4 Διαστάσεις-Συστήματα Αναφοράς του Ν. Καστάνη Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2014

Με την παρουσίαση αυτή επιχειρείται μια προσέγγιση σε δύο αλληλένδετα θέματα : τις 4 διαστάσεις και τα συστήματα αναφοράς Οι 4 διαστάσεις είναι ένα μεγάλο μυστήριο για τον πολύ κόσμο. Και ως μυστήριο προκαλεί ένα λαϊκό ενδιαφέρον, το οποίο, συνήθως, είναι εμπλεκόμενο με κάποιες διάχυτες και ακαταλαβίστικες νύξεις για τη Θεωρία της Σχετικότητας και για τον περιβόητο Αϊνστάιν. Τα συστήματα αναφοράς είναι πιο οικεία στην κοινή αντίληψη. Πρόκειται για άξονες συντεταγμένων, με τη βοήθεια των οποίων καθορίζονται οι θέσεις, οι διαστάσεις και οι σχέσεις των αντικειμένων σε μια περιοχή ή στο χώρο γενικότερα.

Ο Αϊνστάιν και οι 4 διαστάσεις εκλαϊκευμένα σε εφημερίδες

1910

Αυτές ήταν οι πρώτες εκλαϊκευμένες αναφορές στο χωρόχρονο (δηλ τις 4 διαστάσεις) και στη Θεωρία της Σχετικότητας στην Ελλάδα. Τα επιστημονικά αυτά θέματα ήρθαν στο προσκήνιο τη δεκαετία 1900-1910 με τις εργασίες, κυρίως, του Πουανκαρέ του Αϊνστάιν και του Μινκόφσκι. Albert Einstein (1879-1955) Hermann Minkowski (1864-1909) Jules Henri Poincaré (1854-1912)

Τόσο ο Πουανκαρέ όσο και ο Αϊνστάιν υποστήριξαν, γύρω στο 1905, ότι ο χώρος και ο χρόνος συσχετίζονται μεταξύ τους, δηλ. δεν υπάρχει ο ένας ανεξάρτητα από τον άλλο.

Σ’ ένα άλλο παράδειγμα, από τη Φυσική, παρατηρείται ότι ένας Το παράδειγμα της χρονικής αλλαγής του αρχιτεκτονικού χώρου είναι κοινωνιολογικό, δηλ . έχει να κάνει με τις συμπεριφορές των ανθρώπων. Σ’ ένα άλλο παράδειγμα, από τη Φυσική, παρατηρείται ότι ένας επιβάτης ενός κινούμενου τρένου βλέπει ότι ο χρόνος μεταξύ δύο σταθμών είναι μια ώρα για τα ρολόγια των σταθμών και 35 λεπτά για το ρολόι που είναι μέσα στο τρένου. Αυτό σημαίνει ότι η σχέση του χώρου και του χρόνου στο κινούμενο τρένο είναι διαφορετική από την αντίστοιχη σχέση τους έξω από το τρένο, μεταξύ των σταθμών.

Αν φανταστούμε ένα τρένο να τρέχει με πάρα πολύ μεγάλη ταχύτητα που για έναν εξωτερικό παρατηρητή κάνει 10 λεπτά να διασχίσει την αποβάθρα, για έναν παρατηρητή μέσα στο τρένο κάνει 6 λεπτά, το οποίο σημαίνει ότι μίκραινε γι’ αυτόν το μήκος της αποβάθρας Στην περίπτωση αυτή ο κινούμενος παρατηρητής έχει άλλη αίσθηση του χρόνου και του χώρου από τον ακίνητο παρατηρητή.

Δύο αντίστοιχα ζητήματα απασχόλησαν τον Πουανκαρέ και τον Αϊνστάιν, γύρω στο 1900, κι αναπτύχθηκε η ιδέα της συσχέτισης του χρόνου με το χώρο. Το ένα ήταν οι ανεπάρκειες της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού του Μάξγουελ, η οποία διαμορφώθηκε γύρω στο 1860. Και η ανάπτυξη αυτής της θεωρίας ήταν πολύ σημαντική για την τότε βιομηχανική επανάσταση. James Clerk Maxwell (1831-1879)

Το δεύτερο ζήτημα που ασχολήθηκαν ήταν ο συγχρονισμός των ρολογιών.

