγόκεντρη δύναμη (ανά μονάδα μάζας) δύναμη Coriolis (ανά μονάδα μάζας) γυροσκοπική δύναμη (ανά μονάδα μάζας)

33 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου περιστρεφόμενο σύστημα: Φυσικές δυνάμεις + «ψευτοδυνάμεις» φυγόκεντρη δύναμη (ανά μονάδα μάζας) δύναμη Coriolis (ανά μονάδα μάζας) γυροσκοπική δύναμη (ανά μονάδα μάζας) Για σημείο σταθερό ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα: x = σταθερό,, δύναμη Coriolis p = 0 Όταν (περιστροφή γύρω από σταθερή κατεύθυνση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα) : γυροσκοπική δύναμη g = 0

34 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις στην κλασσική φυσική Φυγόκεντρη δύναμη (ανά μονάδα μάζας): Μέγεθος: ρ = απόσταση από άξονα περιστροφής : Βαρύτητα: Στον ισημερινό ρ = R:

35 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις στην κλασσική φυσική Δύναμη Coriolis (ανά μονάδα μάζας): Μέγεθος: V eq = μέγεθος ισημερινής συνιστώσας της ταχύτητας Για V eq = 900 km/hr (αεροπλάνο)

36 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ψευτοδυνάμεις στην κλασσική φυσική Γυροσκοπική δύναμη (ανά μονάδα μάζας): Γυροσκοπική δύναμη για κίνηση πόλου (περίοδος Chandler T C = 14 μήνες): Μέγεθος: Ισημερινή συνιστώσα: Πολική συνιστώσα:

37 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ταυτόχρονα μεταθετική και περιστροφική κίνηση

38 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ταυτόχρονα μεταθετική και περιστροφική κίνηση

39 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ταυτόχρονα μεταθετική και περιστροφική κίνηση

40 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Εξισώσεις κίνησης στο επιταχυνόμενο σύστημα Ταυτόχρονα μεταθετική και περιστροφική κίνηση

41 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος Στερεό (ή άκαμπτο ή μη παραμορφώσιμο) σώμα : Oι αποστάσεις μεταξύ των υλικών του σημείων παραμένουν σταθερές. Το σχήμα ενός στερεού σώματος παραμένει αμετάβλητο. Σύστημα αναφοράς προσδεμένο σε στερεό σώμα: Ορισμός συστήματος σε μία οποιαδήποτε χρονική στιγμή + απαίτηση για σταθερές συντεταγμένες όλων των υλικών σημείων

42 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος Προσδεμένα στο στερεό σώμα συστήματα = κινηματικά ισοδύναμα διανύσματα θέσης: Q = πίνακας στροφής : συνιστώσες x και x του ίδιου σημείου στα και = = σταθερές (χρονικά αμετάβλητες) d = σταθερό, Q = σταθερό

43 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η κίνηση οποιουδήποτε στερεού σώματος μπορεί να αναλυθεί σε δύο τμήματα: μία παράλληλη μετάθεση, όπου όλα τα σημεία του διαγράφουν παράλληλες ευθείες και μία περιστροφή γύρω από ένα οποιοδήποτε υλικό σημείο του. Περιστροφή = αμετάβλητη θέση του σημείου P (κέντρου της περιστροφής) ως προς το αδρανειακό σύστημα Ρ Ρ

44 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Η κίνηση οποιουδήποτε στερεού σώματος μπορεί να αναλυθεί σε δύο τμήματα: μία παράλληλη μετάθεση, όπου όλα τα σημεία του διαγράφουν παράλληλες ευθείες και μία περιστροφή γύρω από ένα οποιοδήποτε υλικό σημείο του. Περιστροφή = αμετάβλητη θέση του σημείου P (κέντρου της περιστροφής) ως προς το αδρανειακό σύστημα Πλεονεκτική επιλογή του P : κέντρο μάζας C ( x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z ) M = συνολική μάζα του σώματος. Ρ Ρ

45 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονας περιστροφής στερεού σώματος από μία θέση σε νέα θέση Θεμελιώδη ιδιότητα περιστροφής στερεού σώματος: Όταν η θέση ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται έτσι ώστε ένα από τα υλικά σημεία του να παραμένει σταθερό, τότε υπάρχει μία ευθεία η οποία διέρχεται από το σταθερό σημείο, τα υλικά σημεία της οποίας παραμένουν επίσης στην ίδια θέση. Η ευθεία αυτή ονομάζεται άξονας περιστροφής του σώματος. Περιστροφή στερεού σώματος = = κίνηση με ένα σημείο στην ίδια θέση (κέντρο της περιστροφής)

46 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονας περιστροφής στερεού σώματος από μία θέση σε νέα θέση P P Q Q M = M C = CC = C P, Q, C, M = αρχικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t Στερεό σώμα: οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων παραμένουν σταθερές PQ = P Q, CP = C P, CQ = C Q, MP = M P, MQ = M Q Κέντρο περιστροφής C = C : απέχει ίσες αποστάσεις από P, P και ίσες αποστάσεις από Q, Q P, Q, C, M = τελικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t

47 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονας περιστροφής στερεού σώματος από μία θέση σε νέα θέση Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν ίση απόσταση από δύο σημεία A και B είναι το μεσοκάθετο επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα και διέρχεται από το μέσον του τμήματος αυτού. P P Q Q M = M C = CC = C P, Q, C, M = αρχικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t Στερεό σώμα: οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων παραμένουν σταθερές PQ = P Q, CP = C P, CQ = C Q, MP = M P, MQ = M Q Κέντρο περιστροφής C = C : απέχει ίσες αποστάσεις από P, P και ίσες αποστάσεις από Q, Q P, Q, C, M = τελικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t

48 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονας περιστροφής στερεού σώματος από μία θέση σε νέα θέση Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν ίση απόσταση από δύο σημεία A και B είναι το μεσοκάθετο επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα και διέρχεται από το μέσον του τμήματος αυτού. Kάθε σημείο με αμετάβλητη θέση M = M κατά την περιστροφή βρίσκεται στην τομή των μεσοκαθέτων στα τμήματα PP & QQ Κάθε σημείο της τομής των μεσοκαθέτων έχει αμετάβλητη θέση P P Q Q M = M C = CC = C P, Q, C, M = αρχικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t Στερεό σώμα: οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων παραμένουν σταθερές PQ = P Q, CP = C P, CQ = C Q, MP = M P, MQ = M Q Κέντρο περιστροφής C = C : απέχει ίσες αποστάσεις από P, P και ίσες αποστάσεις από Q, Q P, Q, C, M = τελικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t

49 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονας περιστροφής στερεού σώματος από μία θέση σε νέα θέση Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν ίση απόσταση από δύο σημεία A και B είναι το μεσοκάθετο επίπεδο, δηλαδή το επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα και διέρχεται από το μέσον του τμήματος αυτού. Kάθε σημείο με αμετάβλητη θέση M = M κατά την περιστροφή βρίσκεται στην τομή των μεσοκαθέτων στα τμήματα PP & QQ Κάθε σημείο της τομής των μεσοκαθέτων έχει αμετάβλητη θέση P P Q Q M = M Για δύο υλικά σημεία με αρχικές θέσεις P και Q και αντίστοιχες τελικές P και Q : Άξονας περιστροφής του σώματος = = τομή των μεσοκαθέτων επιπέδων στα ευθύγραμμα τμήματα PP και QQ C = CC = C P, Q, C, M = αρχικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t Στερεό σώμα: οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων παραμένουν σταθερές PQ = P Q, CP = C P, CQ = C Q, MP = M P, MQ = M Q Κέντρο περιστροφής C = C : απέχει ίσες αποστάσεις από P, P και ίσες αποστάσεις από Q, Q P, Q, C, M = τελικές θέσεις υλικών σημείων, τη χρονική στιγμή t

50 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής Μεταβατική κίνηση σημείου: διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας = μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση προς την οποία τείνει να κινηθεί το σημείο την στιγμή t μέγεθος v(t) = στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της απόστασης s