Ο συγχρονισμός των ρολογιών στη Βέρνη της Ελβετίας

Ο Μινκόφσκι ήταν αυτός που διαμόρφωσε, το 1908, τη μαθηματική αναπαράσταση του χωροχρόνου, δηλ. της συνύπαρξης των στοιχείων της θέσης και του χρόνου των “αντικειμένων” ή των καταστάσεων τους. Έτσι συστηματοποιήθηκε μια αντίληψη για τις 4 διαστάσεις.

Οι ιδέες αυτές άλλαξαν τον επιστημονικό τρόπο σκέψης και κατά συνέπεια επηρέασαν κι άλλους τομείς του πολιτισμού, όπως π.χ. τη ζωγραφική.

Ήταν φυσικό ότι η απήχηση αυτή δεν άφησαν τελείως αδιάφορα τα μέσα ενημέρωσης και τον κόσμο γενικότερα. Έτσι δημιουργήθηκε και η περιέργεια των τεσσάρων διαστάσεων στους μη ειδικούς. Στην προσπάθεια, τώρα, να φωτιστεί το ζήτημα αυτό, θα βοηθήσει μια αναδρομή στην έννοια της διάστασης στη Στοιχειώδη Γεωμετρία και στην Ιστορία των Μαθηματικών.

Η διάσταση στη Στοιχειώδη Γεωμετρία ύψος ύψος μήκος πλάτος μήκος πλάτος πλάτος μήκος Δεν έχει ούτε μήκος, ούτε πλάτος, ούτε ύψος μήκος Δεν έχει ούτε πλάτος, ούτε ύψος Δεν έχει ύψος Διαστάσεις είναι : το μήκος, το πλάτος και το ύψος

τις διαστάσεις του κυλίνδρου; Στη σφαίρα, ποιες είναι οι διαστάσεις της; ύψος μήκος πλάτος Μπορείτε να βρείτε τις διαστάσεις του κυλίνδρου;

Άλλος τρόπος προσδιορισμού των διαστάσεων της σφαίρας

Εκτός από τις γεωμετρικές διαστάσεις υπάρχουν και οι γεωγραφικές διαστάσεις Δύο περιπτώσεις γεωγραφικών διαστάσεων είναι οι τοπολογικές διαστάσεις και οι γεωσφαιρικές διαστάσεις. Ένα παράδειγμα τοπολογικής διάστασης είναι ότι η συνολική έκταση της Θεσσαλονίκης ανέρχεται περίπου στα 4000 εκτάρια (40 τετραγωνικά χιλιόμετρα).

γεωγραφικές συντεταγμένες της Θεσσαλονίκης. Και ένα παράδειγμα γεωσφαιρικών διαστάσεων είναι η θέση της Θεσσαλονίκης στην υδρόγειο, που είναι: γεωγρ. μήκος 22ο 56’ 38 Α γεωγρ. πλάτος 40ο 38’ 25 Β Αυτές είναι οι γεωγραφικές συντεταγμένες της Θεσσαλονίκης.

στις ορθογώνιες συντεταγμένες… Γεωγραφικές Συντεταγμένες Από τις γεωγραφικές συντεταγμένες στις ορθογώνιες συντεταγμένες…

Τον 16ο αιώνα μ.Χ. αναπτύχθηκε ραγδαία η ναυσιπλοΐα

Οι δύο άξονες αναφοράς ή συντεταγμένων στο επίπεδο Α(2,1)

Οι τρεις άξονες αναφοράς για τον χώρο 4 A(2,3,4) 3 2

Οι ιδέες της Γεωμετρίας των Συντεταγμένων αναδύθηκαν από τις γεωμετρικές μετρήσεις του 16ου και 17ου αιώνα.