51 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Περιστροφική κίνηση: διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής = μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση γύρω από την οποία τείνει να περιστραφεί το σώμα την στιγμή t (στιγμιαίος άξονας περιστροφής) μέγεθος = = στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ γύρω από το άξονα περιστροφής (στιγμιαία ταχύτητα περιστροφής). Το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής Μεταβατική κίνηση σημείου: διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας = μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση προς την οποία τείνει να κινηθεί το σημείο την στιγμή t μέγεθος v(t) = στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της απόστασης s

52 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : μέση (διανυσματική) ταχύτητα : μέση κατεύθυνση της κίνησης : μέση (γραμμική) ταχύτητα v m : Για το διάστημα [t, t + Δt] :

53 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : μέση (διανυσματική) ταχύτητα : μέση κατεύθυνση της κίνησης : μέση (γραμμική) ταχύτητα v m : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα : Για το διάστημα [t, t + Δt] :

54 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

55 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

56 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

57 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

58 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

59 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

60 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

61 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

62 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

63 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

64 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

65 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

66 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

67 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Περιστροφική κίνηση : μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής = γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) Για το διάστημα [t, t + Δt] :

68 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Περιστροφική κίνηση : μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής = γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) Για το διάστημα [t, t + Δt] :

69 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Περιστροφική κίνηση : μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής = μέση κατεύθυνση περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα) = άξονας περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) = γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) Για το διάστημα [t, t + Δt] :

70 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Περιστροφική κίνηση : μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής = μέση κατεύθυνση περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα) = άξονας περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) = γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) «Tεχνητή» σύνθεση : μέσο διάνυσμα της ταχύτητας περιστροφής: Για το διάστημα [t, t + Δt] :

71 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Περιστροφική κίνηση : μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής = μέση κατεύθυνση περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα) = άξονας περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) = γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) «Tεχνητή» σύνθεση : μέσο διάνυσμα της ταχύτητας περιστροφής: διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής : απλά = διάνυσμα περιστροφής Για το διάστημα [t, t + Δt] :

72 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Μαθηματικοί ορισμοί Περιστροφική κίνηση : διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής : απλά = διάνυσμα περιστροφής Mεταβατική κίνηση : Στιγμιαία (διανυσματική) ταχύτητα :

73 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο μη περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς Συνιστώσες του διανύσματος περιστροφής Στο (προσαρμοσμένο στο στερεό σώμα) περιστρεφόμενο σύστημα ω, ω 0 : καθορίζονται πλήρως από τον πίνακα περιστροφής R(t) Ταύτιση (απομένει να δειχτεί) των συνιστωσών ω με τον πίνακα-στήλη που ήδη ορίστηκε ως

74 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Συνιστώσες του διανύσματος περιστροφής «Αδρανειακές» συνιστώσες ω 0 : Σχέση συνιστωσών με τον πίνακα περιστροφής

75 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Για ω της σχέσης υλικό σημείο στερεού σώματος x = σταθερό αντίστοιχη διανυσματική σχέση Απόδειξη ταυτότητας ω της σχέσης με ω της σχέσης

76 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Για το ω της σχέσης = διάνυσμα περιστροφής (διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής) = η γωνία ανάμεσα στα και. = διάνυσμα θέσης υλικού σημείου Απόδειξη ταυτότητας ω της σχέσης με ω της σχέσης

77 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Για το ω της σχέσης = διάνυσμα περιστροφής (διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής) = η γωνία ανάμεσα στα και. Για απειροελάχιστο χρονικό διάστημα Δt το υλικό σημείο κινείται σε κύκλο ακτίνας r και διαγράφει απόσταση Δs = r Δθ Δθ = γωνία περιστροφής για το διάστημα Δt = διάνυσμα θέσης υλικού σημείου Απόδειξη ταυτότητας ω της σχέσης με ω της σχέσης

78 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Για το ω της σχέσης = διάνυσμα περιστροφής (διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής) = η γωνία ανάμεσα στα και. Για απειροελάχιστο χρονικό διάστημα Δt το υλικό σημείο κινείται σε κύκλο ακτίνας r και διαγράφει απόσταση Δs = r Δθ Δθ = γωνία περιστροφής για το διάστημα Δt = διάνυσμα θέσης υλικού σημείου Απόδειξη ταυτότητας ω της σχέσης με ω της σχέσης = ταχύτητα εφαπτόμενη στον κύκλο= γωνιακή ταχύτητα περιστροφής

79 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Για το ω της σχέσης = διάνυσμα περιστροφής (διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής) = η γωνία ανάμεσα στα και. Για απειροελάχιστο χρονικό διάστημα Δt το υλικό σημείο κινείται σε κύκλο ακτίνας r και διαγράφει απόσταση Δs = r Δθ Δθ = γωνία περιστροφής για το διάστημα Δt = ταχύτητα εφαπτόμενη στον κύκλο = διάνυσμα θέσης υλικού σημείου = γωνιακή ταχύτητα περιστροφής Απόδειξη ταυτότητας ω της σχέσης με ω της σχέσης

80 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Για το ω της σχέσης = διάνυσμα περιστροφής (διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής) = η γωνία ανάμεσα στα και. Για απειροελάχιστο χρονικό διάστημα Δt το υλικό σημείο κινείται σε κύκλο ακτίνας r και διαγράφει απόσταση Δs = r Δθ Δθ = γωνία περιστροφής για το διάστημα Δt = ταχύτητα εφαπτόμενη στον κύκλο = διάνυσμα θέσης υλικού σημείου = γωνιακή ταχύτητα περιστροφής Απόδειξη ταυτότητας ω της σχέσης με ω της σχέσης

81 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Για το ω της σχέσης = διάνυσμα περιστροφής Απόδειξη ταυτότητας ω της σχέσης με ω της σχέσης Για ω της σχέσης Συμπέρασμα: Η σχέση δίνει τις συνιστώσες ω του διανύσματος περιστροφής ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς

82 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Φυσική σημασία της σχέσης (συνολική) ταχύτητα φαινομενική ταχύτητα για έναν παρατηρητή στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς πρόσθετη ταχύτητα λόγω της περιστροφής του συστήματος αναφοράς Για ένα σημείο που δεν κινείται ως προς υο περιστρεφόμενο σύστημα

83 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Διάνυσμα περιστροφής = = ανεξάρτητο επιλογής προσαρμοσμένου στο στερεό σώμα συστήματος αναφοράς Για δύο διαφορετικές επιλογές Q = σταθερό

84 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Διάνυσμα περιστροφής = = ανεξάρτητο επιλογής προσαρμοσμένου στο στερεό σώμα συστήματος αναφοράς Για δύο διαφορετικές επιλογές Q = σταθερό Στο σύστημα

85 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Διάνυσμα περιστροφής = = ανεξάρτητο επιλογής προσαρμοσμένου στο στερεό σώμα συστήματος αναφοράς Για δύο διαφορετικές επιλογές Q = σταθερό Στο σύστημα και

86 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Επιλογή συγκεκριμένων παραμέτρων

87 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Επιλογή συγκεκριμένων παραμέτρων αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης

88 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Επιλογή συγκεκριμένων παραμέτρων αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης

89 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Επιλογή συγκεκριμένων παραμέτρων αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης

90 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Επιλογή συγκεκριμένων παραμέτρων αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης

91 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Επιλογή συγκεκριμένων παραμέτρων

92 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Επιλογή συγκεκριμένων παραμέτρων (κινηματικές εξισώσεις του Euler) αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης

93 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράμετροι περιγραφής: γωνίες των στοιχειωδών στροφών γύρω από τους άξονες n, m και k ( n, m, k ) παίρνουν τιμές από το σύνολο ( 1, 2, 3 ) με n ≠ m ≠ k (γωνίες Cardan, n ≠ k, ή γωνίες Euler, n = k ) Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

94 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράμετροι περιγραφής: γωνίες των στοιχειωδών στροφών γύρω από τους άξονες n, m και k ( n, m, k ) παίρνουν τιμές από το σύνολο ( 1, 2, 3 ) με n ≠ m ≠ k (γωνίες Cardan, n ≠ k, ή γωνίες Euler, n = k ) Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler (κινηματικές εξισώσεις του Euler)