Ο Καρτέσιος και το βιβλίο του “Λόγος περί της Μεθόδου” René Descartes (1596-1650)

Πίσω, στις 4 διαστάσεις Μια διάσταση Μηδέν διαστάσεις Δύο διαστάσεις Τρεις διαστάσεις Δύο διαστάσεις

Ακίνητα στερεά τεσσάρων διαστάσεων υπάρχουν;; Τέσσερις διαστάσεις;;; Τρεις διαστάσεις Ακίνητα στερεά τεσσάρων διαστάσεων υπάρχουν;;

Το κόκκινο ρολόι καθώς κινείται αναπαριστά ένα αντικείμενο σε 4 διαστάσεις.

Αναπαράσταση μιας κίνησης σε Σύστημα Αναφοράς (Συντεταγμένων) χώρου-χρόνου.

Ο “σταυρός” του Dali θεωρείται ότι είναι ένα ξεδίπλωμα του υπερκύβου, δηλ. του κύβου με τέσσερις διαστάσεις. Κι αυτό το ξεδίπλωμα του υπερκύβου είναι τριών διαστάσεων.

Το λεωφορείο ακίνητο είναι τριών διαστάσεων και κινούμενο είναι 4 διαστάσεων.

Ο κύβος σε κίνηση είναι τετραδιάστατος.

Συστήματα Αναφοράς 2, 3 και 4 διαστάσεων

Η θέση της αράχνης προσδιορίζεται ως προς τις τρεις ακμές της πυραμίδας.

Η θέση της αράχνης προσδιορίζεται, τώρα, ως προς τις τέσσερις ακμές της πυραμίδας.

Περιστρέφεται η πυραμίδα γύρω από την κορυφή της και αποκόπτεται η αρχική της βάση, t z Α (xΑ, yΑ, zA, tA) y x

υπάρχουν οι διαστάσεις ενός αντικειμένου, που είναι Παρατήρηση: υπάρχουν οι διαστάσεις ενός αντικειμένου, που είναι οι προσδιορισμοί του μεγέθους του και οι διαστάσεις του χώρου γενικά, όπου το αντικείμενο, μαζί μ’ άλλα, είναι μέσα.

Στην Αρχαία Ελλάδα αναφέρονταν, κατά κανόνα, στις διαστάσεις των αντικειμένων κι όχι του χώρου. Ο Αριστοτέλης θεωρούσε ως χώρο την τοποθεσία που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο. Άλλοι φιλόσοφοι και φιλοσοφικά ρεύματα, όπως οι Στωικοί και οι Νεοπλατωνιστές επισήμαναν ως χώρο τη γενικότερη περιοχή μέσα στην οποία ήταν τοποθετημένα τα αντικείμενα. Είναι χαρακτηριστικό ότι η Γεωμετρία του Ευκλείδη δεν εξετάζει τα γεωμετρικά αντικείμενα στο χώρο, αλλά τα γεωμετρικά αντικείμενα από μόνα τους.

Γι’ αυτό υπάρχει και μια κριτική στάση. Η Κληρονομιά του Ευκλείδη: Είναι ο χώρος τρισδιάστατος;

ο χάρτης του Πτολεμαίου. Υπάρχει, όμως, μια φωτεινή εξαίρεση: ο χάρτης του Πτολεμαίου.

Ο χάρτης του Πτολεμαίου φαίνεται επηρέασε τους χαρτογράφους και τους ζωγράφους της Ιταλικής Αναγέννησης του 15ου αιώνα Κλαύδιος Πτολεμαίος (π. 90 - π. 160 μ.Χ.)

Τον 15ο αιώνα οι Ιταλοί ζωγράφοι κατάφεραν να απεικονίσουν τον τρισδιάστατο χώρο στον πίνακα ζωγραφικής, δηλ. στις 2 διαστάσεις. Αγία Τριάδα, Φλωρεντία, 1427 Masaccio (1401-1428)

Η τεχνική αυτή ονομάζεται ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Πρωτοπόροι της ήταν ο Μπρουνελέσκι κι ο Αλμπέρτι. Leon Battista Alberti (1404-1472) Filippo Brunelleschi (1377-1446)

Το προοπτικό σχέδιο στηρίζεται σε Σύστημα Αναφοράς.