95 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

96 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

97 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

98 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

99 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

100 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

101 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

102 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

103 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

104 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

105 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

106 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

107 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

108 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

109 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

110 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

111 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

112 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

113 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

114 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

115 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

116 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

117 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

118 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

119 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

120 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

121 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

122 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

123 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο «περιστρεφόμενο» σύστημα: Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler – Γενική μορφή

124 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο «περιστρεφόμενο» σύστημα: Στο «αδρανειακό» σύστημα: Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler – Γενική μορφή

125 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο «περιστρεφόμενο» σύστημα: Στο «αδρανειακό» σύστημα: Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler – Γενική μορφή

126 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο «περιστρεφόμενο» σύστημα: Στο «αδρανειακό» σύστημα: Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler – Γενική μορφή

127 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο «περιστρεφόμενο» σύστημα: Στο «αδρανειακό» σύστημα: Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler – Γενική μορφή (ιδιότητα: )

128 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο «περιστρεφόμενο» σύστημα: Στο «αδρανειακό» σύστημα: Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler – Γενική μορφή (ιδιότητα: )

129 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Στο «περιστρεφόμενο» σύστημα: Στο «αδρανειακό» σύστημα: Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler – Γενική μορφή (ιδιότητα: )

130 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράδειγμα: γωνίες Euler Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

131 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράδειγμα: γωνίες Euler Κινηματικές εξισώσεις του Euler (για γωνίες Euler) Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

132 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράδειγμα: γωνίες Euler Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

133 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράδειγμα: γωνίες Euler Κινηματικές εξισώσεις του Euler (για γωνίες Euler) Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

134 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Παράδειγμα: γωνίες Euler Κινηματικές εξισώσεις του Euler (για γωνίες Euler) Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

135 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Συστήματα αναφοράς για παραμορφώσιμα σώματα Η γη είναι ένα στερεό σώμα μόνο σε πρώτη προσέγγιση. Στην πραγματικότητα: μικρές παραμορφώσεις περιοδικής και συνεχούς μορφής.

136 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Συστήματα αναφοράς για παραμορφώσιμα σώματα Η γη είναι ένα στερεό σώμα μόνο σε πρώτη προσέγγιση. Στην πραγματικότητα: μικρές παραμορφώσεις περιοδικής και συνεχούς μορφής. Περιοδικές παραμορφώσεις: παραμόρφωση λόγω περιστροφής παλίρροιες του στερεού φλοιού της γης (αίτια: έλξη σελήνης και ήλιου, μεταβολή του φορτίου των θαλάσσιων υδάτων πάνω στην ξηρά λόγω θαλάσσιων παλιρροιών)

137 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Συστήματα αναφοράς για παραμορφώσιμα σώματα Η γη είναι ένα στερεό σώμα μόνο σε πρώτη προσέγγιση. Στην πραγματικότητα: μικρές παραμορφώσεις περιοδικής και συνεχούς μορφής. Περιοδικές παραμορφώσεις: παραμόρφωση λόγω περιστροφής παλίρροιες του στερεού φλοιού της γης (αίτια: έλξη σελήνης και ήλιου, μεταβολή του φορτίου των θαλάσσιων υδάτων πάνω στην ξηρά λόγω θαλάσσιων παλιρροιών) Συνεχείς παραμορφώσεις: μετακινήσεις των τεκτονικών πλακών ανύψωση της ξηράς μετά από το λιώσιμο των πάγων, (αργή ελαστική επαναφορά μετά τη βύθιση που προκάλεσε το βάρος των πάγων) μεταβαλλόμενο θαλάσσιο φορτίο πάνω στην ξηρά, λόγω της ανύψωσης της στάθμης των θαλασσών που συνδέεται με το φαινόμενο του θερμοκηπίου. Απότομες μεταβολές σχήματος: από σεισμική δραστηριότητα, κατολισθήσεις.

138 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Συστήματα αναφοράς για παραμορφώσιμα σώματα Παραμορφώσιμο σώμα: Σύστημα αναφοράς προσδεμένο σε αυτό αδύνατο! Αρχή του συστήματος αναφοράς = κέντρο μάζας Προσανατολισμός αξόνων = δύο επιλογές: άξονες σχήματος, άξονες Tisserand

139 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονες σχήματος Πίνακας αδράνειας σώματος (έκφραση τανυστή αδράνειας, ως προς το σύστημα ) Ροπές αδράνειας : Γινόμενα αδράνειας : : συντεταγμένες στοιχείου μάζας dm )

140 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονες σχήματος Πίνακας αδράνειας:

141 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονες σχήματος Πίνακας αδράνειας:

142 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονες σχήματος Πίνακας αδράνειας:

143 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Άξονες σχήματος Πίνακας αδράνειας: πίνακας αδράνειας:

144 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ιδιοανύσματα ορθογώνια ( για ) και μοναδιαία Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα αδράνειας ΙδιοτιμέςΑντίστοιχα (μοναδιαία) ιδιοανύσματα C συμμετρικός 

145 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ιδιοανύσματα ορθογώνια ( για ) και μοναδιαία Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα αδράνειας Ιδιοτιμές Πίνακας = ορθογώνιος: Αντίστοιχα (μοναδιαία) ιδιοανύσματα C συμμετρικός 

146 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ιδιοανύσματα ορθογώνια ( για ) και μοναδιαία Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα αδράνειας Ιδιοτιμές Πίνακας = ορθογώνιος: Αντίστοιχα (μοναδιαία) ιδιοανύσματα C συμμετρικός 

147 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα αδράνειας Αντικατάσταση με νέο σύστημα αναφοράς

148 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα αδράνειας Αντικατάσταση με νέο σύστημα αναφοράς Πίνακας αδράνειας στο νέο σύστημα

149 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα αδράνειας Αντικατάσταση με νέο σύστημα αναφοράς Πίνακας αδράνειας στο νέο σύστημα άξονες αδράνειας ή άξονες σχήματος = = άξονες συστήματος με πίνακα αδράνειας = διαγώνιο

150 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι άξονες Tisserand Διάνυσμα στροφορμής (ή γωνιακής ποσότητας κίνησης) του σώματος

151 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι άξονες Tisserand Διάνυσμα στροφορμής (ή γωνιακής ποσότητας κίνησης) του σώματος Συνιστώσες της στροφορμής στο επιταχυνόμενο σύστημα

152 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι άξονες Tisserand Διάνυσμα στροφορμής (ή γωνιακής ποσότητας κίνησης) του σώματος Συνιστώσες της στροφορμής στο επιταχυνόμενο σύστημα σχετική στροφορμή ως προς το επιταχυνόμενο σύστημα :

153 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι άξονες Tisserand Διάνυσμα στροφορμής (ή γωνιακής ποσότητας κίνησης) του σώματος Συνιστώσες της στροφορμής στο επιταχυνόμενο σύστημα σχετική στροφορμή ως προς το επιταχυνόμενο σύστημα : στροφορμή h = h R + Cω με δύο μέρη: Cω = κίνηση των μαζών του σώματος από κοινού με το σύστημα h R = κίνηση μαζών ως προς το σύστημα

154 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι άξονες Tisserand = διάνυσμα περιστροφής συστήματος αναφοράς (όχι του παραμορφώσιμου σώματος!) (Για στερεό σώμα και προσδεμένο στο σώμα: και )

155 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι άξονες Tisserand = διάνυσμα περιστροφής συστήματος αναφοράς (όχι του παραμορφώσιμου σώματος!) (Για στερεό σώμα και προσδεμένο στο σώμα: και ) Ένα σύστημα αναφοράς αντιπροσωπεύει τόσο καλύτερα το σύνολο των μαζών ενός παραμορφώσιμου σώματος, όσο μικρότερη είναι η «κίνηση των υλικών σημείων του σώματος» ως προς το σύστημα αυτό.