Αξίζει να σημειωθεί ότι με το προοπτικό Σύστημα Αναφοράς δόθηκε έμφαση στο χώρο ως εξωτερικό περιβάλλον των αντικειμένων. Σήμερα και η τηλεόραση και τα γραφικά των Η/Υ στηρίζονται στην προοπτική. Στα Μαθηματικά, οι ιδέες και οι μέθοδοι της Προοπτικής βρίσκονται πίσω από έναν κλάδο της Γεωμετρίας που λέγεται Προβολική Γεωμετρία.

Τόσο η Προοπτική όσο και η Γεωμετρία των Συντεταγμένων (δηλ. η Καρτεσιανή Γεωμετρία) άνοιξαν τον μαθηματικό ορίζοντα για τα Συστήματα Αναφοράς , τις αναπαραστάσεις του χώρου και το χώρο. Το νέο αυτό πνεύμα προκάλεσε και μια εσωτερική δυναμική των Μαθηματικών σε διάφορες κατευθύνσεις, από τη δημιουργία νέων κλάδων, όπως η Παραστατική Γεωμετρία ως την προώθηση νέων αντιλήψεων, όπως αυτή των περισσοτέρων από τρεις διαστάσεων.

Jean-Baptiste le Rond d'Alembert Η καλλιέργεια της ιδέας των περισσοτέρων διαστάσεων στα Μαθηματικά Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (1717-1983)

είναι δυνατόν να θεωρηθεί ο χρόνος ως τέταρτη διάσταση

Η ιδέα αυτή του Ντ’ Αλαμπέρ προέκυψε από την προηγούμενη ενασχόληση του με ζητήματα της Θεωρητικής Μηχανικής, όπου έλυσε ένα δύσκολο πρόβλημα της ταλάντωσης μιας χορδής χρησιμοποιώντας περισσότερες μεταβλητές, μια εκ των οποίων ήταν ο χρόνος Μετά τη Γαλλική Επανάσταση, το 1789, αναπτύχθηκε ένα νέο πνεύμα στη μαθηματική παιδεία που απελευθέρωσε τον μαθηματικό τρόπο σκέψης από τη στενότητα των παραδοσιακών αντιλήψεων. Έτσι καθιερώθηκαν νέοι κλάδοι των Μαθηματικών, όπως π.χ. η Αναλυτική Γεωμετρία, η Παραστατική Γεωμετρία και η Προβολική Γεωμετρία.

Στο νέο αυτό πνεύμα δημιουργήθηκαν, το διάστημα 1830-1843, πολύ τολμηρές θεωρίες οι οποίες στηρίζονταν στην εσωτερική τους λογική κι όχι στην εμπειρική τους επιβεβαίωση, όπως π.χ. οι μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες και οι τετράδες του Χάμιλτον.

Στο διανοητικό αυτό κλίμα εμφανίστηκε το 1844 “Η Θεωρία της Γραμμικής Επέκτασης” του Γκράσμαν, όπου η Γεωμετρία εξετάζεται μ’ έναν πολύ αφηρημένο, αλγεβρικό, τρόπο σε ν-διαστάσεις. Hermann Günther Grassmann (1809-1877)

Την ίδια περίοδο κι άλλοι μαθηματικοί πραγματεύτηκαν θέματα Γεωμετρίας σε ν-διαστάσεις, όπως ο Καίλεϊ, ο Σλέφλι και ο Ρήμαν. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) Ludwig Schläfli (1814-1895) Arthur Cayley (1821-1895)

Τα Μαθηματικά των ν-διαστάσεων αναπτύχθηκαν από την επόμενη γενιά των μαθηματικών του 19ου αιώνα, όπως π.χ. από τον Κλάιν, τον Μπέτι και τον Τζορντάν. Felix Klein (1849-1925) Enrico Betti (1823-1892) Marie Ennemond Camille Jordan (1823-1922) Αυτό σημαίνει ότι η Γεωμετρία πολλών διαστάσεων ήταν αρκετά καλλιεργημένη στις αρχές του 20ου αιώνα, όταν εμφανίστηκε η Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν.

Maurits Cornelis Escher Κάποιες τελευταίες νύξεις για τις 4 διαστάσεις στη σύγχρονη τέχνη Στη σύγχρονη ζωγραφική Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

Στην ποίηση

Ευχαριστώ για την προσοχή σας