156 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Οι άξονες Tisserand = διάνυσμα περιστροφής συστήματος αναφοράς (όχι του παραμορφώσιμου σώματος!) (Για στερεό σώμα και προσδεμένο στο σώμα: και ) Ένα σύστημα αναφοράς αντιπροσωπεύει τόσο καλύτερα το σύνολο των μαζών ενός παραμορφώσιμου σώματος, όσο μικρότερη είναι η «κίνηση των υλικών σημείων του σώματος» ως προς το σύστημα αυτό. Ποιο φυσικό μέγεθος εκφράζει τη συνολική κίνηση των υλικών σημείων του σώματος; Δυνατή επιλογή: (= minimum). Σύστημα Tisserand = σύστημα αναφοράς για το οποίο h R = 0

157 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Υπάρχουν άπειρα συστήματα Tisserand: = Tisserand, Q = σταθερό, : Οι άξονες Tisserand

158 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Υπάρχουν άπειρα συστήματα Tisserand: = Tisserand, Q = σταθερό, : Στροφορμή συστήματος, όπου : και το σύστημα θα είναι επίσης σύστημα Tisserand ! Οι άξονες Tisserand

159 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Υπάρχουν άπειρα συστήματα Tisserand: = Tisserand, Q = σταθερό, : Στροφορμή συστήματος, όπου : και το σύστημα θα είναι επίσης σύστημα Tisserand ! Δύο συστήματα Tisserand και συνδέονται με ένα σταθερό πίνακα στροφής Q. Οι άξονες Tisserand

160 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Υπάρχουν άπειρα συστήματα Tisserand: = Tisserand, Q = σταθερό, : Στροφορμή συστήματος, όπου : και το σύστημα θα είναι επίσης σύστημα Tisserand ! Δύο συστήματα Tisserand και συνδέονται με ένα σταθερό πίνακα στροφής Q. Ένα σύστημα Tisserand ορίζεται μονοσήμαντα από τη θέση του κατά μία αρχική εποχή t 0. Οι άξονες Tisserand

161 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ποιο φυσικό μέγεθος εκφράζει τη συνολική κίνηση των υλικών σημείων του σώματος; Άλλη επιλογή: ελαχιστοποίηση της σχετικής κινητικής ενέργειας του συστήματος αναφοράς

162 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ποιο φυσικό μέγεθος εκφράζει τη συνολική κίνηση των υλικών σημείων του σώματος; Άλλη επιλογή: ελαχιστοποίηση της σχετικής κινητικής ενέργειας του συστήματος αναφοράς Συνολική κινητική ενέργεια του σώματος

163 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Ποιο φυσικό μέγεθος εκφράζει τη συνολική κίνηση των υλικών σημείων του σώματος; Άλλη επιλογή: ελαχιστοποίηση της σχετικής κινητικής ενέργειας του συστήματος αναφοράς Συνολική κινητική ενέργεια του σώματος T R = τμήμα της T ανεξάρτητο από το ω (οδηγεί επίσης σε σύστημα Tisserand).

164 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σύστημα Tisserand = σύστημα αναφοράς για το οποίο και ταυτόχρονα

165 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σύστημα Tisserand = σύστημα αναφοράς για το οποίο και ταυτόχρονα Μηδενίζεται η σχετική ως προς το σύστημα αναφοράς στροφορμή και ελαχιστοποιείται η σχετική ως προς το σύστημα αναφοράς κινητική ενέργεια = αντιπροσωπεύει καλύτερα την συνολική περιστροφή των μαζών του παραμορφώσιμου σώματος

166 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ A. ΔερμάνηςΣυστήματα αναφοράς και χρόνου A. Δερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σύστημα Tisserand = σύστημα αναφοράς για το οποίο και ταυτόχρονα Μηδενίζεται η σχετική ως προς το σύστημα αναφοράς στροφορμή και ελαχιστοποιείται η σχετική ως προς το σύστημα αναφοράς κινητική ενέργεια = αντιπροσωπεύει καλύτερα την συνολική περιστροφή των μαζών του παραμορφώσιμου σώματος Eιδική εφαρμογή:Για το Διεθνές Επίγειο Σύστημα Αναφοράς ITRF (International Terrestrial Reference Frame) Διακριτή αρχή Tisserand για τους Ν σταθμούς: